Otáčející se nabitá kulička kolem druhé stejně nabité kuličky

Úloha číslo: 954

Kulička o hmotnosti m a s nábojem q se může otáčet ve vertikální rovině na niti délky l. V ose otáčení je upevněna druhá kulička se stejným nábojem. Jakou minimální rychlost ve vodorovném směru je nutno udělit kuličce v dolní poloze, aby vykonala celou otáčku?

Pozn.: Jedná se v podstatě o kyvadlo.

Nákres situace
  • Nápověda 1

    Zamyslete se, kde je kritické místo, ve kterém by kulička nemusela dokončit celou otočku. Co v tomto místě musí platit, aby otočka byla dokončena.

  • Nápověda 2: Jak zjistit minimální rychlost?

    Využijte zákon zachování mechanické energie. Zamyslete se nad volbou nulové hladiny potenciální energie.

  • Rozbor

    O tom jestli kulička vykoná celou otočku se rozhodne při průchodu nejvyšším bodem trajektorie. Proto si musíme uvědomit, jaké síly budou na kuličku v tomto bodě působit. Pomocí 2. Newtonova zákona určíme minimální rychlost v tomto bodě.

    Minimální rychlost udělenou na počátku pohybu, tedy v nejnižším bodě kruhové trajektorie určíme ze zákona zachování mechanické energie.

  • Řešení

    O tom, zda kulička vykoná celou otočku se rozhodne při průchodu nejvyšším bodem trajektorie. Proto si musíme uvědomit, jaké síly budou na kuličku v tomto bodě působit. Nakresleme si obrázek.

    Nákres sil

    Podrobný komentář k silám je proveden v Řešení nápovědy 2, proto zde uvedeme jen výsledek úvah. V nejvyšším bodě trajektorie je síla nitě nulová a výslednice se musí rovnat dostředivé síle \(\vec{F}_\mathrm {do}\). Síly leží v jedné přímce, proto pro jejich velikosti platí

    \[F_\mathrm {do}=F_\mathrm G-F_\mathrm e.\]

    Síly vyjádříme a získáme rovnici

    \[ma_\mathrm d=mg-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{l^2}, \]

    kde m je hmotnost kuličky, g tíhové zrychlení, l délka nitě, ε0 permitivita vakua, která je přibližně stejná jako permitivita vzduchu, a q náboj, ten je pro obě kuličky stejný. Dostředivé zrychlení ad se dá vyjádřit pomocí rychlosti v nejvyšším bodě v a délky nitě l jako \(a_\mathrm d=\frac{{v}^2}{l}\). Po dosazení dostáváme

    \[m\frac{{v}^2}{l}=mg-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{l^2}.\]

    Z tohoto vztahu vyjádříme v2, což je kvadrát minimální nutné rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie

    \[ v^2=\frac{(mg-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{l^2})l}{m}. \]

    My však nemáme určit v, nýbrž minimální rychlost udělenou na počátku pohybu, tedy v nejnižším bodě kruhové trajektorie. Tuto rychlost označíme vm a uvážíme, jak souvisí s v. Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie. Součet kinetické a potenciální tíhové energie kuličky je stálý. Při volbě nulové hladiny potenciální energie v nejnižším bodě trajektorie platí, že kinetická energie v nejnižším bodě trajektorie Ek1 je rovna součtu kinetické energie v nejvyšším bodě trajektorie Ek2 a potenciální energie Ep

    \[ E_\mathrm {k1}=E_\mathrm {k2}+E_\mathrm p. \]

    Energie vyjádříme a dostáváme rovnici

    \[ \frac{1}{2}m v_\mathrm {m}^2 = \frac{1}{2}m v^2 + 2mgl. \]

    Z tohoto vztahu vyjádříme vm tak, že rovnici vydělime m a vynásobíme dvěma

    \[ v_\mathrm m=\sqrt{v^2 +4gl}. \]

    Nyní už jen dosadíme za v

    \[ v_\mathrm m=\sqrt{\frac{(mg-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{l^2})l}{m} +4gl}= \sqrt{5gl - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m l}} .\]
  • Odpověď

    Minimální rychlost, kterou musíme udělit kuličce, je dána vztahem

    \[v_\mathrm m=\sqrt{5gl - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m l}}.\]
  • Odkaz na úlohu řešenou podobnou strategií

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze