Sbírka řešených úloh

Efektivní hodnoty harmonických průběhů

Úloha číslo: 1629

• Teorie

  Připomeňme si, jak zavádíme efektivní hodnoty napětí a proudu.

  Máme zdroj napětí periodického průběhu \(u(t)\) s periodou \(T\). K němu přípojíme odporovou zátěž \(R\). Okamžitý výkon obvodu je

  \[ p(t) = u(t) i(t) = \frac{u^2(t)}{R}. \]

  Střední výkon je tedy

  \[ \bar{p} = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{u^2(t)}{R}\,\mathrm{d}t = \frac{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t}{R}. \tag{1}\]

  Zdroj s konstantním průběhem napětí \(U\) má na stejné odporové zátěži výkon

  \[ P = UI = \frac{U^2}{R}, \]

  který dosáhne přesně středního výkonu v rovnici (1), jestliže je jeho napětí

  \[ U = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t} \equiv U_\mathrm{ef}. \tag{2}\]

  Toto napětí je ono kýžené efektivní napětí, které přiřadíme zkoumanému průběhu \(u(t)\).

  Vztah (2) říká, že efektivní hodnota napětí je odmocnina ze střední hodnoty kvadrátu jeho průběhu.

  Podobně efektivní hodnota proudu je odmocnina ze střední hodnoty kvadrátu jeho průběhu. Odvození bychom provedli podobně, pro úplnost jej bez komentáře proveďme

  \[ \bar{p} = \frac{1}{T} \int_0^T u(t)i(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{T} \int_0^T R i^2(t) \,\mathrm{d}t = R \overbrace{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t) \,\mathrm{d}t}^{I_\mathrm{ef}^2} \equiv R I_\mathrm{ef}^2 = P,\]

  kde jsme příslušnou část označili \(I_\mathrm{ef}\), čímž vznikl na pravé straně vztah pro výkon \(P\) při konstantním proudu.

• a) Nápověda – výpočet efektivních hodnot

  Určete efektivní hodnoty \(U_\mathrm{ef}, I_\mathrm{ef}\). Efektivní hodnotu napětí lze určit jako

  \[ U_\mathrm{ef} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t}. \]

  Efektivní hodnotu proudu určete z analogie výpočtu efektivního napětí.

• a) Řešení nápovědy – výpočet efektivních hodnot

  Do vztahu pro \(U_\mathrm{ef}\) dosadíme harmonický průběh napětí a upravíme

  \[ U_\mathrm{ef} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T U_0^2 \sin^2 \omega t \,\mathrm{d}t}= \sqrt{\frac{U_0^2}{T}\int_0^T \sin^2 \omega t \,\mathrm{d}t}. \]

  Integrál pod odmocninou vypočítáme zvlášť

  \[ \color{MidnightBlue}{ \int_0^T \sin^2 \omega t \,\mathrm{d}t = \int_0^T \frac{1}{2}(1-\cos 2\omega t) ,\mathrm{d}t = \left[\frac{1}{2}t-\frac{\sin 2\omega t}{4\omega}\right] _0^T= \frac{T}{2}. } \] Integrovali jsme od \(0\) do \(T\), což je perioda. Druhý člen se tedy odečetl, resp. je v obou časech nulový.

  Vypočítaný integrál dosadíme

  \[U_\mathrm{ef}=\sqrt{\frac{U_0^2}{T}\int_0^T \sin^2 \omega t \,\mathrm{d}t}= \sqrt{\frac{U_0^2}{T} \frac{T}{2}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}\]

  ---

  Připojíme-li napětí daného průběhu na odporovou zátěž \(R\), bude jí protékat proud

  \[ i(t) = \frac{1}{R} u(t) = \underbrace{\frac{U_0}{R}}_{I_0} \sin\omega t = I_0 \sin\omega t. \]

  Vidíme, že průběh je formálně stejný, jako pro napětí. Celý výpočet by probíhal stejně, pouze s jinými písmeny. Tedy

  \[ I_\mathrm{ef} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T I_0^2 \sin^2 \omega t \,\mathrm{d}t} =\sqrt{\frac{I_0^2}{T} \frac{T}{2}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}. \]

• b) Nápověda – efektivní hodnoty v síti

  Jaká je efektivní hodnota napětí v elektrické zásuvce pro běžné domácí spotřebiče? Určete maximální hodnotu napětí.

  Jaký proud zřejmě naměřil měřící přístroj? Určete maximální hodnotu.

• b) Řešení nápovědy – efektivní hodnoty v psíti

  Efektivní hodnota napětí v  zásuvce pro běžné domácí spotřebiče je přibližně \(230\,\mathrm{V}\). Maximální hodnota na spotřebiči je

  \[ U_0 = U_{ef}\sqrt{2} = 230 \sqrt{2} \,\mathrm{V} \doteq 325\,\mathrm{V}. \]

  Měřící přístroje obvykle naměří efektivní hodnotu proudu, tj. \(I_\mathrm{ef} = 4{,}3\,\mathrm{A}\). Maximální hodnota v přívodní šňůře je

  \[ I_0 = I_{ef}\sqrt{2} = 4{,}3 \sqrt{2} \,\mathrm{A} \doteq 6{,}1\,\mathrm{A}. \]

  V praxi se ve většině případů operuje právě s efektivními hodnotami. Je-li prodlužovací přívod označen max \(10\,\mathrm{A}\), je tím myšleno, že tuto mez nesmí překročit právě hodnota efektivní. Maximální hodnota by tuto mez překročila již při efektivním proudu přibližně \(7{,}1\,\mathrm{A}\).

• Odpověď

  Při harmonických průbězích platí mezi efektivními \(U_\mathrm{ef}, I_\mathrm{ef}\) a maximálními \(U_0, I_0\) hodnotami napětí a proudu vztahy \[ U_\mathrm{ef} = \frac{U_0}{\sqrt{2}},\qquad I_\mathrm{ef} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}, \]

  Maximální hodnota napětí na spotřebiči je

  \[ U_0 \doteq 325\,\mathrm{V}. \]

  Maximální hodnota proudu v přívodní šňůře je

  \[ I_0 \doteq 6{,}1\,\mathrm{A}. \]