Vodič a náboj

Úloha číslo: 763

Ve vzdálenosti a od přímého nekonečně dlouhého vodiče s lineární hustotou náboje +τ se nachází bodový náboj −Q.

V jaké oblasti (viz obr.) leží body, v nichž je intenzita celkového elektrického pole rovna nule? Proveďte diskusi počtu řešení.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda 1: Intenzita pole vodiče a náboje

    Pro intenzitu elektrického pole bodového náboje platí:

    \[E_Q\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,,\]

    kde r je vzdálenost od náboje.

    Pro pole vodiče:

    \[E\,=\,\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\tau}{r}\,,\]

    kde r je vzdálenost od vodiče.

    Podrobně je intenzita elektrického pole v okolí vodiče vypočítána v úloze Pole nabité přímky.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, co musí platit pro směr a velikost vektorů intenzit elektrického pole vodiče a náboje, aby celková intenzita byla rovna nule.

    Kde může tato situace nastat?

  • Nápověda 3

    Vzdálenost bodů s nulovou intenzitou od vodiče resp. od náboje získáme řešením kvadratické rovnice. Řešením jsou ale pouze reálné kladné kořeny, protože počítáme vzdálenost, která nemůže být záporná.

  • Rozbor

    Podmínkou pro to, aby v nějakém bodě byla intenzita rovna nule je, aby vektory intenzit elektrických polí vyvolaných přímým vodičem a bodovým nábojem měly stejnou velikost a opačný směr.

    Vektor intenzity elektrického pole záporného bodového náboje míří směrem k náboji. Intenzita elektrického pole vodiče míří směrem od vodiče. Z toho plyne, že oba vektory mohou mít opačný směr pouze v oblastech I a III. Zároveň se tato místa musí nacházet na kolmici k vodiči, která prochází bodovým nábojem.

    Zakreslení vektorů intenzity

    Z rovnosti velikosti intenzity elektrického pole vodiče a náboje získáme v obou oblastech kvadratickou rovnici pro vzdálenost bodu s nulovou intenzitou. Protože se jedná o vzdálenost, jsou řešením úlohy pouze kladné reálné kořeny rovnic.

  • Řešení

    Nutnou podmínkou pro to, aby v nějakém bodě byla intenzita rovna nule je, aby vektory intenzity elektrických polí vyvolaných přímým vodičem a bodovým nábojem měly stejnou velikost a opačný směr. Podmínka na opačný směr však může být zřejmě splněna pouze na kolmici k drátu, jež prochází bodovým nábojem, a to ještě pouze v oblastech I a III.

    Zakreslení vektorů intenzity

    Poznámka: Obrázek zachycuje pouze směry vektorů elektrických intenzit v jednotlivých oblastech, nikoli jejich velikosti. Modře je zakreslena intenzita elektrického pole náboje a červeně intenzita elektrického pole vodiče.

    Pomocí podmínky na stejnou velikost obou intenzit vyhledáme nejprve bod či body s celkovou nulovou intenzitou elektrického pole v oblasti III a poté v oblasti I.

     

    Ještě zde uvedeme vztahy pro výpočet velikosti intenzity elektrického pole bodového náboje a vodiče, které budeme později potřebovat.

    Pro pole bodového náboje o velikosti Q platí:

    \[E_Q\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,,\tag{1}\]

    kde r je vzdálenost od náboje.

    Pro pole vodiče nabitého s lineární hustotou náboje τ:

    \[E\,=\,\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\tau}{r}\,,\tag{2}\]

    kde r je vzdálenost od vodiče.

  • Řešení v oblasti III

    Zakreslení intenzit v oblasti III
    Z požadavku na stejnou velikost intenzit od bodového náboje a přímého vodiče získáme s použitím vztahů (1) a (2) pro výpočet intenzity těchto prvků (viz předchozí oddíl) rovnost \[E_2\,=\,E_{Q2}\] \[\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\tau}{a+y} \,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{y^2}\,,\]

    kde y udává vzdálenost hledaného bodu od bodového náboje.

    Jednoduchými úpravami získáme kvadratickou rovnici pro neznámou y

    \[\frac{\tau}{a+y} \,=\,\frac{Q}{2y^2} \hspace{40px}|\cdot 2y^2\left(a+y\right)\] \[2 \tau y^2 \,=\, Q\left(a+y\right)\] \[2 \tau y^2 \,-\,Qy \,-\,Qa \,=\, 0\]

    Kvadratickou rovnici vyřešíme.

    \[ y_{1{,}2}\,=\,\frac{Q \pm \sqrt{Q^2 + 8 \tau Q a}}{4 \tau}\]

    Nyní musíme získaný výsledek správně interpretovat. Vidíme, že diskriminant kvadratické rovnice je kladný pro všechny přípustné hodnoty parametrů a, Q a τ. Kvadratická rovnice tedy má dva reálné kořeny. Protože platí

    \[Q \lt \sqrt{Q^2 + 8 \tau Q a},\]

    bude jeden z kořenů vždy kladný a druhý záporný. Záporný kořen je pro nás vzhledem k tomu, že počítáme vzdálenost, nepřijatelný. Vyhovovat nám tedy bude pouze kladné řešení, a to

    \[ y\,=\,\frac{Q + \sqrt{Q^2 + 8 \tau Q a}}{4 \tau}\,.\]

    V oblasti III tedy bude vždy existovat právě jeden bod s nulovou výslednou intenzitou elektrického pole. Pro jeho vzdálenost od bodového náboje platí vztah

    \[ y\,=\,\frac{Q + \sqrt{Q^2 + 8 \tau Q a}}{4 \tau}\,.\]
  • Řešení v oblasti I

    Nyní přistoupíme k hledání bodů s nulovou intenzitou v oblasti I. Využijeme vztahů (1) a (2) z předchozího oddílu.

    Zakreslení intenzity v oblasti I

    Z podmínky na stejnou velikost intenzit od bodového náboje a dlouhého přímého vodiče získáme rovnost

    \[E_1\,=\,E_{Q1}\,.\] \[\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\tau}{x} \,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{\left(a+x\right)^2}\,,\]

    kde x je vzdálenost hledaného bodu od vodiče.

    Postupnými úpravami se opět dostaneme ke kvadratické rovnici pro neznámou x.

    \[\frac{\tau}{x} \,=\,\frac{Q}{2\left(a+x\right)^2}\,\hspace{40px}|\cdot 2x\left(a+x\right)^2\] \[2\tau \left(a+x\right)^2 \,=\,Qx\] \[2\tau a^2\,+\,4\tau ax\,+\,2 \tau x^2 \,=\,Qx\] \[2 \tau x^2 \,+ \left(4\tau a - Q \right) x\,+\,2\tau a^2 \,=\,0\]

    Nejprve si vyjádříme diskriminant D této rovnice

    \[ D=\left(4\tau a - Q \right)^2-4{\cdot}2\tau \cdot 2\tau a^2 = Q^2 - 8\tau a Q.\]

    Protože hledáme kladná reálná řešení, musí být diskriminant nezáporný. Dostáváme tedy podmínku:

    \[Q\ge 8a\tau.\]

    Napíšeme vztah pro kořeny rovnice

    \[ x_{1{,}2}\,=\,\frac{Q \,-\, 4\tau a \,\pm \sqrt{\left(Q \,-\, 4\tau a\right)^2 \,-\, 16 \tau^2 a^2}}{4 \tau}\]

    Člen Q − 4 je jistě kladný (viz podmínka kladnosti diskriminantu) a z tvaru výrazu pod odmocninou je vidět, že odmocnina je menší než hodnota, která stojí před ní. Kořeny rovnice jsou tedy kladné.

    Souhrnně:

    • Jestliže Q < 8, potom rovnice nemá řešení a místo s nulovou intenzitou v oblasti I neexistuje.

    • Jestliže Q = 8, rovnice má jeden dvojný kladný kořen. Nulová intenzita je tedy ve vzdálenosti x = a od vodiče.

    • Jestliže Q > 8, potom rovnice má dva kladné kořeny. Místa s nulovou intenzitou jsou vzdálena od vodiče

      \[ x_{1{,}2}\,=\,\frac{Q \,-\, 4\tau a \,\pm \sqrt{\left(Q \,-\, 4\tau a\right)^2 \,-\, 16 \tau^2 a^2}}{4 \tau}.\]
  • Odpověď

    V oblasti III existuje vždy právě jeden bod s nulovou výslednou intenzitou elektrického pole. Pro jeho vzdálenost od bodového náboje platí vztah

    \[ y_1\,=\,\frac{Q + \sqrt{Q^2 + 8 \tau Q a}}{4 \tau}\,.\]

    V oblasti I mohou být řešení dvě, jedno nebo žádné:

    Jestliže Q < 8, potom rovnice nemá řešení a místo s nulovou intenzitou v oblasti I neexistuje.

    Jestliže Q = 8, rovnice má jeden dvojný kladný kořen. Nulová intenzita je tedy ve vzdálenosti x = a od vodiče.

    Jestliže Q > 8, potom rovnice má dva kladné kořeny. Místa s nulovou intenzitou jsou vzdálena od vodiče

    \[ x_{1{,}2}\,=\,\frac{Q \,-\, 4\tau a \,\pm \sqrt{\left(Q \,-\, 4\tau a\right)^2 \,-\, 16 \tau^2 a^2}}{4 \tau}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze