Amplituda proudu při proměnné frekvencí zdroje

Úloha číslo: 171

Na obrázku je generátor s proměnnou frekvencí zapojen v sérii s rezistorem s proměnným odporem, kondenzátorem o kapacitě 5,5 μF a cívkou s neznámou indukčností. Nastavíme-li na rezistoru odpor 100 Ω, je amplituda proudu při frekvencích 1,3 kHz a 1,5 kHz poloviční ve srovnání s maximální amplitudou proudu v obvodu, který by mohl tímto obvodem procházet.
a) Jaká je hodnota indukčnosti cívky?
b) Při jakých frekvencích je proud roven polovině maximální hodnoty, zvětšíme-li odpor rezistoru na 2000 Ω?
schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Kapacitu kondenzátoru:C = 5,5 μF = 5,5·10-6 F
    Odpor reostatu:Ra = 100 Ω
    Odpor reostatu:Rb = 2000 Ω
    Proud v obvodu je poloviční než proud maximální:  Im = 1/2 Imax
    Frekvenci napětí zdroje pro úkol za a):f1 = 1,3 kHz
      f2 = 1,5 kHz

    Chceme určit:

    a) Indukčnost cívky:L = ? (H)
    b) Frekvenci napětí zdroje při nastaveném
    odporu rezistoru na 2000 Ω tak, aby proud
    v obvodu byl poloviční než proud maximální:  f3 = ? (Hz)
    f4 = ? (Hz)

  • Nápověda 1

    Za jakých podmínek teče obvodem maximální střídavý proud? Lze této podmínky dosáhnout změnou frekvence?

  • Nápověda 2

    Z Ohmova zákona pro střídavý proud vyplývá, že maximální střídavý proud poteče obvodem, pokud celková impedance bude minimální. Jak je třeba nastavit frekvenci zdroje, abychom dosáhli minimální impedance?

  • Rozbor

    a) Chceme vyjádřit indukčnost cívky. Známe vztah pro proudy v obvodu a víme, že platí Ohmův zákon pro střídavý proud. V Ohmově zákoně vystupuje indukčnost cívky ve výpočtu impedance, takže se budeme snažit pomocí tohoto zákona vyjádřit impedanci v obvodu.

    Maximální proud teče obvodem při takové frekvenci, kdy se kapacitance kondenzátoru rovná induktanci cívky. V takovém případě se totiž celková impedance rovná rezistanci (nezávislé na frekvenci) a je minimální. Pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud vyjádříme maximální hodnotu proudu z amplitudy napětí a rezistance. Toto vyjádření maximálního proudu dosadíme do vztahu mezi maximálním proudem a amplitudou proudu při zadaných frekvencích. Tím zjistíme celkovou impedanci obvodu.

    Určili jsme impedanci obvodu a chceme vypočítat indukčnost cívky. Můžeme použít vzorec pro výpočet impedance. Rovnici nejdříve vyřešíme obecně, poté dosadíme frekvence zdroje, které známe ze zadání, a indukčnost cívky vyjádříme v závislosti na obou frekvencích.

    b) Frekvence, pro které platí, že amplituda proudu v obvodu je rovna polovině maximální hodnoty proudu při změněném odporu rezistoru, vypočteme pomocí impedance. Velikost impedance jsme odvodili ze vztahu mezi maximálním proudem a amplitudou proudu. Dosadíme do ní nyní již známe hodnoty kapacity, odporu a indukčnosti a z rovnice vyjádříme neznámou frekvenci.

  • Řešení - Impedance obvodu, pro který platí, že Im=Imax/2

    Maximální proud poteče obvodem při rezonanci, při které je impedance rovna rezistanci. Podle Ohmova zákona platí:

    \[I_{\mathrm{max}}=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{R}.\]

    Ze zadání známe vztah mezi amplitudou proudu Im pro dvě zadané frekvence a maximálním proudem Imax:

    \[I_m=\frac{I_{\mathrm{max}}}{2}.\]

    Dosadíme vztah pro maximální proud:

    \[I_m=\frac{\frac{U_m}{R}}{2}=\frac{U_m}{2R}.\]

    Za amplitudu proudu dosadíme také z Ohmova zákona. To znamená, že impedance obvodu při zadaných frekvencích je:

    \[Z=2R.\]
  • a) Řešení - Indukčnost cívky

    Indukčnost cívky vyjádříme z obecného vztahu pro celkovou impedanci:

    \[Z=\sqrt{\left(R_a\right)^2+\left(X_L-X_C\right)^2}.\]

    Dosadíme za impedanci Z = 2Ra:

    \[2R_a=\sqrt{\left(R_a\right)^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}\] \[4\left(R_a\right)^2=\left(R_a\right)^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2\] \[3\left(R_a\right)^2=\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2\] \[ \sqrt{3}R_a=\pm\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right).\]

    Víme, že tento vztah má platit pro dvě frekvence f1 a f2, každá z nich odpovídá jednomu znaménku v posledním vztahu. Pro přehlednost si výsledek vyjádříme nejprve v odpovídajících úhlových frekvencích ω1 a ω2:

    \[ \sqrt{3}R_a=+\left({\omega}_1 L-\frac{1}{{\omega}_1 C}\right),\] \[ \sqrt{3}R_a=-\left({\omega}_2 L-\frac{1}{{\omega}_2 C}\right).\]

    Řešíme soustavu rovnic. Rovnice od sebe odečteme:

    \[ {\omega}_1 L-\frac{1}{{\omega}_1 C}=-\left({\omega}_2 L-\frac{1}{{\omega}_2 C}\right).\]

    Vyjádříme indukčnost:

    \[L\left({\omega}_1+{\omega}_2\right)=\frac{1}{C}\left(\frac{1}{{\omega}_1}+\frac{1}{{\omega}_2}\right)= \frac{1}{C}\left(\frac{{\omega}_1+{\omega}_2}{{\omega}_1 {\omega}_2}\right)=\frac{1}{{\omega}_1 {\omega}_2 C}.\]

    Dosadíme za úhlové frekvence:

    \[L=\frac{1}{\left(2 \pi f_1\right) \left(2 \pi f_2\right) C}=\frac{1}{\left(2 \pi\right)^2 f_1 f_2 C}.\]
  • b) Řešení - frekvence zdroje napětí

    Opět využijeme vztah pro celkovou impedanci obvodu:

    \[Z=\sqrt{\left(R_b\right)^2+\left(X_L-X_C\right)^2}.\]

    Z předchozího oddílu Řešení - Indukčnost cívky víme, že požadovaný proud poteče obvodem, jestliže pro celkovou impedanci platí Z = 2Rb. Teď je ale naší neznámou frekvence. Naprosto stejnými úpravami jako v předchozím oddíle dostaneme:

    \[3\left(R_b\right)^2=\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2\] \[\sqrt{3}\left(R_b\right)=\pm \left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right).\]

    Pro obě varianty si zvlášť vyjádříme frekvenci:


    1) Kladné znaménko

    \[\sqrt{3}R_b= \left({\omega}_3 L-\frac{1}{{\omega}_3 C}\right)\ / \cdot {\omega}_3\] \[\sqrt{3}R_b\, {\omega}_3= {{\omega}_3}^2 L-\frac{1}{ C} \] \[0= L {{\omega}_3}^2 -\sqrt{3}R_b\, {\omega}_3 - \frac{1}{ C} \]

    Vyřešíme kvadratickou rovnici:

    \[{\omega}_3=\frac{\sqrt{3}R_b \pm \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{2 L}.\]

    Fyzikálně smysluplné (tj. kladné) je pouze řešení:

    \[{\omega}_3=\frac{\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{2 L}.\]

    Vyjádříme frekvenci napětí zdroje:

    \[f_3=\frac{{\omega}_3}{2\pi}=\frac{\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{4 \pi L}.\]

    2) Záporné znaménko:

    \[\sqrt{3}R_b= -\left({\omega}_4 L-\frac{1}{{\omega}_4 C}\right)\ / \cdot {\omega}_4\] \[\sqrt{3}R_b\, {\omega}_4= -{{\omega}_4}^2 L + \frac{1}{ C} \] \[0= L {{\omega}_4}^2 +\sqrt{3}R_b\, {\omega}_4 - \frac{1}{ C} \]

    Vyřešíme kvadratickou rovnici:

    \[{\omega}_4=\frac{-\sqrt{3}R_b \pm \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{2 L}.\]

    Fyzikálně smysluplné (tj. kladné) je pouze řešení:

    \[{\omega}_4=\frac{-\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{4 \pi L}.\]

    Vyjádříme frekvenci napětí zdroje:

    \[f_4=\frac{{\omega}_4}{2\pi}=\frac{-\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{4 \pi L}.\]
  • Číselné dosazení

    Indukčnost cívky:

    \[L=\frac{1}{\left(2 \pi\right)^2 f_1 f_2 C}=\frac{1}{\left(2 \pi\right)^2{\cdot} 1300 \cdot 1500 {\cdot} 5{,}5 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm{H} \,\dot{=}\, 2{,}4\,\mathrm{mH}\]

    Frekvence napětí zdroje:

    \[f_3=\frac{\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{4 \pi L}=\frac{\sqrt{3} \cdot 2000 + \sqrt{\left(\sqrt{3} \cdot 2000\right)^2 + \frac{4{\cdot} 2{,}4 {\cdot} 10^{-3}}{5{,}5 {\cdot} 10^{-6}}}}{4 \pi \cdot 2{,}4{\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Hz}\,\dot{=}\,230 \,\mathrm{ kHz}\]

     

    \[f_4=\frac{-\sqrt{3}R_b + \sqrt{\left(\sqrt{3}R_b\right)^2 + \frac{4L}{C}}}{4 \pi L}=\frac{-\sqrt{3} \cdot 2000 + \sqrt{\left(\sqrt{3} \cdot 2000\right)^2 + \frac{4{\cdot} 2{,}4 {\cdot} 10^{-3}}{5{,}5 {\cdot} 10^{-6}}}}{4 \pi \cdot 2{,}4 {\cdot} 10^{-3}}\,\mathrm{Hz}\,\dot{=}\,8{,}4 \,\mathrm{ Hz}\]
  • Odpověď

    a) Indukčnost cívky v obvodu má hodnotu asi 2,4 mH.

    b) Hodnoty frekvencí, připadající k odporu 2000 Ω, jsou přibližně 230 kHz a 8,4 Hz.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze