Paralelní zapojení kondenzátorů

Úloha číslo: 158

Sériový obvod střídavého proudu o frekvenci 50 Hz se skládá z reostatu s nastaveným odporem 240 Ω a dvou kondenzátorů o kapacitách C1 = C2 = 16 μF spojených paralelně. Kolikrát se změní proud v obvodu, jestliže jeden kondenzátor odpojíme? Jak musíme změnit odpor reostatu, aby obvodem procházel původní proud?

schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Frekvenci na zdroji:f = 50 Hz
    Odpor reostatu:R = 240 Ω
    Kapacity kondenzátorů:  C1 = C2  = 16 μF = 16·10-6 F

    Chceme určit:

    Změnu proudu při odpojení jednoho z kondenzátorů:Im2/Im1 = ?
    Novou hodnotu odporu reostatu, aby po odpojení
    kondenzátoru tekl obvodem stejný proud:
    Rx = ? (Ω)

  • Nápověda 1

    Zapojíme-li kondenzátory paralelně, jejich kapacity se sčítají: \[C=C_1+C_2.\]

  • Nápověda 2

    Pro výpočet použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud \(I_m=\frac{U_m}{Z} \), kde Z je celková impedance obvodu.

  • Rozbor úlohy

    Máme porovnat proud v obvodu s oběma kondenzátory zařazenými paralelně s proudem v obvodu ve chvíli, kdy jeden z kondenzátorů odpojíme. Oba proudy získáme pomocí Ohmova zákona pro střídavý proud a spočteme jejich poměr.

    Chceme-li získat stejný proud v obvodu s jedním kondenzátorem jako v obvodu se dvěma kondenzátory, musíme změnit velikost odporu reostatu tak, aby celková impedance obvodu se rovnala hodnotě před odpojením kondenzátoru.

  • Změna proudu při odpojení jednoho z kondenzátorů

    Proud pro obvod s oběma kondenzátory zapojenými paralelně vyjádříme pomocí Ohmova zákona:

    \[I_{m1}=\frac{U_m}{Z_1}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+X_C^2}}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f (C_1+C_2)}\right)^2}}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2}}\mathrm{.}\]

     

    Vyjádření proudu pro obvod, kdy jeden z kondenzátorů odpojíme, se liší pouze v tom, že dosadíme jinou kapacitu:

    \[I_{m2}=\frac{U_m}{Z_2}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+X_C^2}}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C}\right)^2}}=\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2}}\mathrm{.}\]

     

    Změnu proudu po odpojení jednoho z kondenzátorů vyjádříme poměrem mezi oběma proudy:

    \[\frac{I_{m2}}{I_{m1}}=\frac{\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2}}}{\frac{U_m}{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2}}}=\frac{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2}}{\sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2}}. \]
  • Změna velikosti odporu na reostatu

    Aby se proud po odpojení kondenzátoru rovnal proudu Im1 musíme změnit velikost odporu reostatu. Novou hodnotu odporu označíme Rx. Napětí na zdroji je stejné pro obě zapojení. Změnou odporu reostatu musíme dosáhnout rovnosti impedancí Z1 a Z3 obou obvodů, a tím zajistíme i rovnost proudů.

    \[Z_3=Z_1\]

    \[\sqrt{ \left(R_x\right)^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2}= \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2}\]

    Z předchozího vztahu vyjádříme hledaný odpor reostatu Rx:

    \[\left(R_x\right)^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2=R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2\]

    \[\left(R_x\right)^2=R^2 + \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2 - \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2\]

    \[R_x= \sqrt{R^2-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2 }.\]

  • Číselné dosazení

    Změna proudu:

    \[\frac{I_{m2}}{I_{m1}}=\frac{ \sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{4 \pi f C_1}\right)^2}}{\sqrt{R^2+ \left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2}} =\frac{ \sqrt{ 240^2+ \left(\frac{1}{4 \pi \cdot 50 {\cdot} 16 \cdot 10^{-6}}\right)^2 } }{ \sqrt{240^2+ \left(\frac{1}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 16 \cdot 10^{-6}}\right)^2} }\,\dot{=}\,0{,}8 \]

    Velikost odporu reostatu tak, aby byl proud po odpojení jednoho z kondenzátorů stejný:

    \[R_x= \sqrt{R^2-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2 \pi f C_1}\right)^2 }=\sqrt{240^2-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 16 \cdot 10^{-6}}\right)^2}\,\dot=167\, \mathrm \Omega \]

    Poměr mezi odpory je:

    \[ \frac{R_x}{R}= \frac{170}{240}\,\dot{=}\,0{,}7\]
  • Odpověď

    Poměr mezi proudy je přibližně: Im2/Im1 = 0,8. To znamená, že odpojíme-li z obvodu jeden kondenzátor, proud se zmenší asi o 20 %.

    Velikost nového odporu reostatu je přibližně: Rx = 167 Ω. Chceme-li zachovat stejný proud po odpojení jednoho z kondenzátorů, musíme zmenšit odpor na reostatu asi o 30 %.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na porovnávání a rozlišování
Zaslat komentář k úloze