Sbírka řešených úloh

Nabité koule spojené drátem

Úloha číslo: 43

V jakém poměru se rozdělí náboj na dvě kovové koule o poloměrech r₁ = 4 cm a r₂ = 1 cm, které jsou spojené tenkým dlouhým drátem? Jaký bude poměr hustot náboje na povrchu obou koulí?

• Nápověda

  Jak se bude lišit potenciál nabitých koulí, spojíme-li je vodivým drátem?

• Nápověda: Potenciál koule

  Spojíme-li nabité vodivé koule drátem, bude se přesouvat náboj z jedné koule na druhou do té doby, než budou mít obě stejný potenciál.

  Potenciál nabité koule závisí přímo úměrně na náboji koule a nepřímo úměrně na jejím poloměru.

• Rozbor

  Spojíme-li nabité koule vodivým dlouhým drátem, začne se po drátě přesouvat náboj z jedné koule na druhou. Rovnováha nastane v okamžiku, kdy bude elektrický potenciál obou koulí stejný. Spočítáme-li potenciál obou koulí a dáme-li tyto vztahy do rovnosti, získáme po několika matematických úpravách hledaný poměr nábojů.

  Protože jsou obě koule vodivé, bude všechen náboj na jejich povrchu. Pro potenciál vně a na povrchu nabité koule platí stejný vztah jako pro potenciál v okolí a na povrchu bodového náboje. Závisí tedy přímo úměrně na náboji a konstantě k a nepřímo úměrně na poloměru koule.

  Hustotu náboje získáme, jestliže celkový náboj koule vydělíme jejím povrchem. Povrch koule si můžeme vyjádřit pomocí známého poloměru. Pak už jen stačí vztahy pro hustoty náboje obou koulí porovnat.

• Výpočet poměru nábojů

  Jsou-li dvě tělesa vodivě spojena, rozloží se na nich náboj tak, aby byl potenciál obou těles stejný.

  Pro potenciál vně a na povrchu nabité koule platí stejný vztah jako pro bodový náboj:

  \[\varphi \, =\,k\,\frac{Q}{r}.\]

  Potenciál první koule je tedy \(\varphi_1 \, =\,k\,\frac{Q_1}{r_1}\),

  potenciál druhé koule je \(\varphi_2 \, =\,k\,\frac{Q_2}{r_2}\).

  Potenciál obou koulí je stejný:

  \[\varphi_1\,=\,\varphi_2,\] \[k\,\frac{Q_1}{r_1}\, =\,k\,\frac{Q_2}{r_2}.\]

  Zkrátíme konstantu k a vyjádříme si poměr nábojů (oba náboje převedeme na jednu stranu rovnice):

  \[\frac{Q_1}{Q_2}\,=\,\frac{r_1}{r_2}.\]

  Náboje se tedy rozdělí ve stejném poměru, jako jsou poloměry obou koulí.

  To znamená, že na větší kouli bude větší náboj.

• Výpočet poměru plošných hustot náboje

  Plošná hustota náboje koule závisí na celkovém náboji koule a na jejím povrchu:

  \[Q\,=\,\sigma S.\]

  Dosadíme-li vzorec pro povrch koule S = 4πr², dostáváme pro plošné hustoty náboje vztah:

  \[Q_1\,=\,\sigma_1 4\pi r_1^2 \hspace{10px} \Rightarrow \sigma_1\,=\,\frac{Q_1} {4\pi r_1^2}\] \[Q_2\,=\,\sigma_24\pi r_2^2 \hspace{10px} \Rightarrow \sigma_2\,=\,\frac{Q_2} {4\pi r_2^2} .\]

  Nyní už můžeme vypočítat poměr plošných hustot náboje:

  \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{\frac{Q_1} {4\pi r_1^2}}{\frac{Q_2} {4\pi r_2^2}}, \] \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{Q_1 4\pi r_2^2}{Q_24\pi r_1^2}\, \]

  a zkrátíme konstantu 4π.

  \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{Q_1 r_2^2}{Q_2 r_1^2}. \tag{*}\]

  V předchozí části řešení (Výpočet poměru nábojů) jsme zjistili, že poměr nábojů první a druhé koule je stejný jako poměr jejich poloměrů \(\frac{Q_1}{Q_2}\,=\,\frac{r_1}{r_2}\). Tento vztah můžeme tedy dosadit do vzorce (*):

  \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{r_1 r_2^2}{r_2 r_1^2}. \]

  Zkrácením jednoho r₁ a r₂ získáme konečný vztah pro poměr plošných hustot náboje:

  \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{r_2}{r_1}. \]

  Poměr plošných hustot náboje první a druhé koule je roven převrácenému poměru jejich poloměrů.

  To znamená, že na větší kouli bude menší plošná hustota náboje.

• Řešení úvahou

  Spojíme-li nabité koule vodivým drátem, rozdělí se na ně náboj tak, aby potenciál obou koulí byl stejný.

  Potenciál koule je stejný jako potenciál bodového náboje. Závisí tedy přímo úměrně na náboji a nepřímo úměrně na poloměru koule. Větší koule má 4krát větší poloměr než menší koule. Aby byl potenciál obou koulí stejný, musí být tedy na větší kouli 4krát větší náboj než na menší kouli.

  Náboj na větší kouli je 4krát větší než na menší kouli. Větší koule má 4krát větší poloměr, to znamená, že koule má 16krát větší povrch než koule menší. Hustotu náboje na povrchu koule získáme, jestliže celkový náboj koule vydělíme jejím povrchem. Hustota náboje na povrchu větší koule je tedy 4krát menší \(\left(\frac{16}{4}\,=\,4\right)\).

• Zápis a číselný výpočet

  \[r_1\,=\,4\,\mathrm{cm}\] \[r_2\,=\,1\,\mathrm{cm}\] \[\frac{Q_1}{Q_2}\,=\,?\] \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,?\]

  Poznámka: Protože ve vzorci vystupuje poměr poloměrů, nemusíme poloměry vyjadřovat v základních jednotkách, ale stačí nám, že oba mají stejnou jednotku.

  ---

  \[\frac{Q_1}{Q_2}\,=\,\frac{r_1}{r_2}\,=\,\frac{4}{1}\] \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{r_2}{r_1}\,=\,\frac{1}{4}\]

  Náboj na větší kouli bude 4krát větší než na menší kouli, ale plošná hustota náboje bude 4krát menší.

• Odpověď

  Náboje se na obě koule rozdělí ve stejném poměru, v jakém jsou jejich poloměry:

  \[\frac{Q_1}{Q_2}\,=\,\frac{r_1}{r_2}\,=\,\frac{4}{1}\,.\]

  Plošné hustoty náboje obou koulí se rozdělí v poměru opačném:

  \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\,=\,\frac{r_2}{r_1}\,=\,\frac{1}{4}\,.\] .