Reálná cívka

Úloha číslo: 795

Ke zdroji střídavého napětí s efektivní hodnotou 10 V a frekvencí 50 Hz, připojíme reálnou cívku. Obvodem prochází proud o efektivní hodnotě 16 mA. Zařadíme-li do série s cívkou rezistor o odporu 470 Ω, zmenší se proud tekoucí cívkou na hodnotu 12 mA. Určete indukčnost L a odpor RL reálné cívky.

  • Nápověda – reálná cívka

    Reálná cívka má indukčnost i odpor. Schématicky reálnou cívku znázorňujeme jako cívku spojenou sériově s rezistorem.

    nahrazení reálné cívky sériovým spojením cívky a rezistoru
  • Nápověda

    V zadání se mluví o dvou zapojení – nejdříve připojíme ke zdroji reálnou cívku, poté připojíme ke zdroji reálnou cívku a rezistor. Také máme určit dvě neznámé – indukčnost a odpor cívky. Zkuste použít Ohmův zákon pro obě zapojení, tím získáte dvě rovnice pro dvě neznámé.

  • Nápověda – spojení reálné cívky a rezistoru

    Máme-li k reálné cívce o indukčnosti L a odporu RL připojit sériově rezistor o odporu R, změní se velikost celkového odporu obvodu Rc. Jelikož se jedná o sériové zapojení rezistorů, můžeme celkový odpor Rc vyjádřit pomocí vztahu:

    \[ R_c = R_L + R. \]
  • Rozbor

    Pomocí Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím vyjádříme rovnici pro výpočet napětí v obvodu s reálnou cívkou a rovnici pro výpočet napětí v obvodu, ve kterém k reálné cívce připojíme sériově rezistor. Pomocí diagramů odvodíme velikosti celkových impedancí pro jednotlivé obvody. Získáme tak dvě rovnice pro dvě neznámé, kterými jsou indukčnost a odpor cívky. Tuto soustavu vyřešíme.

  • Řešení

    Do obvodu je zapojena reálná cívka. To znamená, že je charakterizována jak indukčností L, tak odporem RL.

    Před připojením rezistoru o odporu R do obvodu z Ohmova zákona platí:

    \[ U = Z_L I_1, \]

    kde U je efektivní hodnota napětí zdroje, ZL impedance reálné cívky a I efektivní hodnota proudu v obvodu. Vyjádříme impedanci ZL reálné cívky pomocí diagramu a dosadíme do vztahu výše:

    diagram zapojení
    \[ Z_L = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2}, \] \[ U = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2}\, I_1. \]

    Nyní připojíme do obvodu k reálné cívce sériově rezistor o odporu R. Z Ohmova zákona pro obvod se střídavým napětím vyplývá:

    \[ U = Z I_2, \]

    kde Z je celková impedance zapojení. Vyjádříme celkovou impedanci Z z diagramu:

    diagram zapojení
    \[ Z = \sqrt{ (R+R_L)^2 + X_L^2 }\]

    a dosadíme do Ohmova zákona pro toto zapojení:

    \[ U = \sqrt{ (R+R_L)^2 + X_L^2 }\, I_2. \]

    Získali jsme dvě rovnice pro dvě neznámé induktanci cívky XL a odpor cívky RL:

    \[ U = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2}\, I_1, \tag{1}\] \[ U = \sqrt{ (R+R_L)^2 + X_L^2 }\, I_2. \tag{2}\]

    Rovnice upravíme a umocníme:

    \[ \frac{U}{I_1} = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2} \hspace{60px}\Rightarrow\qquad\left(\frac{U}{I_1}\right)^2 = R_L^2 + X_L^2, \] \[ \frac{U}{I_2} = \sqrt{ (R+R_L)^2 + X_L^2 }\qquad\Rightarrow\qquad \left(\frac{U}{I_2}\right)^2 = (R+R_L)^2 + X_L^2 , \]

    a odečteme od sebe, abychom získali rovnici jen o jedné neznámé – odporu RL (neznámá induktance XL se odečte):

    \[ \left(\frac{U}{I_1}\right)^2-\left(\frac{U}{I_2}\right)^2 = R_L^2 + X_L^2 - [ (R+R_L)^2 + X_L^2 ]. \]

    Rovnici upravíme:

    \[ \left(\frac{U}{I_1}\right)^2-\left(\frac{U}{I_2}\right)^2 = - R^2 -2R R_L \]

    a vyjádříme odpor cívky RL:

    \[ R_L= \frac{- R^2 - \left(\frac{U}{I_1}\right)^2+\left(\frac{U}{I_2}\right)^2 }{2R} = \frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2}.\]

    Induktanci cívky XL vyjádříme například z následující rovnice:

    \[ U = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2}\, I_1, \tag{1}\] \[ \frac{U}{I_1} = \sqrt{ R_L^2 + X_L^2}, \] \[ \left(\frac{U}{I_1}\right)^2 = R_L^2 + X_L^2, \] \[ X_L = \sqrt{\left(\frac{U}{I_1}\right)^2 - R_L^2}. \]

    Dosadíme za odpor cívky RL výraz odvozený výše:

    \[ X_L = \sqrt{\left(\frac{U}{I_1}\right)^2 - \left(\frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2}\right)^2}. \]

    Vyjádříme indukčnost cívky L z poznatku, že XL = 2πfL, kde f je frekvence napětí zdroje:

    \[ 2 \pi f L = \sqrt{\left(\frac{U}{I_1}\right)^2 - \left(\frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2}\right)^2 }, \] \[ L = \frac{1}{ 2 \pi f} \sqrt{\left(\frac{U}{I_1}\right)^2 - \left(\frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2}\right)^2 }. \]
  • Zápis a číselné dosazení

    U = 10 V efektivní hodnota napětí zdroje
    I1 = 16 mA = 0,016 A proud protékající reálnou cívkou
    R = 470 Ω odpor rezistoru
    I2 = 12 mA = 0,012 A proud protékající obvodem sériového zapojení reálné cívky a rezistoru
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    RL = ? (Ω) odpor reálné cívky
    L = ? (H) indukčnost cívky

    \[ R_L=\frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2}= \frac{10^2}{2{\cdot} 470 \cdot 0{,}012^2} \,-\,\frac{470}{2} \,-\, \frac{10^2}{2{\cdot} 470 \cdot 0{,}016^2}\,\dot=\, 88 \,\mathrm \Omega \] \[ L = \frac{1}{ 2 \pi f}\sqrt{(\frac{U}{I_1})^2 - (\frac{U^2}{2RI_2^2} \,-\,\frac{R}{2} \,-\, \frac{U^2}{2RI_1^2})^2 } =\] \[ \,\ \ = \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot 50}\sqrt{(\frac{10}{0{,}016})^2 - (\frac{10^2}{2{\cdot} 470 \cdot 0{,}012^2} \,-\,\frac{470}{2} \,-\, \frac{10^2}{2{\cdot} 470 \cdot 0{,}016 ^2})^2 } \,\dot=\,2\,\mathrm H \]
  • Odpověď

    Odpor cívky má hodnotu přibližně 88 Ω a indukčnost cívky je asi 2 H.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze