Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Řešení obvodu Théveninovou větou

Úloha číslo: 1959

Řešte tento obvod pomocí Théveninovy věty, spočtěte proud I3, jestliže je zadáno:

U = 20 V, R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = 5 Ω.

 

zadání
  • Rozbor

    Znění Théveninovy věty: Libovolně složitý obvod lze vzhledem k libovolným dvěma svorkám nahradit obvodem skutečného zdroje napětí.

    U skutečného zdroje napětí je U0 napětí ideálního zdroje napětí a Ri jeho vnitřní odpor. Napětí U0 v libovolně složitém obvodu stanovíme jako napětí naprázdno na výstupních svorkách, tj. napětí, kdy je uvažovaná část obvodu vynechána. Vnitřní odpor Ri v libovolně složitém obvodu stanovíme jako odpor mezi výstupními svorkami v případě, že je zátěž odpojena, všechny zdroje napětí zkratovány, případné zdroje proudu vyřazeny.

  • Postup řešení

    Našim úkolem je určit proud \(I_3\) rezistorem s odporem \(R_3\) v obvodu:

    postup řešení

    Nakreslíme si ekvivalentní obvod dle Théveniovy věty (zůstal rezisotor R3 a zbytek obvodu je nahrazen zdrojem s napětím U0 s vnitřním odporem Ri).

    ekvivalentní obvod

     

    1. Označíme si 2 svorky (v našem případě svorky 1 a 2).

    2. Nakreslíme si ekvivalentní obvod dle Théveninovy věty.

    3. V ekvivalentním obvodu určíme vnitřní odpor Ri tak, že odpojíme zátěž (v našem případě rezistor R3) a napětový zdrojU zkratujeme (jde o ideální zdroj).

    4. Dále musíme určit napětí ideálního zdroje U0, který určíme tak, že odpojíme zátěž (v našem případě rezistor R3) a určíme napětí na výstupních svorkách (svorky 1 a 2).

  • 1. část řešení – vnitřní odpor Ri v ekvivalentním obvodu

    Naším úkolem je teď spočítat vnitřní odpor \(R_{i}\) zdroje, kterým nahradíme dle Théveniovy věty zbytek obvodu.

    Z postupu řešení víme, že odpor Ri spočteme tak, že odpojíme zátěž, což je v našem případě rezistor R3 a napěťový zdroj U zkratujeme. Odpor Ri určíme vzhledem ke svorkám 1 a 2.

    vnitřní odpor

    Vidíme, že rezistory R1 a R2 jsou zapojeny paralelně

    \[R_\mathrm{12}\,=\, \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\, \,=\, \frac{5}{2}\,\,\mathrm{\Omega}\]

    a také rezistory R4 a R5 a také R6 a R7

    \[R_\mathrm{45}\,=\, \frac{R_4R_5}{R_4+R_5}\, \,=\, \frac{5}{2}\,\,\mathrm{\Omega},\] \[R_\mathrm{67}\,=\, \frac{R_6R_7}{R_6+R_7}\, \,=\, \frac{5}{2}\,\,\mathrm{\Omega}.\]

    Obvod jsme tímto zjednodušili.

    zjednodušení

    Rezistory R45 a R67 jsou zapojeny sériově a k ním je připojen paralelně rezistor R12. Vnitřní odpor Ri tedy je :

    \[R_\mathrm{i}\,=\, \frac{R_\mathrm{12}(R_\mathrm{45} + R_\mathrm{67})}{R_\mathrm{12}+R_\mathrm{45}+R_\mathrm{67}}\, \,=\, \frac{5}{3}\,\,\mathrm{\Omega}.\]

    Pro ty, kteří by si chtěli procvičit zapojení s rezistory nebo jsou si v tom ještě nejistí, tak doporučujeme následující úlohy.

  • 2. část řešení – napětí naprázdno U0 v ekvivalentním obvodu

    Budeme zjišťovat napětí U0 mezi svorkami 1 a 2. To provedeme tak, že odpojíme zátěž (viz postup řešení).

    ekvivalentní zdroj

    Hledané napětí U0 můžeme spočítat ruznými způsoby. Ten nejjednodušší asi je, že napětí U0 spočítáme jako součet úbytku napětí na rezistorech R45 a R67.

    Z obvodu vidíme, že napětí naprázdno U0 spočítáme tak, že sečteme úbytky napětí na rezistorech R4, R5, které jsou zapojeny paralelně a úbytky napětí na rezistorech R6, R7, které jsou také zapojeny paralelně. Celkový proud I v obvodu je:

    \[ I \,=\, \frac{U}{R_\mathrm{celkovy}}\,, \]

    kde \(R_\mathrm{celkovy}\) určíme jakou součet odporů tří bloků dvou paralelně zapojených rezistorů:

    \[ R_\mathrm{celkový}= R_{12} +R_{45} +R_{67} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\, + \frac{R_4R_5}{R_4+R_5}\, + \frac{R_6R_7}{R_6+R_7}\, \] \[ R_\mathrm{celkový} = \frac{15}{2}\,\, \mathrm{\Omega}. \]

    Celkový proud obvodem je

    \[ I \,=\, \frac{U}{R_\mathrm{celkový}}\, \,=\, \frac{20}{\frac{15}{2}} \,=\, \frac{8}{3}\,\, \mathrm{A}. \] \[ R_\mathrm{45} = \frac{R_4R_5}{R_4+R_5}\, \,=\, \frac{5}{2}\, \mathrm{\Omega} \] \[ R_\mathrm{67} = \frac{R_6R_7}{R_6+R_7}\, \,=\, \frac{5}{2}\, \mathrm{\Omega} \]

    Ekvivalnetní napětí naprázdno U0 spočítáme:

    \[ U_0 \,=\, I(R_\mathrm{45} + R_\mathrm{67}) \,=\, 5\cdot\frac{8}{3}\, \, \mathrm{V} \] \[ U_0 \,=\, \frac{40}{3}\, \, \mathrm{V} \]
    ekvivalentní obvod

    Nyní už máme všechny hodnoty prvků v ekvivalentním obvodu určeny a můžeme dopočítat proud I3.

    \[ I_3 \,=\, \frac{U_\mathrm{0}}{R_\mathrm{i}+R_3}\, \,=\, \frac{\frac{40}{3}}{\frac{5}{3}+5} \,\mathrm{A}, \] \[ I_3 \,=\, 2 \mathrm{A}. \]
  • Odpověď

    Dle Théveninovy věty jsme si nakreslili ekvivalentní obvod. Určili jsme jeho vnitřní odpor \(R_i\) a napětí \(U_0\) \[R_\mathrm{i}\,=\, \frac{5}{3}\,\mathrm{\Omega},\qquad U_\mathrm{0}\,=\,\frac{40}{3}\,\mathrm{V}. \]

    Z ekvivalentního obvodu jsme dopočítali napětí I3

    \[I_3\,=\, 2\,\mathrm{A}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze