Přepálení žárovky

Úloha číslo: 703

Dvě žárovky určené na napětí 24 V a o jmenovitých příkonech 25 W a 150 W jsou spojeny sériově a zapojeny do sítě s napětím 230 V. Která žárovka se přepálí?

  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, co to je jmenovitý příkon žárovky. Jak souvisí s dalšími vlastnostmi žárovky?

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, co platí pro celkové napětí a proud procházející obvodem při sériovém zapojení žárovek.

  • Rozbor

    Hlavním cílem v této úloze bude spočítat skutečné napětí na obou žárovkách při zapojení do sítě. Tato napětí následně porovnáme s maximálním povoleným napětím uvedeným na žárovkách. Pokud bude po připojení do sítě napětí na některé žárovce vyšší než maximální povolené napětí, pak se vlákno této žárovky velmi pravděpodobně přepálí.

    Z uvedeného povoleného napětí a jmenovitého příkonu určíme nejprve odpor obou žárovek. Elektrický odpor je charakteristika, která nezáleží na tom, jak je žárovka v obvodu zapojena, bude tedy stejný ve všech zapojeních.

    Žárovky jsou zapojeny sériově, proto jimi poteče stejný proud. Z Ohmova zákona tedy plyne, že podíl odporů žárovek bude roven podílu napětí na žárovkách. Součet napětí na žárovkách se musí rovnat napětí zdroje. Z těchto dvou rovností určíme napětí na obou žárovkách a porovnáme ho s povoleným napětím, které je na nich uvedeno.

  • Řešení – vyjádření napětí na žárovkách

    Z jmenovitých příkonů můžeme určit odpory žárovek R1 a R2. Jmenovitý příkon žárovek P1 a P2 vypočítáme ze vzorců:

    \[ P_1\,=\,\frac{U^2}{R_1}\hspace{15px}\mathrm{a}\hspace{15px}P_2\,=\,\frac{U^2}{R_2}\hspace{10px}\mathrm{,} \]

    kde U je maximální povolené napětí žárovek, tedy v našem případě 24 V. Podíl jmenovitých příkonů žárovek je tedy roven převrácené hodnotě podílu odporů žárovek:

    \[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{\frac{U^2}{R_1}}{\frac{U^2}{R_2}}\,=\,\frac{R_2}{R_1}\,. \tag{1}\]

    Žárovky jsou zapojeny sériově, a proto oběma žárovkami teče stejný proud. Podle Ohmova zákona pro část obvodu musí proto platit vztah:

    \[ I\,=\,\frac{U_1}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{R_2}\,, \]

    kde U1 a U2 jsou skutečná napětí na žárovkách.

    Tedy:

    \[ \frac{R_2}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,. \]

    Tento vztah dosadíme do výrazu (1):

    \[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{R_2}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,. \]

    Při sériovém zapojení je součet napětí na žárovkách U1 a U2 roven napětí UC v síti. Platí tedy:

    \[ U_C\,=\,U_1\,+\,U_2. \]

    Ze vzorce vyjádříme napětí U2 a dosadíme do vztahu pro podíl jmenovitých příkonů žárovek:

    \[ U_2\,=\,U_C\,-\,U_1 \] \[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,=\,\frac{U_C\,-\,U_1}{U_1}\,. \]

    Nyní již vypočítáme napětí na první žárovce v závislosti na jmenovitém příkonu obou žárovek a celkovém napětí sítě:

    \[ \frac{P_1}{P_2}\,U_1\,=\,U_C\,-\,U_1 \] \[ \left(\frac{P_1}{P_2}\,+\,1\right)\,U_1\,=\,U_C \] \[ \frac{P_1\,+\,P_2}{P_2}\,U_1\,=\,U_C. \]

    Napětí na první žárovce tedy vypočítáme ze vztahu:

    \[ U_1\,=\,\frac{P_2}{P_1\,+\,P_2}\,U_C. \]

    Obdobným způsobem můžeme vypočítat napětí na druhé žárovce. Protože jsou však do obvodu zapojeny jen dvě žárovky a žádný další prvek je neovlivňuje, stačí pouze v získaném vztahu zaměnit indexy napětí a jmenovitých příkonů (index 1 nahradíme indexem 2 a opačně).

    Vztah pro výpočet napětí na druhé žárovce:

    \[ U_2\,=\,\frac{P_1}{P_1\,+\,P_2}\,U_C. \]
  • Číselné dosazení

    Ze zadání úlohy známe:

    UC = 230 V celkové napětí sítě
    P1 = 25 W příkon první žárovky
    P2 = 150 W příkon druhé žárovky
    U = 24 V maximální povolené napětí na žárovkách

    V minulém oddíle jsme získali vzorce pro výpočet napětí na obou žárovkách:

    \[ U_1\,=\,\frac{P_2}{P_1\,+\,P_2}\,U_C \] \[ U_2\,=\,\frac{P_1}{P_1\,+\,P_2}\,U_C. \]

    Nyní do těchto vzorců dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy:

    \[ U_1\,=\,\frac{150\,\mathrm{W}}{25\,\mathrm{W}\,+\,150\,\mathrm{W}}\,\cdot\,230\,\mathrm{V}\,\dot{=}\,200\,\mathrm{V} \] \[ U_2\,=\,\frac{25\,\mathrm{W}}{25\,\mathrm{W}\,+\,150\,\mathrm{W}}\,\cdot\,230\,\mathrm{V}\,\dot{=}\,33\,\mathrm{V}. \]
  • Odpověď a diskuze výsledků

    Napětí na žárovce o příkonu 25 W bude téměř 200 V a na žárovce o příkonu 150 W bude 33 V. Maximální povolené napětí tedy bude překročeno u obou žárovek. Mnohem výraznější však bude toto překročení u žárovky s nižším příkonem, a proto by se nejspíše přepálila právě tato žárovka. Tím by byl obvod přerušen a druhá žárovka, u níž je povolené napětí překročeno jen těsně, by zůstala uchráněna.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze