Přepálení žárovky
Úloha číslo: 703
Dvě žárovky určené na napětí 24 V a o jmenovitých příkonech 25 W a 150 W jsou spojeny sériově a zapojeny do sítě s napětím 230 V. Která žárovka se přepálí?
Nápověda 1
Uvědomte si nebo vyhledejte, co to je jmenovitý příkon žárovky. Jak souvisí s dalšími vlastnostmi žárovky?
Nápověda 2
Uvědomte si, co platí pro celkové napětí a proud procházející obvodem při sériovém zapojení žárovek.
Rozbor
Hlavním cílem v této úloze bude spočítat skutečné napětí na obou žárovkách při zapojení do sítě. Tato napětí následně porovnáme s maximálním povoleným napětím uvedeným na žárovkách. Pokud bude po připojení do sítě napětí na některé žárovce vyšší než maximální povolené napětí, pak se vlákno této žárovky velmi pravděpodobně přepálí.
Z uvedeného povoleného napětí a jmenovitého příkonu určíme nejprve odpor obou žárovek. Elektrický odpor je charakteristika, která nezáleží na tom, jak je žárovka v obvodu zapojena, bude tedy stejný ve všech zapojeních.
Žárovky jsou zapojeny sériově, proto jimi poteče stejný proud. Z Ohmova zákona tedy plyne, že podíl odporů žárovek bude roven podílu napětí na žárovkách. Součet napětí na žárovkách se musí rovnat napětí zdroje. Z těchto dvou rovností určíme napětí na obou žárovkách a porovnáme ho s povoleným napětím, které je na nich uvedeno.
Řešení – vyjádření napětí na žárovkách
Z jmenovitých příkonů můžeme určit odpory žárovek R1 a R2. Jmenovitý příkon žárovek P1 a P2 vypočítáme ze vzorců:
\[ P_1\,=\,\frac{U^2}{R_1}\hspace{15px}\mathrm{a}\hspace{15px}P_2\,=\,\frac{U^2}{R_2}\hspace{10px}\mathrm{,} \]kde U je maximální povolené napětí žárovek, tedy v našem případě 24 V. Podíl jmenovitých příkonů žárovek je tedy roven převrácené hodnotě podílu odporů žárovek:
\[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{\frac{U^2}{R_1}}{\frac{U^2}{R_2}}\,=\,\frac{R_2}{R_1}\,. \tag{1}\]Žárovky jsou zapojeny sériově, a proto oběma žárovkami teče stejný proud. Podle Ohmova zákona pro část obvodu musí proto platit vztah:
\[ I\,=\,\frac{U_1}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{R_2}\,, \]kde U1 a U2 jsou skutečná napětí na žárovkách.
Tedy:
\[ \frac{R_2}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,. \]Tento vztah dosadíme do výrazu (1):
\[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{R_2}{R_1}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,. \]Při sériovém zapojení je součet napětí na žárovkách U1 a U2 roven napětí UC v síti. Platí tedy:
\[ U_\mathrm{C}\,=\,U_1\,+\,U_2. \]Ze vzorce vyjádříme napětí U2 a dosadíme do vztahu pro podíl jmenovitých příkonů žárovek:
\[ U_2\,=\,U_\mathrm{C}\,-\,U_1 \] \[ \frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{U_2}{U_1}\,=\,\frac{U_\mathrm{C}\,-\,U_1}{U_1}\,. \]Nyní již vypočítáme napětí na první žárovce v závislosti na jmenovitém příkonu obou žárovek a celkovém napětí sítě:
\[ \frac{P_1}{P_2}\,U_1\,=\,U_\mathrm{C}\,-\,U_1 \] \[ \left(\frac{P_1}{P_2}\,+\,1\right)\,U_1\,=\,U_\mathrm{C} \] \[ \frac{P_1\,+\,P_2}{P_2}\,U_1\,=\,U_\mathrm{C}. \]Napětí na první žárovce tedy vypočítáme ze vztahu:
\[ U_1\,=\,\frac{P_2}{P_1\,+\,P_2}\,U_\mathrm{C}. \]Obdobným způsobem můžeme vypočítat napětí na druhé žárovce. Protože jsou však do obvodu zapojeny jen dvě žárovky a žádný další prvek je neovlivňuje, stačí pouze v získaném vztahu zaměnit indexy napětí a jmenovitých příkonů (index 1 nahradíme indexem 2 a opačně).
Vztah pro výpočet napětí na druhé žárovce:
\[ U_2\,=\,\frac{P_1}{P_1\,+\,P_2}\,U_\mathrm{C}. \]Číselné dosazení
Ze zadání úlohy známe:
UC = 230 V celkové napětí sítě P1 = 25 W příkon první žárovky P2 = 150 W příkon druhé žárovky U = 24 V maximální povolené napětí na žárovkách
V minulém oddíle jsme získali vzorce pro výpočet napětí na obou žárovkách:
\[ U_1\,=\,\frac{P_2}{P_1\,+\,P_2}\,U_\mathrm{C} \] \[ U_2\,=\,\frac{P_1}{P_1\,+\,P_2}\,U_\mathrm{C}. \]Nyní do těchto vzorců dosadíme číselné hodnoty ze zadání úlohy:
\[ U_1\,=\,\frac{150\,\mathrm{W}}{25\,\mathrm{W}\,+\,150\,\mathrm{W}}\,\cdot\,230\,\mathrm{V}\,\dot{=}\,200\,\mathrm{V} \] \[ U_2\,=\,\frac{25\,\mathrm{W}}{25\,\mathrm{W}\,+\,150\,\mathrm{W}}\,\cdot\,230\,\mathrm{V}\,\dot{=}\,33\,\mathrm{V}. \]Odpověď a diskuze výsledků
Napětí na žárovce o příkonu 25 W bude téměř 200 V a na žárovce o příkonu 150 W bude 33 V. Maximální povolené napětí tedy bude překročeno u obou žárovek. Překročení však bude mnohem výraznější u žárovky s nižším příkonem, a proto by se nejspíše přepálila právě tato žárovka. Tím by byl obvod přerušen a druhá žárovka, u níž je povolené napětí překročeno jen těsně, by zůstala uchráněna.
