Odpor elektrické sítě

Úloha číslo: 676

Na obrázku je zakreslena elektrická síť. Určete odpor mezi body A a B, jestliže je odpor každého rezistoru R.

odpor elektrické sítě
  • Nápověda 1

    Uvědomte si, jaký proud protéká mezi dvěma body o stejném potenciálu. Jak se změní celkový odpor sítě, propojíme-li tyto body vodičem?

  • Nápověda 2

    Využijte pravidla zmíněného v Řešení nápovědy 1, tj. že propojením míst se stejným potenciálem nedojde ke změně odporu sítě. Najděte v zapojení místa se stejným potenciálem a překreslete síť do „přehlednější“ podoby.

  • Nápověda 3

    Uvědomte si, jaká pravidla platí pro počítání celkového odporu sériově a paralelně zapojených rezistorů.

  • Nápověda 4

    Pro vyřešení úlohy je třeba umět sečíst prvních n členů geometrické posloupnosti. Vzpomeňte si na příslušný vzorec nebo si ho vyhledejte.

  • Rozbor

    Z obrázku v zadání úlohy vidíme, že odpovídající si uzly, v nichž dochází k větvení rezistorové sítě, jsou vůči bodům A a B na stejné úrovni, a proto mají stejný potenciál. Pokud tyto body spojíme vodičem s nulovým odporem, můžeme celou síť překreslit podle následujícího obrázku, aniž bychom změnili celkový odpor sítě.

    Překreslené zobrazení rezistorové sítě

    Síť je nyní složena z n sériově zapojených částí a v každé části jsou rezistory zapojeny paralelně. Počet paralelně zapojených rezistorů v k-té části elektrické sítě je 2(k − 1). V první části sítě je tedy zapojen 1 rezistor, ve druhé 2, dále 4, 8, 16, atd.

    Odpor elektrické sítě mezi body A a B nyní určíme podle pravidel pro výpočet celkového odporu sériově a paralelně zapojených rezistorů.

  • Řešení

    Propojením míst se stejným potenciálem můžeme schema překreslit do přehlednější podoby (podrobněji je tato úprava popsána v oddílech Nápověda 2 a Rozbor).

    Přehlednější zobrazení rezistorové sítě

    Z obrázku vidíme, že síť je složena z n sériově zapojených částí a v každé části jsou rezistory zapojeny paralelně. Počet paralelně zapojených rezistorů v k-té části elektrické sítě je 2(k − 1) (tj. v první části sítě 1 rezistor, v druhé 2, dále 4, 8, 16, ...).

    Ze zadání úlohy víme, že odpor každého rezistoru v elektrické síti je R. Nyní je třeba si uvědomit, že x paralelně zapojených rezistorů má v souladu s pravidly pro spojování rezistorů odpor \(\frac{R}{x}\). Proto můžeme pro celkový odpor sítě RAB napsat vztah:

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,R\,+\,\frac{R}{2}\,+\,\frac{R}{4}\,+\,\frac{R}{8}\,+\,...\,+\,\frac{R}{2^{n-1}}, \] \[ R_\mathrm{AB}\,=\,R\left(1\,+\,\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{4}\,+\,\frac{1}{8}\,+\,...\,+\,\frac{1}{2^{n-1}}\right). \]

    Výraz v závorce je součtem prvních n členů geometrické posloupnosti s prvním členem a1 = 1 a kvocientem q = \(\frac{1}{2}\). Pro tento součet platí obecně vzorec

    \[s_n\,=\,a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}.\]

    Pro naše konkrétní hodnoty je součet prvních n členů posloupnosti:

    \[ s_n\,=\,1\cdot\,\frac{1-\frac{1}{2}^n}{1-\frac{1}{2}}\,=\,\frac{\frac{2^n-1^n}{2^n}}{\frac{2-1}{2}}\,=\,\frac{\frac{2^n-1}{2^n}}{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{2\cdot\left(2^n-1\right)}{2^n}\,=\,\frac{2^n-1}{2^{n-1}}. \]

    Pro odpor mezi body A a B elektrické sítě tedy platí vztah:

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,R\,\frac{2^n-1}{2^{n-1}}. \]
  • Odpověď

    Pro odpor sítě mezi body A a B platí vztah:

    \[ R_\mathrm{AB}\,=\,R\,\frac{2^n-1}{2^{n-1}}. \]
  • Odkaz na podobnou úlohu

    Podobnou úlohou na řešení rezistorové sítě je také úloha Nekonečná síť rezistorů.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na konkretizaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze