Kruhový bočník

Úloha číslo: 303

Miliampérmetr o vnitřním odporu 50 Ω má plnou výchylku při proudu 2,0 mA. Určete R1, R2 a R3 pro kruhový bočník s rozsahy 10 mA, 50 mA a 250 mA.

Kruhový bočník
  • Nápověda 1

    Schéma kruhového bočníku je uvedeno na obrázku.

    Kruhový bočník

    Rozsah miliampérmetru se mění podle toho, ke kterým svorkám je bočník do obvodu připojen. V této úloze budeme ampérmetr do obvodu připojovat vždy pomocí svorky zcela vlevo (označené O) a jedné ze svorek vpravo. Pro přehlednost je u nich připsáno, jakému rozsahu ampérmetru každá svorka odpovídá.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, jak přidaný bočník ovlivňuje proud, který prochází ampérmetrem.

  • Rozbor

    Jestliže k miliampérmetru připojíme paralelně rezistor, tzv. bočník, pak celkový proud procházející obvodem bude větší, než proud procházející přístrojem. Stále ale bude platit, že proud procházející přímo ampérmetrem, je úměrný celkovému proudu, který prochází ampérmetrem a bočníkem dohromady. Připojením bočníku tedy zvětšíme rozsah, na kterém je miliampérmetr schopen měřit, aniž by došlo k jeho poškození.

    Kruhový bočník

    Rozsah miliampérmetru se mění podle toho, ke kterým svorkám je bočník do obvodu připojen (v této úloze budeme ampérmetr do obvodu připojovat vždy pomocí svorky O zcela vlevo a jedné ze svorek vpravo). Ze zadání úlohy známe rozsahy pro tři různá připojení:

    1. Ampérmetr je paralelně připojen ke třem rezistorům, obvodem prochází proud I1.

    První připojení

    2. Ampérmetr a rezistor R1 jsou paralelně připojeny k rezistorům R2 a R3, obvodem prochází proud I2.

    Druhé připojení

    3. Ampérmetr a rezistory R1 a R2 jsou paralelně připojeny k rezistoru R3 a obvodem prochází proud I3.

    Třetí připojení

    Ve všech třech případech prochází větví s ampérmetrem proud, při kterém má ampérmetr maximální výchylku, tedy proud 2 A. Druhou (na obrázcích spodní) větví pak prochází proud, který je roven rozdílu celkového proudu procházejícího obvodem a proudu procházejícího ampérmetrem.

    Víme, že pro paralelně zapojené rezistory platí, že napětí je na všech větvích zapojení stejné, a sériově zapojenými rezistory prochází stejný proud. Díky těmto poznatkům a Ohmovu zákonu pro část obvodu si pro každé ze tří zapojení napíšeme rovnici vyjadřující rovnost napětí na paralelních větvích. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých R1, R2 a R3. Z ní vypočítáme odpory jednotlivých rezistorů bočníku.

  • Řešení

    Pokud k miliampérmetru připojíme paralelně rezistor (bočník), pak celkový proud (pro jednotlivá zapojení ho označíme I1, I2, I3) procházející obvodem bude větší, než proud IA procházející přístrojem. Zvýšíme tak rozsah, na kterém je miliampérmetr schopen měřit.

    Poznámka: Ve všech zapojeních bude protékat větví s měřícím přístrojem stejný proud. Pokud by přístrojem protékal proud, jehož hodnota by přesáhla hodnotu proudu, při kterém má ampérmetr plnou výchylku, pak by došlo k poškození přístroje.

    V naší úloze známe tři rozsahy pro tři různá připojení:

    1. Ampérmetr je připojen paralelně ke třem rezistorům:

    První zapojení

    Obvodem bude procházet celkový proud I1, ampérmetrem protéká proud IA, při kterém má přístroj maximální výchylku. Druhou větví pak bude procházet proud, který se rovná rozdílu proudu I1 a IA.

    Napětí na paralelních větvích obvodu je konstantní. Tedy:

    \[U_\mathrm{A1}\,=\,U_\mathrm{B1}\,,\]

    kde UA1 je napětí na větvi s ampérmetrem a UB1 je napětí na bočníku (index 1 značí, že se zabýváme prvním zapojením).

    Tato napětí si vyjádříme pomocí Ohmova zákona pro část obvodu:

    \[R_AI_A\,=\,\left(R_1+R_2+R_3\right)\left(I_1-I_A\right)\,,\tag{1}\]

    RA je vnitřní odpor ampérmetru, IA proud procházející ampérmetrem, součet odporů R1+R2+R3 je celkový odpor bočníku a I1-IA je proud procházející bočníkem.

    2. Ampérmetr a rezistor R1 jsou paralelně připojeny k rezistorům R2 a R3:

    Druhé zapojení

    Celkový proud procházející obvodem označíme I2. Větví s ampérmetrem protéká proud IA, druhou větví prochází proud, který se rovná rozdílu proudů I2 a IA.

    Rovnost napětí na paralelních větvích si opět vyjádříme pomocí Ohmova zákona:

    \[U_\mathrm{A2}\,=\,U_\mathrm{B2}\] \[\left(R_A+R_1\right)I_A\,=\,\left(R_2+R_3\right)\left(I_2-I_A\right)\,.\tag{2}\]

    3. Ampérmetr a rezistory R1 a R2 jsou paralelně připojeny k rezistoru R3:

    Třetí zapojení

    Celkový proud procházející obvodem je I3. Větví, v které je zapojen ampérmetr, protéká proud IA. Druhou větví prochází proud I3 - IA.

    Rovnost napětí na paralelních větvích:

    \[U_\mathrm{A3}\,=\,U_\mathrm{B3}\] \[\left(R_A+R_1+R_2\right)I_A\,=\,R_3\left(I_3-I_A\right)\,.\tag{3}\]

    Takto jsme ze tří zapojení získali tři rovnice o třech neznámých R1, R2 a R3.

    \[R_AI_A\,=\,\left(R_1+R_2+R_3\right)\left(I_1-I_A\right)\tag{1}\] \[\left(R_A+R_1\right)I_A\,=\,\left(R_2+R_3\right)\left(I_2-I_A\right)\tag{2}\] \[\left(R_A+R_1+R_2\right)I_A\,=\,R_3\left(I_3-I_A\right)\tag{3}\]

    Řešením této soustavy rovnic získáme hodnoty odporů rezistorů bočníku.

  • Řešení soustavy rovnic a číselné dosazení

    V minulém oddíle jsme získali soustavu tří rovnic o třech neznámých R1, R2 a R3:

    \[R_AI_A\,=\,\left(R_1+R_2+R_3\right)\left(I_1-I_A\right)\tag{1}\] \[\left(R_A+R_1\right)I_A\,=\,\left(R_2+R_3\right)\left(I_2-I_A\right)\tag{2}\] \[\left(R_A+R_1+R_2\right)I_A\,=\,R_3\left(I_3-I_A\right).\tag{3}\]

    V zadání úlohy máme následující hodnoty:

    IA = 2 mA, RA = 50 Ω, I1 = 10 mA, I2 = 50 mA, I3 = 250 mA.

    Tyto hodnoty dosadíme do soustavy rovnic. Pro lepší přehlednost budeme do rovnic dosazovat jen číselné hodnoty veličin bez jejich jednotek. Hodnoty proudů můžeme dosazovat v miliampérech a jednotkou hledaných odporů budou ohmy.

    \[ 50{\cdot} 2\,=\,\left(R_1+R_2+R_3\right)\left(10-2\right) \tag{1}\] \[ \left(50+R_1\right)\cdot 2\,=\,\left(R_2+R_3\right)\left(50-2\right) \tag{2}\] \[ \left(50+R_1+R_2\right)\cdot 2\,=\,R_3\left(250-2\right). \tag{3}\]

    V každé rovnici nejprve převedeme všechny neznámé na jednu stranu:

    \[ 8R_1+8R_2+8R_3\,=\,100 \tag{1}\] \[ 2R_1-48R_2-48R_3\,=\,-100 \tag{2}\] \[ 2R_1+2R_2-248R_3\,=\,-100 \tag{3}\]

    a rovnice zkrátíme:

    \[ 2R_1+2R_2+2R_3\,=\,25 \tag{1}\] \[ R_1-24R_2-24R_3\,=\,-50 \tag{2}\] \[ R_1+R_2-124R_3\,=\,-50. \tag{3}\]

    Nyní od první rovnice odečteme dvojnásobek druhé rovnice a od druhé rovnice odečteme rovnici třetí:

    \[ 50R_2+50R_3\,=\,125 \tag{1)-2(2}\] \[ -25R_2+100R_3\,=\,0. \tag{2)-(3}\]

    Rovnice opět zkrátíme:

    \[ 2R_2+2R_3\,=\,5 \tag{A}\] \[ -R_2+4R_3\,=\,0. \tag{B}\]

    Z rovnice (B) si vyjádříme R2 a dosadíme do rovnice (A):

    \[R_2\,=\,4R_3\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}2{\cdot} 4R_3+2R_3\,=\,5 \]

    a určíme R3:

    \[10R_3\,=\,5\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}R_3\,=\,0{,}5.\]

    Nyní dopočítáme R2:

    \[R_2\,=\,4R_3\,=\,4{\cdot} 0{,}5\,=\,2.\]

    Z rovnice (3) víme, že:

    \[ R_1+R_2-124R_3\,=\,-50\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px} R_1\,=\,124R_3-R_2-50 \] \[ R_1\,=\,124{\cdot} 0{,}5-2-50\,=\,10. \]

    Odpory rezistorů mají tedy hodnotu R1 = 10Ω, R2 = 2Ω a R3 = 0,5Ω.

  • Odpověď

    Rezistory kruhového bočníku mají odpory R1 = 10 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 0,5 Ω.

  • Odkaz na podobnou úlohu

    Podobnou jednodušší úlohou, která se zabývá připojováním pomocných rezistorů k měřícím přístrojům, je úloha Bočník a předřadný rezistor.

  • Komentář - kruhový bočník

    Kruhový neboli Ayrtonův bočník je rozšiřitelný na větší počet rozsahů.

    Hlavní nedostatek kruhového bočníku se týká rezistorů bočníku, neboť celková přesnost tohoto zapojení je naprosto závislá na všech těchto rezistorech.

    Výhodou tohoto bočníku je, že měřidlo je trvale připojeno k bočníku a při poruše přepínače rozsahů tak nedojde k jeho přetížení.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu –
Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky
v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
Zaslat komentář k úloze