Transformace trojúhelník - hvězda

Úloha číslo: 33

Máme rezistory RA, RB, RC zapojené do „trojúhelníku“. Jak velké musí být odpory R1, R2, R3 zapojené do „hvězdy“, aby se oba obvody navenek chovaly naprosto stejně (tj. pokud bychom je uzavřeli do skříňky, tak žádným způsobem nedokážeme poznat, jak zapojení vypadá)?

zapojení do trojúhelníku
zapojení do hvězdy
  • Nápověda

    Aby se obě zapojení chovala stejně, musí být mezi každými dvěma body v obou zapojeních stejný celkový odpor.

  • Rozbor

    Odpor mezi body A, B pro zapojení do „trojúhelníku“ se musí rovnat odporu mezi body A, B pro zapojení do „hvězdy“.

    Oba tyto odpory si vyjádříme pomocí pravidel pro počítání odporů při sériovém a paralelním zapojení.

    Totéž provedeme i pro odpory mezi body A, C a B, C.

    Dostaneme tak soustavu tří rovnic pro tři neznámé R1, R2, R3 a tuto soustavu vyřešíme.

  • 1. část řešení - vyjádření odporů

    Mezi každými dvěma body musí být při obou zapojeních stejný celkový odpor.

    Pro odpor mezi body A, B v zapojení do „trojúhelníku“ si můžeme obvod překreslit takto:

    odpor mezi body A, B pro trojúhelník
    \[\frac{1}{R_{AB}}\,=\, \frac{1}{R_C}+\frac{1}{R_B+R_A}\] \[\frac{1}{R_{AB}}\,=\, \frac{\left(R_B+R_A\right)+R_C}{R_C\left(R_B+R_A\right)}\] \[R_{AB}\,=\, \frac{R_C\left(R_A+R_B\right)}{R_A+R_B+R_C}\]

    Obvod pro odpor mezi body A, B pro „hvězdu“ můžeme nakreslit takto:

    odpor mezi body A, B pro hvězdu
    \[R_{AB}\,=\, R_1+R_2\]

    Platí tedy:

    \[R_1+R_2\,=\, \frac{R_C\left(R_A+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C}\,.\]

    Pro odpory mezi dalšími body stačí díky symetrii obvodů vždy „zaměnit“ indexy:

    \[R_1+R_3\,=\, \frac{R_B\left(R_A+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C}\] \[R_2+R_3\,=\, \frac{R_A\left(R_B+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C}\]
  • 2. část řešení - matematické úpravy

    V předchozím oddíle jsme získali soustavu tří rovnic pro tři neznámé R1, R2, R3. Pomocí matematických úprav tuto soustavu vyřešíme.

    \[R_1+R_2\,=\, \frac{R_C\left(R_A+R_B\right)}{R_A+R_B+R_C}\tag{1}\] \[R_1+R_3\,=\, \frac{R_B\left(R_A+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C}\tag{2}\] \[R_2+R_3\,=\, \frac{R_A\left(R_B+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C}\tag{3}\]

    K první rovnici přičteme druhou a třetí odečteme

    (1)+(2)-(3):

    \[ 2R_1\,=\, \frac{R_C\left(R_A+R_B\right)+R_B\left(R_A+R_C\right) -R_A\left(R_B+R_C\right)}{R_A+R_B+R_C} \] \[ 2R_1\,=\, \frac{R_AR_C+R_BR_C+R_AR_B+R_BR_C-R_AR_B-R_AR_C}{R_A+R_B+R_C} \] \[ 2R_1\,=\, \frac{2R_BR_C}{R_A+R_B+R_C} \] \[ R_1\,=\, \frac{R_BR_C}{R_A+R_B+R_C} \]

    Podobně spočteme odpory R2, R3:

    \[ R_2\,=\, \frac{R_AR_C}{R_A+R_B+R_C} \] \[ R_3\,=\, \frac{R_AR_B}{R_A+R_B+R_C} \]

    Poznámka: Pokud bychom chtěli zapojení do hvězdy nahradit zapojením do trojúhelníku, stačí si vyjádřit z uvedené soustavy rovnic RA, RB, RC.

  • Odpověď

    Zapojení rezistorů RA, RB, RC do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy s odpory o velikosti:

    \[ R_1\,=\, \frac{R_BR_C}{R_A+R_B+R_C} \] \[ R_2\,=\, \frac{R_AR_C}{R_A+R_B+R_C} \] \[ R_3\,=\, \frac{R_AR_B}{R_A+R_B+R_C} \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinová (2007).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Marie Snětinová (2007).
Zaslat komentář k úloze