Vznášející se vodič v magnetickém poli Země

Úloha číslo: 478

Přímý hliníkový vodič, který leží rovnoběžně s povrchem Země, má délku 0,5 m a prochází jím proud 10 A ve směru od západu k východu. Vodič se nachází v magnetickém poli Země v místě, kde je magnetická indukce rovnoběžná s povrchem Země a směřuje na sever. Její velikost je 5·10−5 T. Určete:

a) velikost a směr magnetické síly působící na vodič s proudem,

b) velikost elektrického proudu vodičem o hmotnosti 30 g, který by způsoboval vznášení vodiče v tíhovém poli.

vodič v magnetickém poli
  • Nápověda – Flemingovo pravidlo levé ruky

    Směr magnetické síly působící na vodič s proudem v magnetickém poli určíte pomocí:

    Flemingova pravidla levé ruky

    Položíme-li k vodiči levou ruku tak, aby natažené prsty ukazovaly směr proudu a magnetické indukční čáry (respektive vektor \(\vec{B}\)) vstupovaly do dlaně, ukazuje odtažený palec směr a orientaci vektoru magnetické síly \(\vec{F}_m\), která působí na vodič.

    Flemingovo pravidlo levé ruky
  • Rozbor

    Velikost a směr magnetické síly

    Na vodič s proudem, který se nachází v magnetickém poli, působí magnetická síla, jejíž velikost závisí na velikosti magnetického pole, na proudu procházejícím vodičem a na poloze vodiče vůči magnetickým indukčním čarám. Směr magnetické síly určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky.

    Určení velikosti elektrického proudu vodičem

    Aby se mohl vodič s proudem vznášet v tíhovém poli Země, musí na něj půsit síla, která bude mít stejnou velikost, ale opačný směr, oproti tíhové síle působící na vodič. V našem případě působí na vodič s proudem v opačném směru magnetická síla. Vodič se bude vznášet, pokud tíhová a magnetická síla budou mít opačný směr a stejnou velikost.

  • Řešení a) Velikost a směr magnetické síly

    Na vodič s proudem, který se nachází v magnetickém poli, působí magnetická síla o velikosti

    \[F_m=BIl\sin{\alpha},\]

    kde α je úhel, který svírá vektor magnetické indukce \(\vec{B}\), se směrem proudu ve vodiči. V našem případě (viz obrázek) platí

    \[\alpha=90^o\,\,\,\Rightarrow\,\,\sin{\alpha} =1.\]

    Pro velikost magnetické síly tedy dostáváme vztah

    \[F_m=BIl.\]

    Směr vektoru magnetické síly určíme pomocí Flemingova pravidla levé ruky. Magnetická síla je kolmá na vektor magnetické indukce a na vodič s proudem a směřuje nahoru. To znamená, že mírně „nadlehčuje“ vodič.

    vodič v magnetickém poli

    Vidíme, že můžeme uvažovat situaci popsanou v části b), tj. že se vodič s proudem může díky magnetické síle vznášet nad povrchem Země.

  • Řešení b) Určení velikosti elektrického proudu

    Aby se mohl vodič s proudem nadnášet v tíhovém poli Země, musí na něj působit síla, která bude mít stejnou velikost, ale opačný směr než tíhová síla \(\vec{F}_G\) působící na vodič. V našem případě působí na vodič s proudem směrem nahoru magnetická síla \(\vec{F}_m\) (směr jsme určili v Řešení a) pomocí Flemingova pravidla levé ruky).

    Pro velikosti obou sil platí

    \[F_m=F_g.\]

    Obě síly vyjádříme

    \[BIl\,\sin{\alpha}=mg,\]

    kde pro úhel α, který svírá vektor magnetické indukce s vodičem, v našem případě platí

    \[\alpha=90^\circ\,\,\,\Rightarrow\,\,\sin{\alpha} =1.\]

    Dostáváme tak rovnici

    \[BIl=mg,\]

    ze které vyjádříme hledaný elektrický proud I vodičem

    \[I=\frac{mg}{Bl}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(l\,=\,50\,\mathrm{cm}=\,0{,}50\,\mathrm{m}\) délka vodiče
    \(I\,=\,10\,\mathrm{A}\) proud tekoucí vodičem
    \(B\,=\,5{\cdot}10^{-5}\,\mathrm{T}\) magnetická indukce pole Země
    \(m\,=\,30\,\mathrm{g}=\,0{,}03\,\mathrm{kg}\) hmotnost vodiče
    \(F_m\,=\,?\) velikost magnetické síly působící na vodič s proudem
    \(I\,=\,?\) velikost elektrického proudu vodičem, který by způsoboval vznášení vodiče v tíhovém poli
    Z tabulek:
    \(g\,=\,9{,}81\,\mathrm{ms}^{-2}\) tíhové zrychlení

    \[F_m=BIl=5{\cdot}10^{-5}\cdot10{\cdot}0{,}5\,\mathrm{N}=2{,}5{\cdot}10^{-4}\,\mathrm{N}\] \[I=\frac{mg}{Bl}=\frac{0{,}03{\cdot}9{,}81}{5{\cdot}10^{-5}\cdot0{,}5}\,\mathrm{A}=11\,772\,\mathrm{A}\,\dot{=}\,12\,\mathrm{kA}\]
  • Odpověď

    Magnetická síla, která působí na vodič s proudem v magnetickém poli Země, má velikost 0,25 mN a míří směrem nahoru.

    Aby byl vodič s proudem nadnášen v magnetickém poli Země, musel by jím procházet proud o velikosti přibližně 12 kA.

  • Komentář – Poloha vodiče a různé směry proudu ve vodiči

    Pokud by vodičem procházel elektrický proud v opačném směru, tedy od východu na západ, magnetická síla působící na vodič s proudem by měla opačný směr, směřovala by dolů. Vodič by se v tíhovém poli nenadnášel, ale byl by naopak přitlačen směrem dolů.

    vodič v magnetickém poli

    Dále může být vodič, kterým prochází proud, orientován tak, že vodič svírá s vektorem magnetické indukce úhel menší než 90°. Magnetická síla \(\vec{F}_m\) působící na vodič pak bude mít menší velikost oproti případu, kdy je vodič s proudem kolmý na vektor magnetické indukce. Velikost magnetické síly je dána vztahem

    \[F_m=BIl\,\sin{\alpha},\]

    kde α je úhel, který svírá vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) se směrem proudu ve vodiči.

    Speciální případ nastává, pokud je vodič rovnoběžný s vektorem magnetické indukce \(\vec{B}\), tj. je orientován ve směru sever-jih. Magnetická síla působící na vodič v tomto případě bude nulová.

  • Komentář – Realističnost proudu procházející vodičem

    Pomocí vztahu pro Joulovo teplo určíme, zda-li je hodnota proudu, přibližně 12 kA, která musí hliníkovým vodičem procházet, aby byl nadnášen, vůbec reálná.

    Budeme předpokládat, že vodič má kruhový průřez a určíme jeho poloměr r. Ze vztahu pro hustotu dostaneme pro poloměr vodiče vztah

    \[\rho=\frac{m}{\pi r^2l}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,r=\sqrt{\frac{m}{\rho\pi l}}.\]

    Dále si vyjádříme odpor R vodiče délky l o poloměru r

    \[R=\frac{\rho_0 l}{\pi r^2},\]

    kde ρo je měrný elektrický odpor hliníkového vodiče, jehož hodnota je uvedena v tabulkách.

    Po dosazení vztahu pro poloměr r do rovnice pro elektrický odpor dostáváme pro odpor vodiče vztah

    \[R=\frac{\rho_0 l}{\pi \frac{m}{\rho\pi l}}=\frac{\rho_0\rho l^2}{m}.\]

    Pro Joulovo teplo, respektive Joulův výkon platí

    \[P=UI=RI^2.\]

    Po dosazení vztahu pro odpor hliníkového vodiče dostáváme pro výkon, který se uvolní v podobě tepla výraz

    \[P=\frac{\rho_0\rho}{m}l^2I^2.\]

    Pro určení velikosti Joulova tepla dosadíme do vztahu pro výkon P konkrétní číselné hodnoty. Hodnoty pro hustotu hliníku ρ a měrný elektrický odpor ρo najdeme v tabulkách.

    \[P=\frac{27{\cdot}10^{-9}\cdot2700}{0{,}03}\cdot0{,}5^2\cdot(12{\cdot}10^3)^2\,\mathrm{W}\dot{=}87{,}5\,\mathrm{kW}.\]

    Při průchodu proudu o velikosti přibližně 12 kA vodičem se bude uvolňovat Joulovo teplo přibližně 87,5 kW, což je velmi vysoká hodnota. Můžeme tedy předpokládat, že se vodič rozžhaví a přepálí. Nedojde tedy k jeho vznášení v magnetickém poli Země.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze