Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu

Úloha číslo: 250

Proud I teče rovnoměrně rozložen v celém průřezu dlouhého přímého drátu o poloměru a. Určete magnetické pole ve vzdálenosti s od osy tohoto drátu, jestliže je vyroben z lineárního materiálu (např. měď, hliník) se susceptibilitou χm.

Najděte hustotu plošného a objemového vázaného proudu v drátu a jeho „celkovou velikost“.

  • Nápověda 1

    Jaký směr a jakou orientaci bude mít magnetická indukce uvnitř a vně drátu? A na jakém parametru (souřadnici) bude záviset její velikost? Využijte ve svých úvahách válcové symetrie a nekonečné délky drátu.

  • Rozbor

    Z válcové symetrie a nekonečné délky vodiče plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečně dlouhého tenkého přímého drátu) a navíc její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy s. Podle Ampérova zákona celkového proudu můžeme ze znalosti volného proudu tekoucího vodičem určit velikost magnetické intenzity uvnitř vodiče i vně něj.

    Linearita materiálu a znalost jeho susceptibility pak ihned dává jednoduchý vztah pro výpočet magnetické indukce a magnetizace materiálu.

    Z magnetizace také umíme přímo vypočítat vázané proudy.

  • Nápověda 2

    Aplikujte Ampérův zákon celkového proudu (ve verzi s magnetickou intenzitou H a volným proudem I) na kruhovou smyčku o poloměru s obepínající osu válcového vodiče:

    Hdl=I.

    K určení integrálu vlevo si uvědomte, že podél kruhové smyčky je velikost intenzity konstantní a má v každém bodě směr tečny ke smyčce (jak vyplývá z předchozí nápovědy).

    Uvažte také, že pokud smyčka obepíná celý vodič, tedy s > a, pak jí protéká celkový volný proud I.

    Naopak pokud je smyčka skryta uvnitř vodiče, tedy s < a, pak jí protéká pouze část celkového volného proudu I, a to ve stejném poměru, jako jsou k sobě obsah smyčky a obsah průřezu celého válce, neboť proud je ve válci rozložen rovnoměrně.

  • Nápověda 3

    Jak spolu souvisí magnetická indukce a magnetická intenzita v lineárním materiálu a ve vakuu?

  • Nápověda 4

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jakými vztahy jsou definovány objemová hustota a plošná hustota vázaných proudů.

    Odvoďte, jaký vztah spojuje objemovou hustotu vázaného proudu s objemovou hustotou proudu volného.

  • Řešení

    Protože celá situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, vektor magnetické intenzity H, resp. indukce B „obíhá“ kolem osy drátu podobně jako u tenkého dlouhého vodiče. Podle Ampérova zákona celkového proudu

    Hdl=I

    aplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu drátu, se středem v ose a poloměrem s, dostáváme uvnitř drátu

    H(2πs)=Iπs2πa2pros<a, H=Is2πa2pros<a

    a vně

    H(2πs)=Ipros>a, H=I2πspros>a.

    V lineárním materiálu, tj. uvnitř drátu (pro s < a), platí

    B=μ0(1+χm)H=μ0(1+χm)Is2πa2

    a ve vakuu, tj. v okolí drátu (pro s > a), platí

    B=μ0H=μ0I2πs.

     

    Pro volné j a vázané jb objemové proudy v lineárním médiu máme vztahy

    j=×H, jb=×M=×(χmH)=χmj.

    Dostáváme tak pro objemovou hustotu vázaného proudu uvnitř vodiče

    jb=χmj=χmIπa2,

    přičemž jb má stejný směr a orientaci jako proud I.

    Pro hustotu plošného vázaného proudu na povrchu vodiče máme vztah

    kb=M×n0=χmH×n0,

    ze kterého vyplývá, že velikost hustoty plošného vázaného proudu je

    |kb|=kb=χmI2πa,

    a podle pravidla pravé ruky určíme, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

    Pokud sečteme celkové velikosti obou druhů vázaných proudů, dostaneme

    Ib=jbπa2+kb(2πa)=χmIπa2πa2χmI2πa2πa=0. 

    Tak tomu být musí; pokud by byl součet nenulový, vázané proudy by „ovlivnily“ také pole vně vodiče, což se neděje.

  • Výsledky

    Pro velikost magnetické intenzity H a magnetické indukce B uvnitř vodiče platí

    H=Is2πa2, B=μ0I2πs.

    Vně vodiče jsou pak obě veličiny určeny vztahy

    H=I2πs, B=μ0(1+χm)Is2πa2.

    Vektory intenzity i indukce „obíhají“ kolem osy vodiče podobně jako v případě nekonečně dlouhého tenkého drátu.

    Objemová hustota vázaného proudu uvnitř vodiče má směr proudu I a velikost

    jb=χmIπa2.

    Hustota plošného vázaného proudu na povrchu vodiče má velikost

    kb=χmI2πa.

    Znaménko minus značí, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

    Celková velikost vázaného proudu Ib je nulová.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze