Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu
Úloha číslo: 250
Proud I teče rovnoměrně rozložen v celém průřezu dlouhého přímého drátu o poloměru a. Určete magnetické pole ve vzdálenosti s od osy tohoto drátu, jestliže je vyroben z lineárního materiálu (např. měď, hliník) se susceptibilitou χm.
Najděte hustotu plošného a objemového vázaného proudu v drátu a jeho „celkovou velikost“.
Nápověda 1
Jaký směr a jakou orientaci bude mít magnetická indukce uvnitř a vně drátu? A na jakém parametru (souřadnici) bude záviset její velikost? Využijte ve svých úvahách válcové symetrie a nekonečné délky drátu.
Rozbor
Z válcové symetrie a nekonečné délky vodiče plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečně dlouhého tenkého přímého drátu) a navíc její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy s. Podle Ampérova zákona celkového proudu můžeme ze znalosti volného proudu tekoucího vodičem určit velikost magnetické intenzity uvnitř vodiče i vně něj.
Linearita materiálu a znalost jeho susceptibility pak ihned dává jednoduchý vztah pro výpočet magnetické indukce a magnetizace materiálu.
Z magnetizace také umíme přímo vypočítat vázané proudy.
Nápověda 2
Aplikujte Ampérův zákon celkového proudu (ve verzi s magnetickou intenzitou →H a volným proudem I) na kruhovou smyčku o poloměru s obepínající osu válcového vodiče:
∮→H⋅d→l=I.K určení integrálu vlevo si uvědomte, že podél kruhové smyčky je velikost intenzity konstantní a má v každém bodě směr tečny ke smyčce (jak vyplývá z předchozí nápovědy).
Uvažte také, že pokud smyčka obepíná celý vodič, tedy s > a, pak jí protéká celkový volný proud I.
Naopak pokud je smyčka skryta uvnitř vodiče, tedy s < a, pak jí protéká pouze část celkového volného proudu I, a to ve stejném poměru, jako jsou k sobě obsah smyčky a obsah průřezu celého válce, neboť proud je ve válci rozložen rovnoměrně.
Nápověda 3
Jak spolu souvisí magnetická indukce a magnetická intenzita v lineárním materiálu a ve vakuu?
Nápověda 4
Uvědomte si nebo vyhledejte, jakými vztahy jsou definovány objemová hustota a plošná hustota vázaných proudů.
Odvoďte, jaký vztah spojuje objemovou hustotu vázaného proudu s objemovou hustotou proudu volného.
Řešení
Protože celá situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, vektor magnetické intenzity →H, resp. indukce →B „obíhá“ kolem osy drátu podobně jako u tenkého dlouhého vodiče. Podle Ampérova zákona celkového proudu
∮→H⋅d→l=Iaplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu drátu, se středem v ose a poloměrem s, dostáváme uvnitř drátu
H⋅(2πs)=Iπs2πa2pros<a, H=Is2πa2pros<aa vně
H⋅(2πs)=Ipros>a, H=I2πspros>a.V lineárním materiálu, tj. uvnitř drátu (pro s < a), platí
B=μ0(1+χm)H=μ0(1+χm)Is2πa2a ve vakuu, tj. v okolí drátu (pro s > a), platí
B=μ0H=μ0I2πs.Pro volné →j a vázané →jb objemové proudy v lineárním médiu máme vztahy
→j=∇×H, →jb=∇×→M=∇×(χm→H)=χm→j.Dostáváme tak pro objemovou hustotu vázaného proudu uvnitř vodiče
jb=χmj=χmIπa2,přičemž →jb má stejný směr a orientaci jako proud I.
Pro hustotu plošného vázaného proudu na povrchu vodiče máme vztah
→kb=→M×→n0=χm→H×→n0,ze kterého vyplývá, že velikost hustoty plošného vázaného proudu je
|→kb|=kb=χmI2πa,a podle pravidla pravé ruky určíme, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.
Pokud sečteme celkové velikosti obou druhů vázaných proudů, dostaneme
Ib=jb⋅πa2+kb⋅(2πa)=χmIπa2⋅πa2−χmI2πa⋅2πa=0.Tak tomu být musí; pokud by byl součet nenulový, vázané proudy by „ovlivnily“ také pole vně vodiče, což se neděje.
Výsledky
Pro velikost magnetické intenzity H a magnetické indukce B uvnitř vodiče platí
H=Is2πa2, B=μ0I2πs.Vně vodiče jsou pak obě veličiny určeny vztahy
H=I2πs, B=μ0(1+χm)Is2πa2.Vektory intenzity i indukce „obíhají“ kolem osy vodiče podobně jako v případě nekonečně dlouhého tenkého drátu.
Objemová hustota vázaného proudu uvnitř vodiče má směr proudu I a velikost
jb=χmIπa2.Hustota plošného vázaného proudu na povrchu vodiče má velikost
kb=−χmI2πa.Znaménko minus značí, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.
Celková velikost vázaného proudu Ib je nulová.