Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu
Úloha číslo: 250
Proud I teče rovnoměrně rozložen v celém průřezu dlouhého přímého drátu o poloměru a. Určete magnetické pole ve vzdálenosti s od osy tohoto drátu, jestliže je vyroben z lineárního materiálu (např. měď, hliník) se susceptibilitou χm.
Najděte hustotu plošného a objemového vázaného proudu v drátu a jeho „celkovou velikost“.
Nápověda 1
Jaký směr a jakou orientaci bude mít magnetická indukce uvnitř a vně drátu? A na jakém parametru (souřadnici) bude záviset její velikost? Využijte ve svých úvahách válcové symetrie a nekonečné délky drátu.
Rozbor
Z válcové symetrie a nekonečné délky vodiče plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečně dlouhého tenkého přímého drátu) a navíc její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy s. Podle Ampérova zákona celkového proudu můžeme ze znalosti volného proudu tekoucího vodičem určit velikost magnetické intenzity uvnitř vodiče i vně něj.
Linearita materiálu a znalost jeho susceptibility pak ihned dává jednoduchý vztah pro výpočet magnetické indukce a magnetizace materiálu.
Z magnetizace také umíme přímo vypočítat vázané proudy.
Nápověda 2
Aplikujte Ampérův zákon celkového proudu (ve verzi s magnetickou intenzitou \(\vec H\) a volným proudem I) na kruhovou smyčku o poloměru s obepínající osu válcového vodiče:
\[\oint \vec H\cdot d\vec l = I.\]K určení integrálu vlevo si uvědomte, že podél kruhové smyčky je velikost intenzity konstantní a má v každém bodě směr tečny ke smyčce (jak vyplývá z předchozí nápovědy).
Uvažte také, že pokud smyčka obepíná celý vodič, tedy s > a, pak jí protéká celkový volný proud I.
Naopak pokud je smyčka skryta uvnitř vodiče, tedy s < a, pak jí protéká pouze část celkového volného proudu I, a to ve stejném poměru, jako jsou k sobě obsah smyčky a obsah průřezu celého válce, neboť proud je ve válci rozložen rovnoměrně.
Nápověda 3
Jak spolu souvisí magnetická indukce a magnetická intenzita v lineárním materiálu a ve vakuu?
Nápověda 4
Uvědomte si nebo vyhledejte, jakými vztahy jsou definovány objemová hustota a plošná hustota vázaných proudů.
Odvoďte, jaký vztah spojuje objemovou hustotu vázaného proudu s objemovou hustotou proudu volného.
Řešení
Protože celá situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, vektor magnetické intenzity \(\vec H\), resp. indukce \(\vec B\) „obíhá“ kolem osy drátu podobně jako u tenkého dlouhého vodiče. Podle Ampérova zákona celkového proudu
\[\oint\vec H\cdot d\vec l = I\]aplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu drátu, se středem v ose a poloměrem s, dostáváme uvnitř drátu
\[H \cdot (2\pi s) = I\frac{\pi s^2}{\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a,\] \[H = I\frac{s}{2\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a\]a vně
\[H \cdot (2\pi s) = I \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s > a,\] \[H = \frac{I}{2\pi s} \qquad\qquad\textrm{pro} \quad s > a.\]V lineárním materiálu, tj. uvnitř drátu (pro s < a), platí
\[B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})H = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\frac{Is}{2\pi a^2}\]a ve vakuu, tj. v okolí drátu (pro s > a), platí
\[B = \mu_0H= \mu_0\frac{I}{2\pi s}.\]Pro volné \(\vec j\) a vázané \(\vec j_\mathrm{b}\) objemové proudy v lineárním médiu máme vztahy
\[\vec j = \nabla\times H,\] \[\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \nabla\times(\chi_\mathrm{m}\vec H) = \chi_\mathrm{m}\vec j.\]Dostáváme tak pro objemovou hustotu vázaného proudu uvnitř vodiče
\[j_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}j = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{\pi a^2},\]přičemž \(\vec j_\mathrm{b}\) má stejný směr a orientaci jako proud I.
Pro hustotu plošného vázaného proudu na povrchu vodiče máme vztah
\[\vec k_\mathrm{b} = \vec M\times \vec n_0 = \chi_\mathrm{m}\vec H\times \vec n_0,\]ze kterého vyplývá, že velikost hustoty plošného vázaného proudu je
\[|\vec k_\mathrm{b}| = k_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{2\pi a},\]a podle pravidla pravé ruky určíme, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.
Pokud sečteme celkové velikosti obou druhů vázaných proudů, dostaneme
\[I_\mathrm{b} = j_\mathrm{b}\,\cdot\,\pi a^2 + k_\mathrm{b}\,\cdot\,(2\pi a) = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{\pi a^2}\,\cdot\,\pi a^2-\frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi a}\,\cdot\,2\pi a = 0. \ \]Tak tomu být musí; pokud by byl součet nenulový, vázané proudy by „ovlivnily“ také pole vně vodiče, což se neděje.
Výsledky
Pro velikost magnetické intenzity H a magnetické indukce B uvnitř vodiče platí
\[H = I\frac{s}{2\pi a^2},\] \[B = \mu_0\frac{I}{2\pi s}.\]Vně vodiče jsou pak obě veličiny určeny vztahy
\[H = \frac{I}{2\pi s},\] \[B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\frac{Is}{2\pi a^2}.\]Vektory intenzity i indukce „obíhají“ kolem osy vodiče podobně jako v případě nekonečně dlouhého tenkého drátu.
Objemová hustota vázaného proudu uvnitř vodiče má směr proudu I a velikost
\[j_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{\pi a^2}.\]Hustota plošného vázaného proudu na povrchu vodiče má velikost
\[k_\mathrm{b} = -\chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{2\pi a}.\]Znaménko minus značí, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.
Celková velikost vázaného proudu Ib je nulová.
