Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu

Úloha číslo: 250

Proud I teče rovnoměrně rozložen v celém průřezu dlouhého přímého drátu o poloměru a. Určete magnetické pole ve vzdálenosti s od osy tohoto drátu, jestliže je vyroben z lineárního materiálu (např. měď, hliník) se susceptibilitou χm.

Najděte hustotu plošného a objemového vázaného proudu v drátu a jeho „celkovou velikost“.

  • Nápověda 1

    Jaký směr a jakou orientaci bude mít magnetická indukce uvnitř a vně drátu? A na jakém parametru (souřadnici) bude záviset její velikost? Využijte ve svých úvahách válcové symetrie a nekonečné délky drátu.

  • Rozbor

    Z válcové symetrie a nekonečné délky vodiče plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečné dlouhého tenkého přímého drátu) a navíc její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy s. Podle Ampérova zákona celkového proudu můžeme ze znalosti volného proudu tekoucího vodičem určit velikost magnetické intenzity uvnitř vodiče i vně něj.

    Linearita materiálu a znalost jeho susceptibility pak ihned dává jednoduchý vztah pro výpočet magnetické indukce a magnetizace materiálu.

    Z magnetizace také umíme přímo vypočítat vázané proudy.

  • Nápověda 2

    Aplikujte Ampérův zákon celkového proudu (ve verzi s magnetickou intenzitou \(\vec H\) a volným proudem I) na kruhovou smyčku o poloměru s obepínající osu válcového vodiče.

    \[\oint \vec H\cdot d\vec l = I\]

    K určení integrálu vlevo si uvědomte, že podél kruhové smyčky je velikost intenzity konstantní a má v každém bodě směr tečny ke smyčce (jak vyplývá z předchozí nápovědy).

    Uvažte také, že pokud smyčka obepíná celý vodič, tedy s > a, pak jí protéká celkový volný proud I.

    Naopak, pokud je smyčka skryta uvnitř vodiče, tedy s < a, pak jí protéká pouze část celkového volného proudu I, a to ve stejném poměru, jako jsou k sobě obsah smyčky a obsah průřezu celého válce, neboť proud je ve válci rozložen rovnoměrně.

  • Nápověda 3

    Jak spolu souvisí magnetická indukce a magnetická intenzita v lineárním materiálu a ve vakuu?

  • Řešení nápovědy 3

    Ve vakuu platí

    \[\vec B = \mu_0\vec H.\]

    V lineárním materiálu platí

    \[\vec B = \mu_0(1+\chi_m)\vec H,\]

    kde χm je magnetická susceptibilita daného materiálu.

  • Nápověda 4

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jakými vztahy jsou definovány objemová hustota a plošná hustota vázaných proudů.

    Odvoďte, jaký vztah spojuje objemovou hustotu vázaného proudu s objemovou hustotou proudu volného.

  • Řešení

    Protože celá situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, vektor magnetické intenzity \(\vec H\), resp. indukce \(\vec B\) „obíhá“ kolem osy drátu podobně jako u tenkého dlouhého vodiče. Podle Ampérova zákona celkového proudu

    \[\oint\vec H\cdot d\vec l = I\]

    aplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu drátu, se středem v ose a poloměrem s, dostáváme uvnitř drátu

    \[H \cdot (2\pi s) = I\frac{\pi s^2}{\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a,\] \[H = I\frac{s}{2\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a\]

    a vně

    \[H \cdot (2\pi s) = I \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s > a,\] \[H = \frac{I}{2\pi s} \qquad\qquad\textrm{pro} \quad s > a.\]

    V lineárním materiálu, tj. uvnitř drátu (pro s < a), platí

    \[B = \mu_0(1+\chi_m)H = \mu_0(1+\chi_m)\frac{Is}{2\pi a^2}\]

    a ve vakuu, tj. v okolí drátu (pro s > a), platí

    \[B = \mu_0H= \mu_0\frac{I}{2\pi s}.\]

     

    Pro volné \(\vec j\) a vázané \(\vec j_b\) objemové proudy v lineárním médiu máme vztahy

    \[\vec j = \nabla\times H,\] \[\vec j_b = \nabla\times\vec M = \nabla\times(\chi_m\vec H) = \chi_m\vec j.\]

    Dostáváme tak pro objemovou hustotu vázaného proudu uvnitř vodiče

    \[j_b = \chi_mj = \chi_m\,\frac{I}{\pi a^2},\]

    přičemž \(\vec j_b\) má stejný směr a orientaci jako proud I.

    Pro hustotu plošného vázaného proudu na povrchu vodiče máme vztah

    \[\vec k_b = \vec M\times \vec n_0 = \chi_m\vec H\times \vec n_0,\]

    ze kterého vyplývá, že velikost hustoty plošného vázaného proudu je

    \[|\vec k_b| = k_b = \chi_m\,\frac{I}{2\pi a}\]

    a podle pravidla pravé ruky určíme, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

    Pokud sečteme celkové velikosti obou druhů vázaných proudů, dostaneme

    \[I_b = j_b\,\cdot\,\pi a^2 + k_b\,\cdot\,(2\pi a) = \frac{\chi_mI}{\pi a^2}\,\cdot\,\pi a^2-\frac{\chi_mI}{2\pi a}\,\cdot\,2\pi a = 0. \ \]

    Tak tomu být musí; pokud by byl součet nenulový, vázané proudy by „ovlivnili“ také pole vně vodiče, což se neděje.

  • Výsledky

    Pro velikost magnetické intenzity H a magnetické indukce B uvnitř vodiče platí

    \[H = I\frac{s}{2\pi a^2},\] \[B = \mu_0\frac{I}{2\pi s}.\]

    Vně vodiče jsou pak obě veličiny určeny vztahy

    \[H = \frac{I}{2\pi s},\] \[B = \mu_0(1+\chi_m)\frac{Is}{2\pi a^2}.\]

    Vektory intenzity i indukce „obíhají“ kolem osy vodiče podobně jako v případě nekonečně dlouhého tenkého drátu.

    Objemová hustota vázaného proudu uvnitř vodiče má směr proudu I a velikost

    \[j_b = \chi_m\,\frac{I}{\pi a^2}.\]

    Hustota plošného vázaného proudu na povrchu vodiče má velikost

    \[k_b = -\chi_m\,\frac{I}{2\pi a},\]

    znaménko minus značí, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

    Celková velikost vázaného proudu Ib je nulová.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze