Sbírka řešených úloh

Dlouhý drát z magneticky měkkého materiálu

Úloha číslo: 250

• Nápověda 1

  Jaký směr a jakou orientaci bude mít magnetická indukce uvnitř a vně drátu? A na jakém parametru (souřadnici) bude záviset její velikost? Využijte ve svých úvahách válcové symetrie a nekonečné délky drátu.

• Řešení nápovědy 1

  Vektor magnetické indukce (a též magnetické intenzity) bude „rotovat“ kolem osy vodiče podobně, jako by v ose byl nekonečně dlouhý tenký drát. Její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy a velikosti proudu tekoucího vodičem.

  Podrobné odůvodnění lze najít u úlohy: Vektorový potenciál dlouhého drátu.

• Rozbor

  Z válcové symetrie a nekonečné délky vodiče plyne, že intenzita magnetického pole může pouze cirkulovat kolem osy válce (jako u nekonečně dlouhého tenkého přímého drátu) a navíc její velikost bude záviset pouze na vzdálenosti od osy s. Podle Ampérova zákona celkového proudu můžeme ze znalosti volného proudu tekoucího vodičem určit velikost magnetické intenzity uvnitř vodiče i vně něj.

  Linearita materiálu a znalost jeho susceptibility pak ihned dává jednoduchý vztah pro výpočet magnetické indukce a magnetizace materiálu.

  Z magnetizace také umíme přímo vypočítat vázané proudy.

• Nápověda 2

  Aplikujte Ampérův zákon celkového proudu (ve verzi s magnetickou intenzitou $\vec H$ a volným proudem I) na kruhovou smyčku o poloměru s obepínající osu válcového vodiče:

  $$\oint \vec H\cdot d\vec l = I.$$

  K určení integrálu vlevo si uvědomte, že podél kruhové smyčky je velikost intenzity konstantní a má v každém bodě směr tečny ke smyčce (jak vyplývá z předchozí nápovědy).

  Uvažte také, že pokud smyčka obepíná celý vodič, tedy s > a, pak jí protéká celkový volný proud I.

  Naopak pokud je smyčka skryta uvnitř vodiče, tedy s < a, pak jí protéká pouze část celkového volného proudu I, a to ve stejném poměru, jako jsou k sobě obsah smyčky a obsah průřezu celého válce, neboť proud je ve válci rozložen rovnoměrně.

• Nápověda 3

  Jak spolu souvisí magnetická indukce a magnetická intenzita v lineárním materiálu a ve vakuu?

• Řešení nápovědy 3

  Ve vakuu platí

  $$\vec B = \mu_0\vec H.$$

  V lineárním materiálu platí

  $$\vec B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\vec H,$$

  kde χ_m je magnetická susceptibilita daného materiálu.

• Nápověda 4

  Uvědomte si nebo vyhledejte, jakými vztahy jsou definovány objemová hustota a plošná hustota vázaných proudů.

  Odvoďte, jaký vztah spojuje objemovou hustotu vázaného proudu s objemovou hustotou proudu volného.

• Řešení nápovědy 4

  Definice hustot objemového vázaného proudu $\vec j_\mathrm{b}$ a plošného vázaného proudu $\vec k_\mathrm{b}$ jsou

  $$\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M,\qquad \vec k_\mathrm{b} = \vec M\times \vec n_0,$$

  kde $\vec M=\chi_\mathrm{m}\vec H$ je magnetizace v daném místě materiálu a $\vec n_0$ je jednotkový vektor vnější normály v daném místě povrchu.

  Objemová hustota volného proudu $\vec j$ a objemová hustota vázaného proudu $\vec j_\mathrm{b}$ v lineárním materiálu souvisí podle následujícího vztahu

  $$\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times \vec M = \nabla\times (\chi_\mathrm{m}\vec H) = \chi_\mathrm{m}(\nabla\times\vec H) = \chi_\mathrm{m}\vec j.$$

  Přitom poslední rovnost plyne z Ampérova zákona v diferenciálním tvaru.

• Řešení

  Protože celá situace je válcově symetrická a drát nekonečně dlouhý, vektor magnetické intenzity $\vec H$, resp. indukce $\vec B$ „obíhá“ kolem osy drátu podobně jako u tenkého dlouhého vodiče. Podle Ampérova zákona celkového proudu

  $$\oint\vec H\cdot d\vec l = I$$

  aplikovaného na kruhovou smyčku v průřezu drátu, se středem v ose a poloměrem s, dostáváme uvnitř drátu

  $$H \cdot (2\pi s) = I\frac{\pi s^2}{\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a,$$ $$H = I\frac{s}{2\pi a^2} \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s < a$$

  a vně

  $$H \cdot (2\pi s) = I \qquad\qquad \textrm{pro} \quad s > a,$$ $$H = \frac{I}{2\pi s} \qquad\qquad\textrm{pro} \quad s > a.$$

  V lineárním materiálu, tj. uvnitř drátu (pro s < a), platí

  $$B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})H = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\frac{Is}{2\pi a^2}$$

  a ve vakuu, tj. v okolí drátu (pro s > a), platí

  $$B = \mu_0H= \mu_0\frac{I}{2\pi s}.$$

   

  Pro volné $\vec j$ a vázané $\vec j_\mathrm{b}$ objemové proudy v lineárním médiu máme vztahy

  $$\vec j = \nabla\times H,$$ $$\vec j_\mathrm{b} = \nabla\times\vec M = \nabla\times(\chi_\mathrm{m}\vec H) = \chi_\mathrm{m}\vec j.$$

  Dostáváme tak pro objemovou hustotu vázaného proudu uvnitř vodiče

  $$j_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}j = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{\pi a^2},$$

  přičemž $\vec j_\mathrm{b}$ má stejný směr a orientaci jako proud I.

  Pro hustotu plošného vázaného proudu na povrchu vodiče máme vztah

  $$\vec k_\mathrm{b} = \vec M\times \vec n_0 = \chi_\mathrm{m}\vec H\times \vec n_0,$$

  ze kterého vyplývá, že velikost hustoty plošného vázaného proudu je

  $$|\vec k_\mathrm{b}| = k_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{2\pi a},$$

  a podle pravidla pravé ruky určíme, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

  Pokud sečteme celkové velikosti obou druhů vázaných proudů, dostaneme

  $$I_\mathrm{b} = j_\mathrm{b}\,\cdot\,\pi a^2 + k_\mathrm{b}\,\cdot\,(2\pi a) = \frac{\chi_\mathrm{m}I}{\pi a^2}\,\cdot\,\pi a^2-\frac{\chi_\mathrm{m}I}{2\pi a}\,\cdot\,2\pi a = 0. \ $$

  Tak tomu být musí; pokud by byl součet nenulový, vázané proudy by „ovlivnily“ také pole vně vodiče, což se neděje.

• Výsledky

  Pro velikost magnetické intenzity H a magnetické indukce B uvnitř vodiče platí

  $$H = I\frac{s}{2\pi a^2},$$ $$B = \mu_0\frac{I}{2\pi s}.$$

  Vně vodiče jsou pak obě veličiny určeny vztahy

  $$H = \frac{I}{2\pi s},$$ $$B = \mu_0(1+\chi_\mathrm{m})\frac{Is}{2\pi a^2}.$$

  Vektory intenzity i indukce „obíhají“ kolem osy vodiče podobně jako v případě nekonečně dlouhého tenkého drátu.

  Objemová hustota vázaného proudu uvnitř vodiče má směr proudu I a velikost

  $$j_\mathrm{b} = \chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{\pi a^2}.$$

  Hustota plošného vázaného proudu na povrchu vodiče má velikost

  $$k_\mathrm{b} = -\chi_\mathrm{m}\,\frac{I}{2\pi a}.$$

  Znaménko minus značí, že plošný vázaný proud teče opačným směrem než proud I.

  Celková velikost vázaného proudu I_b je nulová.