Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Čtyři dlouhé vodivé dráty

Úloha číslo: 2312

Čtyři nekonečně dlouhé rovnoběžné dráty (kolmé k obrázku) vedou stejně velké proudy I a jsou uspořádány v rozích čtverce, viz obrázek. Proudy ve vodičích označených B a C míří ven z obrázku a proudy ve vodičích A a D míří do obrázku. Jaké je magnetické pole ve středu čtverce?

Zadání
  • Nápověda

    Jakou velikost a směr má magnetická indukce ve vzdálenosti r od velmi dlouhého přímého vodiče?

  • Řešení

    Magnetická indukce je vektorová veličina, výslednice bude dána součtem příspěvků od jednotlivých vodičů.

    \[\vec{B}=\vec{B_A}+\vec{B_B}+\vec{B_C}+\vec{B_D}.\tag{1}\]

    Velikost magnetické indukce v okolí velmi dlouhého přímého vodiče závisí na velikosti proudu ve vodiči a vzdálenosti od vodiče. Všemi vodiči protéká stejný proud I. Zajímá nás magnetické pole uprostřed čtverce, tj. v místě, které je od všech vodičů stejně vzdáleno. Velikost příspěvků magnetické indukce od všech vodičů bude stejná

    \[B_A=B_B=B_C=B_D.\]

    Velikost příspěvku od jednoho vodiče vyjádříme ze vztahu zmíněném v Řešení nápovědy

    \[B=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{r}.\]

    Vzdálenost r určíme pomocí Pythagorovy věty, viz obrázek

    \[r^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow r=\frac{\sqrt{2}}{2}a.\]
    Velikost B
    \[B_A=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{r}=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\mu}{\pi}\frac{I}{\sqrt{2}a}.\tag{2}\]

    Použitím Ampérova pravidla pravé ruky zjistíme směry jednotlivých příspěvků (viz Nápověda). Vidíme, že vektor magnetické indukce od vodiče A se rovná vektoru magnetické indukce od vodiče C, stejné platí pro vodiče B a D.

    Směry magnetické indukce

    Pozn.: Z důvodu přehlednosti jsou vektory zakresleny za sebou, aby byl patrný jejich součet. Nicméně všechny čtyři vektory odpovídají magnetické indukci v bodě \(P\).

    \[\vec{B_A}=\vec{B_C},\] \[\vec{B_B}=\vec{B_D}.\]

    Díky poslednímu poznatku můžeme upravit vztah (1)

    \[\vec{B}=2\vec{B_A}+2\vec{B_B},\] \[\vec{B}=2(\vec{B_A}+\vec{B_B}).\]
    Směr B

    Pro spočítání velikosti vektorového součtu \(\vec{B_A}+\vec{B_B}\) využijeme Pythagorovu větu

    \[B=2\sqrt{B_A^2+B_B^2},\] \[B=2\sqrt{2B_A^2},\] \[B=2\sqrt{2}B_A.\]

    Do posledního vztahu dosaďme (2) a dostaneme

    \[B=2\sqrt{2}\frac{\mu}{\pi}\frac{I}{\sqrt{2}a}=2\frac{\mu}{\pi}\frac{I}{a}.\]
  • Odpověď

    Výsledná magnetická indukce uprostřed čtverce bude mít směr, který ukazuje následující obrázek a velikost

    \[B=2\frac{\mu}{\pi}\frac{I}{a}.\]
    Odpověď
  • Dynamický prvek

    Následující aplet nám zobrazuje vektory magnetické indukce od jednotlivých vodičů a jejich výslednici (označena \(B_V\)). Bodem \(E\) můžeme pomocí myši libovolně hýbat.

    Úkoly pro práci s apletem

    1. Posouvejte bodem E a sledujte závislost velikostí příspěvků na vzdálenostech od vodičů. Sledujte závislosti směrů příspěvků na poloze bodu E.
    2. Posouvejte bodem E po osách stran čtverce a sledujte, zda má výslednice nějaký konkrétní směr. Vysvětlete, proč tomu tak je.
    3. Rozmyslete si, ve kterém místě bude platit \(\vec{B_D}=\vec{B_C}\). Správnost ověřte pomocí apletu.
    4. Nastavte bod E do středu čtverce a porovnejte, zda-li výslednice odpovídá řešení této úlohy.
    5. Zkuste nalézt místo, ve kterém bude výslednice magnetické indukce nulová. Pokud takové místo nenajdete, zdůvodněte, proč ho nelze najít.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze