Sbírka řešených úloh

Pole homogenně polarizované koule

Úloha číslo: 264

Určete průběh potenciálu pole homogenně polarizované koule. Uvnitř koule určete také intenzitu elektrického pole. Popište také charakter pole uvnitř i vně koule.

Poznámka: Polarizace je homogenní, nikoliv radiální! To jest, vektor polarizace je v celé kouli konstantní, má stejnou velikost i stejný směr.

• Nápověda 1

  Uvědomte si, že vektor polarizace má význam „hustoty dipólů“ v materiálu. To znamená, element koule dV' se chová jako dipól s dipólovým momentem $\mathrm{d}{\vec {p}^{,}} = \vec{P}\,\mathrm{d}V^{'}.$

• Nápověda 2

  Pro potenciál pole elementárního dipólu $\vec{p}^,$ umístěného v bodě $\vec{r}^,$ platí

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec {p}^{,}\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}.$$

• Nápověda 3

  Potenciál pole homogenně polarizovaného materiálu napište jako integrál přes příspěvky elementárních dipólů $\mathrm{d}\vec{p}^, = \vec{P}\,\mathrm{d}V^,$.

• Řešení — sestavení integrálu

  Vektor polarizace má význam hustoty dipólů a pro potenciál pole v bodě $\vec{r}$ elementárního dipólu $\vec{p}^,$ umístěného v místě $\vec{r}^,$ platí vztah

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}^,\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}.$$

  Potenciál v libovolném bodě prostoru v případě polarizované koule tedy můžeme určit takto: prostorový element koule dV' se chová jako elementární dipól s dipólovým momentem $\mathrm{d}\vec{p}^, = \vec{P}\,\mathrm{d}V^,$. Potenciál určíme integrací přes jednotlivé příspěvky, platí tedy

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathrm{koule}\frac{\vec{P}\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}\,\mathrm{d}V^.$$

  Zbývá vypočíst tento integrál, k čemuž lze užít různých postupů.

• Nápověda 4

  Uvědomte si, že vektor polarizace $\vec{P}$ je konstantní a lze jej vytknout před integrál. Podívejte se nyní dobře na tvar integrálu, zda jste se s ním již někde nesetkali.

• Nápověda 5

  Integrál po vytknutí má formálně stejný tvar jako integrál pro určení intenzity elektrického pole v materiálu s rovnoměrnou hustotou rozložení náboje ρ = 1. Využijte toho při jeho počítání.

• Nápověda 6

  Určit integrál po vytknutí vektoru polarizace je po formální stránce stejná úloha jako určit intenzitu elektrického pole buzeného koulí s rovnoměrně rozloženým objemovým nábojem o jednotkové hustotě. V obou úlohách má totiž vyšetřovaný integrál stejný tvar.

  Integrál lze vypočítat přímo, výhodnější však je použít Gaussovu větu elektrostatiky.

• Řešení — trik

  Pro potenciál v libovolném bodě prostoru $\vec{r}$ podle předchozí části řešení platí

  $$\varphi(\vec{r}) = \int_\mathrm{koule} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\vec{P}\,\mathrm{d}V^{'})\cdot (\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}$$

  a protože vektor $\vec P$ je konstantní, lze jej vytknout před integrál

  $$\varphi(\vec{r}) = \vec{P}\cdot \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathrm{koule} \frac{(\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}\,\mathrm{d}V^{'}\right),\tag{1}$$

  ovšem s tím, že nyní v závorce integrujeme vektorovou funkci. Jedná se tedy vlastně o tři integrály pro každou složku zvlášť.

  Označme nyní

  $$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathrm{koule} \frac{(\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}\,\mathrm{d}V^{'}.\tag{2}$$

  Integrál v závorce se shoduje s integrálem pro výpočet intenzity elektrického pole v bodě $\vec{r}$, které je buzeno koulí s rovnoměrně rozloženým objemovým nábojem o jednotkové hustotě.

  Přestože integrál jde vypočíst přímo, k výpočtu intenzity můžeme použít Gaussovu větu. Výpočet je stručně připomenut v následujícím oddílu.

• Řešení — určení integrálu pomocí Gaussovy věty

  Označme R poloměr koule.

  Intenzita elektrického pole v místě $\vec{r}$ v důsledku sférické symetrie má směr i orientaci vektoru $\vec{r}$ a její velikost E(r) závisí pouze na vzdálenosti r od středu koule. Podle Gaussovy věty elektrostatiky

  $$\oint_\mathrm{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\textrm{int}}}{\varepsilon_0} ,$$

  v níž na levé straně integrujeme přes sféru o poloměru r a napravo je náboj obsažený uvnitř této sféry, to jest v kouli o poloměru r, platí

  $$E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\textrm{int}}}{\varepsilon_0},$$

  což pro r > R dává (připomeňme, že v našem případě ρ = 1)

  $$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot \varrho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}$$

  a pro r < R dostáváme

  $$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot \varrho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3\varepsilon_0}r.$$

  Vektorově tedy dostáváme

  $$\vec{E}(\vec{r}) = E(r)\cdot \frac{\vec{r}}{r},$$

  uvnitř koule

  $$\vec{E} = \frac{1}{3\varepsilon_0}\vec{r},$$

  vně koule

  $$\vec{E} = \frac{R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r}.$$

• Řešení — závěrečný výpočet a interpretace výsledků

  Ze vztahů (1) a (2) uvedených v předcházejících oddílech řešení vyplývá, že

  $$\varphi(\vec{r}) = \vec{P}\cdot \vec{E}(\vec{r}).$$

  Uvnitř koule dostáváme

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}.$$

  Elektrickou intenzitu pole uvnitř koule můžeme vypočítat jako záporně vzatý gradient. Vzhledem k tomu, že vektor $\vec{P}$ je konstantní, je

  $$\nabla(\vec{P}\cdot\vec{r}) = \vec{P}$$

  a pro intenzitu pole uvnitř homogenně polarizované koule $\vec{E}_{\textrm{int}}$ tedy platí

  $$\vec{E}_{\textrm{int}} = -\nabla\varphi = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}.$$

  Vnitřní pole je tedy homogenní (neboť vektor $\vec{P}$ je konstantní) a vektor intenzity má stejný směr a opačnou orientaci než vektor polarizace.

  Vně koule dostáváme

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^3}.$$

  Pokud použijeme vztah pro celkový dipólový moment koule

  $$\vec{p} = \int_{\textrm{koule}} \vec{P}\,dV^{'}= \vec{P}V^{'} = \vec{P}\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi R^3,$$

  můžeme vztah pro potenciál upravit na tvar

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3},$$

  z čehož vyplývá, že pole vně koule je stejné jako pole ideálního dipólu umístěného v jejím středu s dipólovým momentem $\vec{p} = \vec{P}V{'}$.

• Výsledky

  Uvnitř koule je homogenní pole, potenciál je určen vztahem

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}$$

  a pro intenzitu pole platí

  $$\vec{E}_\mathrm{int} = -\nabla\varphi = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}.$$

  Vně koule má pole charakter pole ideálního dipólu, potenciál je určen vztahem

  $$\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^3} = \frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3},$$

  kde $\vec{p}$ je celkový dipólový moment koule určený vztahem

  $$\vec{p} = \vec{P} \,\cdot\,\frac{4}{3}\pi R^3.$$

• Komentář – další možné způsoby výpočtu

  První způsob řešení je podrobně popsán v úloze: použijeme interpretace veličiny polarizace jako hustoty dipólů a potenciál elektrického pole počítáme integrací (podle principu superpozice) příspěvků elementárních dipólů v kouli. Získaný integrál počítáme trikem pomocí Gaussovy věty. Tento integrál lze ale určit také přímým výpočtem.

  Druhý způsob je založen na jiné myšlence: neutrální kouli si představíme jako superpozici koule kladně nabité a koule záporně nabité, které se překrývají. Její homogenní polarizaci interpretujeme jako malé posunutí d kladné koule vůči záporné kouli tak, aby pro celkový dipólový moment p = PV zároveň platilo p = Qd. (Ideální dipóly v jednotlivých místech koule tak vlastně nahrazujeme neideálními). Pole pak určíme podle principu superpozice jako součet polí obou nabitých koulí a provedeme „dipólový“ limitní přechod: d → 0 při zachování konstantního dipólového momentu p.

  Třetí způsob využívá možnost nahrazení objemové polarizace soustavou vázaných nábojů, které vytvářejí stejné pole. Podle explicitních vztahů určíme z vektoru polarizace hustotu povrchového a objemového vázaného náboje a jím vytvářené pole pak můžeme určit jinými metodami elektrostatiky. K tomu podotkněme, že přímočaré použití Gaussovy věty se nenabízí (situace není válcově ani sféricky symetrická) a přímá integrace příspěvků plošného náboje se zdá být elementárními metodami neproveditelná. Protože situace je symetrická vzhledem k otočení vůči ose procházející středem koule a mající směr vektoru polarizace (tzv. azimutální symetrie), lze využít sofistikovanějších technik, například obecného řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích za podmínky této symetrie. Podrobnosti lze najít například v učebnici D. J. Griffithse, Introduction to Electrodynamics, str. 138–139 a 142–144.