Pole homogenně polarizované koule

Úloha číslo: 264

Určete průběh potenciálu pole homogenně polarizované koule. Uvnitř koule určete také intenzitu elektrického pole. Popište také charakter pole uvnitř i vně koule.

Poznámka: Polarizace je homogenní, nikoliv radiální! To jest, vektor polarizace je v celé kouli konstantní, má stejnou velikost i stejný směr.

Rovnoměrně polarizovaná koule
  • Nápověda 1

    Uvědomte si, že vektor polarizace má význam „hustoty dipólů“ v materiálu. To znamená, element koule dV' se chová jako dipól s dipólovým momentem \(\mathrm{d}{\vec {p}^{,}} = \vec{P}\,\mathrm{d}V^{'}.\)

  • Nápověda 2

    Pro potenciál pole elementárního dipólu \(\vec{p}^,\) umístěného v bodě \(\vec{r}^,\) platí

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec {p}^{,}\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}.\]
  • Nápověda 3

    Potenciál pole homogenně polarizovaného materiálu napište jako integrál přes příspěvky elementárních dipólů \(\mathrm{d}\vec{p}^, = \vec{P}\,\mathrm{d}V^,\).

  • Řešení — sestavení integrálu

    Vektor polarizace má význam hustoty dipólů a pro potenciál pole v bodě \(\vec{r}\) elementárního dipólu \(\vec{p}^,\) umístěného v místě \(\vec{r}^,\)platí vztah

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}^,\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}\]

    Potenciál v libovolném bodě prostoru v případě polarizované koule tedy můžeme určit takto: prostorový element koule dV' se chová jako elementární dipól s dipólovým momentem \(\mathrm{d}\vec{p}^, = \vec{P}\,\mathrm{d}V^,\). Potenciál určíme integrací přes jednotlivé příspěvky, platí tedy

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{koule}\frac{\vec{P}\cdot(\vec{r}-\vec{r}^,)}{|\vec{r}-\vec{r}^,|^3}\,\mathrm{d}V^.\]

    Zbývá vypočíst tento integrál, k čemuž lze užít různých postupů.

  • Nápověda 4

    Uvědomte si, že vektor polarizace \(\vec{P}\) je konstantní a lze jej vytknout před integrál. Podívejte se nyní dobře na tvar integrálu, zda jste se s ním již někde nesetkali.

  • Nápověda 5

    Integrál po vytknutí má formálně stejný tvar, jako integrál pro určení intenzity elektrického pole v materiálu s rovnoměrnou hustotou rozložení náboje ρ = 1. Využijte toho při jeho počítání.

  • Nápověda 6

    Určit integrál po vytknutí vektoru polarizace je po formální stránce stejná úloha jako určit intenzitu elektrického pole buzeného koulí s rovnoměrně rozloženým objemovým nábojem o jednotkové hustotě. V obou úlohách má totiž vyšetřovaný integrál stejný tvar.

    Integrál lze vypočítat přímo, výhodnější ale je použít Gaussovu větu elektrostatiky.

  • Řešení — trik

    Pro potenciál v libovolném bodě prostoru \(\vec{r}\) podle předchozí části řešení platí

    \[\varphi(\vec{r}) = \int_{koule} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\vec{P}\,\mathrm{d}V^{'})\cdot (\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}\]

    a protože vektor \(\vec P\) je konstantní, lze jej vytknout před integrál

    \[\varphi(\vec{r}) = \vec{P}\cdot \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{koule} \frac{(\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}\,\mathrm{d}V^{'}\right),\tag{1}\]

    ovšem s tím, že nyní v závorce integrujeme vektorovou funkci. Jedná se tedy vlastně o tři integrály pro každou složku zvlášť.

    Označme nyní

    \[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{koule} \frac{(\vec{r}^,-\vec{r})}{|\vec{r}^,-\vec{r}|^3}\,\mathrm{d}V^{'}.\tag{2}\]

    Integrál v závorce se shoduje s integrálem pro výpočet intenzity elektrického pole v bodě \(\vec{r}\), které je buzeno koulí s rovnoměrně rozloženým objemovým nábojem o jednotkové hustotě.

    Přestože integrál jde vypočíst přímo, k výpočtu intenzity můžeme použít Gaussovu větu. Výpočet je stručně připomenut v následujícím oddílu.

  • Řešení — určení integrálu pomocí Gaussovy věty

    Označme R poloměr koule.

    Intenzita elektrického pole v místě \(\vec{r}\) v důsledku sférické symetrie má směr i orientaci vektoru \(\vec{r}\) a její velikost E(r) závisí pouze na vzdálenosti r od středu koule. Podle Gaussovy věty elektrostatiky

    \[\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\textrm{int}}}{\varepsilon_0} ,\]

    v níž na levé straně integrujeme přes sféru o poloměru r a napravo je náboj obsažený uvnitř této sféry, to jest v kouli o poloměru r, platí

    \[E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\textrm{int}}}{\varepsilon_0},\]

    což pro r > R dává (připomeňme, že v našem případě ρ = 1)

    \[E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot \varrho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2}\]

    a pro r < R dostáváme

    \[E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot \varrho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3\varepsilon_0}r.\]

    Vektorově tedy dostáváme

    \[\vec{E}(\vec{r}) = E(r)\cdot \frac{\vec{r}}{r}\]

    uvnitř koule

    \[\vec{E} = \frac{1}{3\varepsilon_0}\vec{r}\]

    vně koule

    \[\vec{E} = \frac{R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r}.\]
  • Řešení — závěrečný výpočet a interpretace výsledků

    Ze vztahů (1) a (2) uvedených v předcházejících oddílech řešení vyplývá, že

    \[\varphi(\vec{r}) = \vec{P}\cdot \vec{E}(\vec{r}).\]

    Uvnitř koule dostáváme

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\]

    Elektrickou intenzitu pole uvnitř koule můžeme vypočítat jako záporně vzatý gradient. Vzhledem k tomu, že vektor \(\vec{P}\) je konstantní, je

    \[\nabla(\vec{P}\cdot\vec{r}) = \vec{P}\]

    a pro intenzitu pole uvnitř homogenně polarizované koule \(\vec{E}_{\textrm{int}}\) tedy platí

    \[\vec{E}_{\textrm{int}} = -\nabla\varphi = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}.\]

    Vnitřní pole je tedy homogenní (neboť vektor \(\vec{P}\) je konstantní) a vektor intenzity má stejný směr a opačnou orientaci než vektor polarizace.

    Vně koule dostáváme

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^3}.\]

    Pokud použijeme vztah pro celkový dipólový moment koule

    \[\vec{p} = \int_{\textrm{koule}} \vec{P}\,dV^{'}= \vec{P}V^{'} = \vec{P}\,\cdot\,\frac{4}{3}\pi R^3,\]

    můžeme vztah pro potenciál upravit na tvar

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3},\]

    z čehož vyplývá, že pole vně koule je stejné jako pole ideálního dipólu umístěného v jejím středu s dipólovým momentem \(\vec{p} = \vec{P}V{'}\).

  • Výsledky

    Uvnitř koule je homogenní pole, potenciál je určen vztahem

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\]

    a pro intenzitu pole platí

    \[\vec{E}_{int} = -\nabla\varphi = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}.\]

    Vně koule má pole charakter pole ideálního dipólu, potenciál je určen vztahem

    \[\varphi(\vec{r}) = \frac{\vec{P}\cdot \vec{r}}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^3} = \frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3},\]

    kde \(\vec{p}\) je celkový dipólový moment koule určený vztahem

    \[\vec{p} = \vec{P} \,\cdot\,\frac{4}{3}\pi R^3.\]
  • Komentář – další možné způsoby výpočtu

    První způsob řešení je podrobně popsán v úloze: použijeme interpretace veličiny polarizace jako hustoty dipólů a potenciál elektrického pole počítáme integrací (podle principu superpozice) příspěvků elementárních dipólů v kouli. Získaný integrál počítáme trikem pomocí Gaussovy věty. Tento integrál lze ale určit také přímým výpočtem.

    Druhý způsob je založen na jiné myšlence: neutrální kouli si představíme jako superpozici koule kladně nabité a koule záporně nabité, které se překrývají. Její homogenní polarizaci interpretujeme jako malé posunutí d kladné koule vůči záporné kouli tak, aby pro celkový dipólový moment p = PV zároveň platilo p = Qd. (Ideální dipóly v jednotlivých místech koule tak vlastně nahrazujeme neideálními). Pole pak určíme podle principu superpozice jako součet polí obou nabitých koulí a provedeme „dipólový“ limitní přechod: d → 0 při zachování konstantního dipólového momentu p.

    Třetí způsob využívá možnost nahrazení objemové polarizace soustavou vázaných nábojů, které vytvářejí stejné pole. Podle explicitních vztahů určíme z vektoru polarizace hustotu povrchového a objemového vázaného náboje a jím vytvářené pole pak můžeme určit jinými metodami elektrostatiky. K tomu podotkněme, že přímočaré použití Gaussovy věty se nenabízí (situace není válcově ani sféricky symetrická) a přímá integrace příspěvků plošného náboje se zdá být elementárními metodami neproveditelná. Protože situace je symetrická vzhledem k otočení vůči ose procházející středem koule a mající směr vektoru polarizace (tzv. azimutální symetrie), lze využít sofistikovanějších technik, například obecného řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích za podmínky této symetrie. Podrobnosti lze najít například v učebnici D. J. Griffithse, Introduction to Electrodynamics, str. 138-139 a 142-144.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze