Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Tenký kovový proužek

Úloha číslo: 2308

Uvažujme nekonečně dlouhý, tenký proužek kovu šířky a. Proužkem protéká proud I jehož směr je dán obrázkem. Nalezněte magnetické pole v bodě P, který leží v rovině proužku a  je od něj vzdálen b.

Zadání
  • Nápověda

    Velikost magnetického pole ve vzdálenosti r od dlouhého tenkého vodiče je dána vztahem

    \[B=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{r},\]

    kde I je proud protékající vodičem. Směr magnetického pole je dán Ampérovým pravidlem pravé ruky.

    Jak bychom mohli tohoto poznatku využít v této úloze?

  • Řešení

    Zadání

    Jak bylo zmíněno v řešení nápovědy, tenký proužek kovu „rozřežeme“ na nekonečně mnoho tenkých přímých vodičů. Uvědomme si, že směry příspěvků od jednotlivých vodičů jsou stejné. Pomocí Ampérova pravidla pravé ruky zjistíme, že směr je kolmý na proužek a orientovaný ve směru nahoru.

    Řešení

    Situaci z předchozího obrázku zakreslíme i v řezu.

    Pohled v řezu

    Příspěvek k magnetické indukci od jednoho z vodičů ve vzdálenosti r od bodu P je

    \[\mathrm{d}B=\frac{\mu}{2\pi}\frac{\mathrm{d}I}{r},\]

    proud je v kovovém proužku homogenně rozmístěn. Proud v infinitezimálně tenkém proužku vyjádříme jako

    \[\mathrm{d}I=\frac{I\mathrm{d}r}{a}.\]

    Spojením posledních dvou vztahů dostaneme velikost příspěvku \(\mathrm{d}B\)

    \[\mathrm{d}B=\frac{\mu}{2\pi r}\frac{I\mathrm{d}r}{a}.\]

    Nasčítáním příspěvků (integrací) od všech „přímých vodičů“ získáme celkovou magnetickou indukci.

    \[B=\int_b^{b+a}\frac{I \mu }{2\pi a }\frac{1}{r}\mathrm{d}r,\] \[B=\frac{I \mu }{2\pi a}\int_b^{b+a}\frac{1}{r}\mathrm{d}r,\] \[B=\frac{I \mu }{2\pi a}\Big[\ln r\Big]_b^{b+a},\] \[B=\frac{I \mu }{2\pi a }\ln \frac{b+a}{b}=\frac{I \mu }{2\pi a }\ln \left(1+\frac{a}{b}\right).\]

    Výsledný směr magnetické indukce bude kolmý na proužek a bude mířit nahoru.

  • Odpověď

    Výsledné magnetické pole v bodě P je \(\frac{I \mu }{2\pi a }\ln \left(1+\frac{a}{b}\right). \) Výsledný směr magnetické indukce bude kolmý na proužek a bude mířit nahoru.

  • Komentář − limitní případ

    Zamysleme se nad speciálním případem,kdy by šířka a  kovového proužku byla velmi malá, neboli \(a \to 0\). V takovém případě se tenký kovový proužek bude chovat jako tenký přímý vodič, pro který platí \(B_{vodic}=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{b}\). Správnost úvahy ověřme výpočtem limity

    \[B_{vodic}=\lim_{a\to 0}\frac{I \mu }{2\pi a }\ln \left(1+\frac{a}{b}\right)=\frac{I \mu }{2\pi b}\lim_{a\to 0}\frac{\ln \left(1+\frac{a}{b}\right)}{\frac{a}{b}}=\frac{\mu}{2\pi}\frac{I}{b}.\]

    Pro vyřešení této limity jsme mohli využít tabulkové limity \(\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}\) , nebo l’Hospitalovo pravidlo.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze