Dva bodové náboje v oleji
Úloha číslo: 944
Dva stejné bodové náboje nacházející se ve vzduchu ve vzájemné vzdálenosti 0,2 m na sebe působí silou F0. Do jaké vzdálenosti by bylo třeba umístit tyto náboje v oleji, aby velikost působící síly zůstala zachována? Relativní permitivita oleje je 5.
Rozbor
Na vzduchu i v oleji působí mezi náboji elektrická síla, jejíž velikost můžeme vypočítat z Coulombova zákona. Vzorec se liší pouze o relativní permitivitu oleje. Čím vyšší je permitivita materiálu, tím menší je působící elektrická síla.
Obě síly porovnáme a vyjádříme vzdálenost nábojů v oleji.
Řešení
Vzdálenost bodových nábojů v oleji označme ro a vzdálenost na vzduchu r. Velikost síly, kterou na sebe bodové náboje působí v oleji, označme F1. Požadujeme, aby síla působící na náboje na vzduchu a v oleji byla stejná. Chceme tedy, aby platilo F0 = F1.
Pro velikost obou sil platí Coulombův zákon, v případě oleje však musíme použít jeho tvar pro dielektrikum (liší se pouze konstantou εr). Můžeme tedy začít psát:
\[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q^2}{r^2} \,=\, \frac{1}{4\pi\varepsilon_\mathrm{r}\varepsilon_0}\cdot \frac{Q^2}{r^2_\mathrm{o}}\,. \]Vztah zkrátíme:
\[ \frac{1}{r^2} \,=\, \frac{1}{\varepsilon_\mathrm{r} r^2_\mathrm{o}} \]a vyjádříme vzdálenost ro:
\[ r^2_\mathrm{o}\,=\,\frac{r^2}{\varepsilon_\mathrm{r}}, \] \[ r_\mathrm{o}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_\mathrm{r}}}. \]Zápis a výpočet
r = 0,2 m vzdálenost nábojů ve vzduchu εr = 5 relativní permitivita oleje ro = ? (m) vzdálenost nábojů v oleji
\[ r_\mathrm{o}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_\mathrm{r}}}\,=\,\frac{0{,}2}{\sqrt{5}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,0{,}089\,\mathrm{m}\,\dot=\,8{,}9\,\mathrm{cm} \]Odpověď
V oleji je třeba náboje umístit do vzdálenosti
\[ r_\mathrm{o}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_\mathrm{r}}}\,\dot=\,8{,}9\,\mathrm{cm}\,. \]
