Dva bodové náboje v oleji

Úloha číslo: 944

Dva stejné bodové náboje nacházející se ve vzduchu ve vzájemné vzdálenosti 0,2 m na sebe působí silou F0. Do jaké vzdálenosti by bylo třeba umístit tyto náboje v oleji, aby velikost působící síly zůstala zachována? Relativní permitivita oleje je 5.

  • Rozbor

    Na vzduchu i v oleji působí mezi náboji elektrická síla, jejíž velikost můžeme vypočítat z Coulombova zákona. Vzorec se liší pouze o relativní permitivitu oleje. Čím vyšší je permitivita materiálu, tím menší je působící elektrická síla.

    Obě síly porovnáme a vyjádříme vzdálenost nábojů v oleji.

  • Řešení

    Vzdálenost bodových nábojů v oleji označme ro a vzdálenost na vzduchu r. Velikost síly, kterou na sebe bodové náboje působí v oleji, poté označme F1. Požadujeme, aby síla působící na náboje na vzduchu a v oleji byla stejná. Chceme tedy, aby platilo F0 = F1.

    Pro velikost obou sil platí Coulombův zákon, v případě oleje však musíme použít jeho tvar pro dielektrikum (liší se pouze konstantou εr ). Můžeme tedy začít psát:

    \[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q^2}{r^2} \,=\, \frac{1}{4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0}\cdot \frac{Q^2}{r^2_{o}}\,. \]

    Vztah zkrátíme

    \[ \frac{1}{r^2} \,=\, \frac{1}{\varepsilon_r r^2_{o}} \]

    a vyjádříme vzdálenost ro

    \[ r^2_{o}\,=\,\frac{r^2}{\varepsilon_r}, \] \[ r_{o}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]
  • Zápis a výpočet

    r = 0,2 m vzdálenost nábojů ve vzduchu
    εr = 5 relativní permitivita oleje
    ro = ? (m) vzdálenost nábojů v oleji

    \[ r_{o}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,=\,\frac{0{,}2}{\sqrt{5}}\,\mathrm{m}\,\dot=\,0{,}089\,\mathrm{m}\,\dot=\,8{,}9\,\mathrm{cm} \]
  • Odpověď

    V oleji je třeba náboje umístit do vzdálenosti

    \[ r_{ol}\,=\,\frac{r}{\sqrt{\varepsilon_r}}\,\dot=\,8{,}9\,\mathrm{cm}\,. \]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze