Ocelová a uhlíková tyčinka
Úloha číslo: 699
Dvě tyčinky stejného průměru, jedna z oceli a druhá ze speciální uhlíkové slitiny, jsou spojeny za sebou. Při jakém poměru délek obou tyčinek nebude odpor této soustavy záviset na teplotě?
Potřebné konstanty
Protože by se potřebné konstanty obtížně vyhledávaly v tabulkách, uvádíme je zde:
měrný elektrický odpor oceli: ρ1 = 9,6·10 − 8 Ω m teplotní součinitel oceli: α1 = 6,0·10 − 3 K − 1 měrný elektrický odpor uhlíkové slitiny: ρ2 = 4,0·10 − 5 Ω m teplotní součinitel uhlíkové slitiny: α2 = − 4,0·10 − 3 K − 1 Nápověda 1
Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypadá závislost odporu elektrického vodiče na teplotě.
Nápověda 2
Uvědomte si, jak se při nárůstu odporu jedné tyčinky musí změnit odpor druhé tyčinky, aby celkový odpor soustavy zůstal nezměněn.
Nápověda 3
Vyhledejte si vztah pro výpočet odporu homogenního vodiče v závislosti na jeho parametrech (délka vodiče, průřez, materiál).
Rozbor
Při zahřátí soustavy dvou sériově zapojených tyčinek se odpor železné tyčinky zvýší, zatímco odpor uhlíkové tyčinky poklesne. Toto rozdílné chování tyčinek v závislosti na teplotě vyjadřujeme různými znaménky u teplotních součinitelů elektrického odporu daných látek. Požadujeme, aby odpor této soustavy nezávisel na teplotě, a proto velikosti změn obou odporů musí být stejně velké.
Poměr délek obou tyčinek určíme s využitím vztahu pro změnu odporu při změně teploty a vztahu pro výpočet elektrického odporu vodiče v závislosti na jeho délce.
Řešení
Pro změnu velikosti elektrického odporu vodiče v závislosti na teplotě platí vztah
\[ \Delta R\,=\,R\,-\,R_0\,=\,R_0\alpha\Delta t\,, \tag{1}\]kde R je odpor vodiče při teplotě t, R0 odpor při vztažné teplotě t0, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt rozdíl teplot Δt = t − t0.
Při zahřátí soustavy dvou sériově zapojených tyčinek se odpor železné tyčinky zvýší, zatímco odpor uhlíkové tyčinky poklesne. Toto „různé“ chování tyčinek vyjadřujeme rozdílným znaménkem teplotního součinitele elektrického odporu daných látek. V této úloze požadujeme, aby odpor této soustavy nezávisel na teplotě, a proto velikosti změn obou odporů musí být stejně velké. Tedy:
\[ \left|\Delta R_1\right|\,=\,\left|\Delta R_2\right|. \]Nyní do tohoto vzorce dosadíme ze vztahu (1). Teplotní rozdíl Δt i odpory tyčinek R01 a R02 jsou nezáporné veličiny. Proto absolutní hodnotu ponecháme jen u teplotních součinitelů elektrického odporu:
\[ R_{01}\left|\alpha_1\right|\Delta t\,=\,R_{02}\left|\alpha_2\right|\Delta t. \]Zde R01 je odpor železné tyčinky, α1 teplotní součinitel elektrického odporu železa, R02 je odpor uhlíkové tyčinky a α2 její teplotní součinitel elektrického odporu.
Tuto rovnici upravíme:
\[ \frac{R_{01}}{R_{02}}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|}. \tag{2}\]Odpory železné a hliníkové tyčinky jsou závislé na délce a průřezu těchto tyčí. Tuto závislost můžeme vyjádřit vztahem:
\[ R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,, \]kde l je délka tyčinky, S příčný průřez tyčinky a ρ měrný elektrický odpor (rezistivita). V našem případě je průřez železné a uhlíkové tyče stejný.
Takto vyjádřené odpory tyčinek dosadíme do vztahu (2):
\[ \frac{\rho_1\,\frac{l_1}{S}}{\rho_2\,\frac{l_2}{S}}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|}\,. \]Dalšími úpravami tohoto vzorce určíme poměr délek tyčinek, při kterém nebude odpor soustavy záviset na teplotě:
\[ \frac{\rho_1\,l_1}{\rho_2\,l_2}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|} \] \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|\,\rho_2}{\left|\alpha_1\right|\,\rho_1}\,. \]Číselné dosazení
Hodnoty nalezené ve fyzikálních tabulkách:
ρ1 = 9,6·10 − 8 Ω m měrný elektrický odpor oceli α1 = 6,0·10 − 3 K − 1 teplotní součinitel oceli ρ2 = 4,0·10 − 5 Ω m měrný elektrický odpor uhlíkové slitiny α2 = − 4,0·10 − 3 K − 1 teplotní součinitel uhlíkové slitiny
Ze vztahu, který jsme získali v minulém oddíle, nyní vypočítáme poměr délek obou tyčinek, při kterém nebude odpor soustavy záviset na teplotě:
\[ \frac{l_1}{l _2}\,=\,\frac{ \left|\alpha_2\right|\,\rho_2}{\left|\alpha_1\right|\,\rho_1}\,=\,\frac{ 4{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\,\cdot\,4{\cdot}10^{-5}\,\mathrm{\Omega\,m} }{ 6{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\,\cdot\,9{,}6{\cdot}10^{-8}\,\mathrm{\Omega\,m} }\,\dot{=}\,280\,. \]Odpověď
Aby odpor dané soustavy nezávisel na teplotě, musí být železná tyčinka asi 280krát delší než tyčinka uhlíková.
Odkaz na jednodušší úlohu
Zkuste si vypočítat také úlohu Odpor vodiče v závislosti na teplotě.
