Ocelová a uhlíková tyčinka

Úloha číslo: 699

Dvě tyčinky stejného průměru, jedna z oceli a druhá ze speciální uhlíkové slitiny, jsou spojeny za sebou. Při jakém poměru délek obou tyčinek nebude odpor této soustavy záviset na teplotě?

Obrázek k zadání úlohy
  • Potřebné konstanty

    Protože by se potřebné konstanty obtížně vyhledávaly v tabulkách, uvádíme je zde:

    měrný elektrický odpor oceli: ρ1 = 9,6·10 − 8 Ω m
    teplotní součinitel oceli: α1 = 6,0·10 − 3 K − 1
    měrný elektrický odpor uhlíkové slitiny: ρ2 = 4,0·10 − 5 Ω m
    teplotní součinitel uhlíkové slitiny: α2 = − 4,0·10 − 3 K − 1
  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, jak vypadá závislost odporu elektrického vodiče na teplotě.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, jak se při nárůstu odporu jedné tyčinky musí změnit odpor druhé tyčinky, aby celkový odpor soustavy zůstal nezměněn.

  • Nápověda 3

    Vyhledejte si vztah pro výpočet odporu homogenního vodiče v závislosti na jeho parametrech (délka vodiče, průřez, materiál).

  • Rozbor

    Při zahřátí soustavy dvou sériově zapojených tyčinek se odpor železné tyčinky zvýší, zatímco odpor uhlíkové tyčinky poklesne. Toto rozdílné chování tyčinek v závislosti na teplotě vyjadřujeme různými znaménky u teplotních součinitelů elektrického odporu daných látek. Požadujeme, aby odpor této soustavy nezávisel na teplotě, a proto velikosti změn obou odporů musí být stejně velké.

    Poměr délek obou tyčinek určíme s využitím vztahu pro změnu odporu při změně teploty a vztahu pro výpočet elektrického odporu vodiče v závislosti na jeho délce.

  • Řešení

    Pro změnu velikosti elektrického odporu vodiče v závislosti na teplotě platí vztah

    \[ \Delta R\,=\,R\,-\,R_0\,=\,R_0\alpha\Delta t\,, \tag{1}\]

    kde R je odpor vodiče při teplotě t, R0 odpor při vztažné teplotě t0, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt rozdíl teplot Δt = t − t0.

    Při zahřátí soustavy dvou sériově zapojených tyčinek se odpor železné tyčinky zvýší, zatímco odpor uhlíkové tyčinky poklesne. Toto „různé“ chování tyčinek vyjadřujeme rozdílným znaménkem teplotního součinitele elektrického odporu daných látek. V této úloze požadujeme, aby odpor této soustavy nezávisel na teplotě, a proto velikosti změn obou odporů musí být stejně velké. Tedy:

    \[ \left|\Delta R_1\right|\,=\,\left|\Delta R_2\right|. \]

    Nyní do tohoto vzorce dosadíme ze vztahu (1). Teplotní rozdíl Δt i odpory tyčinek R01 a R02 jsou nezáporné veličiny. Proto absolutní hodnotu ponecháme jen u teplotních součinitelů elektrického odporu:

    \[ R_{01}\left|\alpha_1\right|\Delta t\,=\,R_{02}\left|\alpha_2\right|\Delta t. \]

    Zde R01 je odpor železné tyčinky, α1 teplotní součinitel elektrického odporu železa, R02 je odpor uhlíkové tyčinky a α2 její teplotní součinitel elektrického odporu.

    Tuto rovnici upravíme:

    \[ \frac{R_{01}}{R_{02}}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|}. \tag{2}\]

    Odpory železné a hliníkové tyčinky jsou závislé na délce a průřezu těchto tyčí. Tuto závislost můžeme vyjádřit vztahem:

    \[ R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\,, \]

    kde l je délka tyčinky, S příčný průřez tyčinky a ρ měrný elektrický odpor (rezistivita). V našem případě je průřez železné a uhlíkové tyče stejný.

    Takto vyjádřené odpory tyčinek dosadíme do vztahu (2):

    \[ \frac{\rho_1\,\frac{l_1}{S}}{\rho_2\,\frac{l_2}{S}}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|}\,. \]

    Dalšími úpravami tohoto vzorce určíme poměr délek tyčinek, při kterém nebude odpor soustavy záviset na teplotě:

    \[ \frac{\rho_1\,l_1}{\rho_2\,l_2}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|}{\left|\alpha_1\right|} \] \[ \frac{l_1}{l_2}\,=\,\frac{\left|\alpha_2\right|\,\rho_2}{\left|\alpha_1\right|\,\rho_1}\,. \]
  • Číselné dosazení

    Hodnoty nalezené ve fyzikálních tabulkách:

    ρ1 = 9,6·10 − 8 Ω m měrný elektrický odpor oceli
    α1 = 6,0·10 − 3 K − 1 teplotní součinitel oceli
    ρ2 = 4,0·10 − 5 Ω m měrný elektrický odpor uhlíkové slitiny
    α2 = − 4,0·10 − 3 K − 1 teplotní součinitel uhlíkové slitiny

    Ze vztahu, který jsme získali v minulém oddíle, nyní vypočítáme poměr délek obou tyčinek, při kterém nebude odpor soustavy záviset na teplotě:

    \[ \frac{l_1}{l _2}\,=\,\frac{ \left|\alpha_2\right|\,\rho_2}{\left|\alpha_1\right|\,\rho_1}\,=\,\frac{ 4{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\,\cdot\,4{\cdot}10^{-5}\,\mathrm{\Omega\,m} }{ 6{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\,\cdot\,9{,}6{\cdot}10^{-8}\,\mathrm{\Omega\,m} }\,\dot{=}\,280\,. \]
  • Odpověď

    Aby odpor dané soustavy nezávisel na teplotě, musí být železná tyčinka asi 280krát delší než tyčinka uhlíková.

  • Odkaz na jednodušší úlohu

    Zkuste si vypočítat také úlohu Odpor vodiče v závislosti na teplotě.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze