Pohybující se kovová tyč v blízkosti vodiče, jímž prochází proud

Úloha číslo: 801

Kovová tyč o délce l = 1 m se pohybuje stálou rychlostív = 2 ms-1 rovnoběžně s dlouhým přímým drátem, jímž prochází proud I = 20 A. Vzdálenost mezi drátem a tyčí je a = 0,1 m. Spočítejte elektromotorické napětí indukované v tyči (kovová tyč je na obrázku znázorněna modře) .

Nákres situace
  • Nápověda 1

    Jak definujeme indukované napětí?

  • Nápověda 2: Magnetický indukční tok

    Magnetická indukce není v celé ploše smyčky konstantní. Jak budeme počítat magnetický indukční tok?

  • Řešení

    Zajímá nás velikost indukovaného napětí která je dána vztahem \[U_i=\left|-{\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}}\right| ,\] což je změna magnetického toku dΦ za určitý časový úsek dt.

    Magnetický indukční tok Φ spočítáme jako integrál magnetické indukce B \[\Phi=\int{B}\,\mathrm dS.\] Velikost magnetické indukce B budeme počítat pomocí vzorce pro nekonečně dlouhý přímý vodič odvozeného v úloze Magnetické pole dlouhého přímého vodiče s proudem \[B= \frac{\mu_o}{2\,\pi}\frac{I}{a+x}.\] Dosadíme do integrálu a element dS vyjádříme s pomocí obrázku. Plochu S si rozdělíme na proužky, jejichž tloušťka je dx, protože tímto rozdělením vystihneme, že v každém kousku tyče je jiná velikost magnetické indukce (ta se vzdáleností od vodiče klesá), a délka vt, to nám vyjadřuje pohyb tyče podél drátu. V proužku je velikost magnetické indukce B všude stejná.

    Nákres situace

    Integrujeme přes délku tyče. Pro magnetický indukční tok Φ dostáváme \[\Phi=\int_0^l{\frac{\mu_o}{2\,\pi}\frac{I}{a+x}}\,vt\,\mathrm dx=\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi}\int_0^l\frac{1}{a+x}\,\mathrm dx.\]

    Nyní substitucí vyřešíme integrál

    substituce:
    \[y=a+x\] \[\mathrm dy=\mathrm dx\] \[\Phi=\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi}\int_a^{a+l}\frac{1}{y}\,\mathrm dy=\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi} \left[\ln{y}\right]_a^{a+l}=\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi} \left(\ln\left( {a+l}\right)-\ln a\right)=\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi} \cdot\ln {\frac {a+l}{a}}.\]

    Teď vše dosadíme do vztahu pro indukované napětí

    \[U_i=\left|-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\right|=\left|-\frac{\mathrm d\frac{\mu_0Ivt}{2\,\pi}\cdot \ln {\frac{a+l}{a}}}{\mathrm dt}\right|=\left|-\frac{\mu_0Iv}{2\,\pi} \cdot \ln {\frac{a+l}{a}}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dt}\right|=\left|-\frac{\mu_0 I v}{2\pi}\cdot\ln{\frac{a+l}{a}}\right|=\frac{\mu_0 I v}{2\pi}\cdot\ln{\frac{a+l}{a}}.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    l = 1 m délka tyče
    v = 2 m·s-1 rychlost pohybu tyče
    I = 20 A proud tyčí
    a = 0,1 m vzdálenost tyče od vodiče
    Ui = ? (V) indukované napětí
    Z tabulek:
    μ0 = 4π ·10-7 H·m-1 permeabilita vakua

    \[U_i=\frac{\mu_0 I v}{2\pi}\cdot\ln{\frac{a+l}{a}}=\frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 20{\cdot} 2}{2\pi}\cdot\ln{\frac{0{,}1+1}{0{,}1}}\,\mathrm V\,\dot{=}\,1{,}9{\cdot} 10^{-5}\,\mathrm V \,\dot{=}\, 19\,\mathrm {\mu V}\]
  • Odpověď

    V tyči se indukuje napětí 19 μV.

  • Odkaz na podobné úlohy

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze