Časový průběh proudu cívkou

Úloha číslo: 722

V obvodu na obrázku je udržován konstantní celkový proud I změnami napětí zdroje. Spínač S je sepnut v čase t = 0 s. Odvoďte, jak závisí proud protékající cívkou na čase, který uplynul od sepnutí spínače, a určete, kdy je proud rezistorem stejný jako proud cívkou.

schéma zapojení
  • Nápověda

    Po sepnutí spínače teče proud v obvodu nejprve převážně rezistorem, protože v cívce se indukuje napětí, které brání změně proudu, tj. tomu, aby cívkou najednou začal téci relativně velký proud. Postupně se bude proud cívkou zvětšovat, a tedy proud rezistorem zmenšovat. Poté, co se dosáhne ustáleného stavu, bude proud protékat pouze cívkou, protože má v porovnání s rezistorem zanedbatelný odpor (ideální cívka má dokonce nulový odpor).

  • Rozbor

    Po sepnutí spínače platí, že celkový proud (který je zdrojem udržován na konstantní hodnotě) je roven součtu proudu rezistorem a cívkou. Dále platí, že indukované napětí na cívce bude v každém okamžiku stejné jako úbytek napětí na rezistoru. Z těchto poznatků sestavíme diferenciální rovnici pro průběh proudu a vyřešíme ji.

  • Řešení – odvození závislosti proudu na čase

    Po sepnutí spínače se začne proud tekoucí cívkou zvětšovat, což způsobí, že se v ní bude indukovat napětí působící proti tomuto růstu. Podle 2. Kirchhoffova zákona bude indukované napětí v cívce v každém okamžiku stejné jako úbytek napětí na rezistoru.

    schéma zapojení

    Označíme-li si proudy tekoucí cívkou a rezistorem podle obrázku, můžeme psát:

    \[ U_L=U_R, \] \[ L \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}=RI_2. \]

    Z 1. Kirchhoffova zákona platí:

    \[ I_1 + I_2 = I, \]

    což nám při konstantnosti proudu I umožňuje jednoduchými úpravami dospět k diferenciální rovnici pro závislost proudu I1 tekoucího cívkou na čase:

    \[ L \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}=RI_2, \] \[ L \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}=R(I - I_1), \] \[ L \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} + RI_1 =RI. \]

    Získali jsme lineární diferenciální rovnici 1. řádu s pravou stranou. Její řešení uvedeme v následujícím oddíle.

  • Řešení – lineární diferenciální rovnice pro proud I1

    \[ L \frac{\mathrm{d}I_1(t)}{\mathrm{d}t} + RI_1(t) =RI. \]

    Obecné řešení rovnice tohoto typu můžeme vyjádřit jako součet obecného řešení příslušné diferenciální rovnice bez pravé strany (tzv. homogenní rovnice) a partikulárního řešení.

    Poznámka: Tuto diferenciální rovnici lze řešit také jednodušeji metodou separace proměnných.

    1.) Obecné řešení homogenní diferenciální rovnice:

    Řešíme tedy rovnici ve tvaru:

    \[ L \frac{\mathrm{d}I_1(t)}{\mathrm{d}t} + RI_1(t) = 0, \] \[\frac{\mathrm{d}I_1(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{R}{L}I_1(t) = 0, \]

    kterou lze řešit např. pomocí metody separace proměnných:

    \[\frac{\mathrm{d}I_1(t)}{\mathrm{d}t} = - \frac{R}{L}I_1(t) , \] \[\frac{1}{I_1(t)}\mathrm{d}I_1 = - \frac{R}{L}\mathrm{d}t , \] \[\int \frac{1}{I_1(t)}\mathrm{d}I_1 = \int (- \frac{R}{L})\mathrm{d}t , \] \[\ln |I_1(t)| = - \frac{R}{L}t + k , \]

    kde k je integrační konstanta. Po odlogaritmování a označení C = ek má řešení homogenní rovnice tvar:

    \[I_1(t) = C\mathrm{e}^{- \frac{R}{L}t}. \]

    2.) Partikulární řešení diferenciální rovnice :

    K nalezení partikulárního řešení použijeme metodu variace konstanty: Její princip spočívá v předpokladu, že řešení homogenní rovnice bude vyhovovat rovnici úplné, jestliže nahradíme konstantu C vhodnou funkcí. Budeme tedy předpokládat, že:

    \[I_1(t) = C(t)e^{- \frac{R}{L}t} \]

    je hledaným řešením a dosadíme tuto funkci do úplné rovnice.

    Nejdříve si připravíme derivaci této funkce podle času (budeme značit čárkou) jako derivaci součinu:

    \[I_1(t) = C(t) e^{- \frac{R}{L}t}, \] \[I_1^,(t) = C^,(t) e^{- \frac{R}{L}t} - \frac{R C(t)}{L}(t)e^{- \frac{R}{L}t}.\]

    Nyní dosadíme tuto funkci a její výše připravenou derivaci do úplné rovnice a vyjádříme neznámou funkci C(t):

    \[ L \frac{\mathrm{d}I_1(t)}{\mathrm{d}t} + RI_1(t) = RI ,\] \[ L ( C^,(t) e^{- \frac{R}{L}t} - \frac{R C(t)}{L}(t)e^{- \frac{R}{L}t}) + R C(t) e^{- \frac{R}{L}t}= RI ,\] \[ L C^,(t) e^{- \frac{R}{L}t} - R C(t) e^{- \frac{R}{L}t} + R C(t) e^{- \frac{R}{L}t}= RI ,\] \[ L C^,(t) e^{- \frac{R}{L}t} = RI ,\] \[ C^,(t) = \frac{RI}{L} e^{ \frac{R}{L}t}.\]

    Zintegrujeme podle času:

    \[ C(t) = \frac{RI}{L} e^{ \frac{R}{L}t} \frac{L}{R} + K,\] \[ C(t) = I e^{ \frac{R}{L}t} + K,\]

    kde K je integrační konstanta.

    3.) Úplné řešení diferenciální rovnice:

    Vztah pro funkci C(t) dosadíme do výrazu pro řešení homogenní rovnice a získáme tak obecné řešení úplné rovnice:

    \[I_1(t) = C(t) e^{- \frac{R}{L}t}, \] \[I_1(t) = (I e^{ \frac{R}{L}t} + K )e^{- \frac{R}{L}t} \]

    a po úpravě:

    \[I_1(t) = I + K e^{- \frac{R}{L}t}. \]

    Konstantu K určíme z počátečních podmínek. Na počátku t = 0 s je proud tekoucí cívkou nulový, I0 = 0 A. Díky tomu dostáváme:

    \[I_0 = I + K, \] \[0 = I + K, \] \[ K = -I. \]

    Závislost proudu tekoucího cívkou na čase pak můžeme zapsat ve tvaru:

    \[I_1(t) = I -I e^{- \frac{R}{L}t} = I ( 1 - e^{- \frac{R}{L}t}). \]
  • Řešení – rovnost proudu rezistorem a cívkou

    Protože z 1. Kirchhoffova zákona platí:

    \[ I_1 + I_2 = I, \]

    je zřejmé, že stejný proud cívkou a rezistorem poteče v okamžiku, kdy bude platit:

    \[ I_1 = \frac{I}{2}.\]

    Po dosazení do výrazu odvozeného v oddílu výše získáváme:

    \[I_1(t) = I ( 1 - e^{- \frac{R}{L}t}), \] \[\frac{I}{2} = I ( 1 - e^{- \frac{R}{L}t}), \] \[\frac{1}{2} = 1 - e^{- \frac{R}{L}t}, \] \[ e^{- \frac{R}{L}t}= \frac{1}{2} . \]

    Zlogaritmujeme:

    \[ - \frac{R}{L}t= \mathrm{ln}\frac{1}{2} , \] \[ \frac{R}{L}t= -\mathrm{ln}2 . \]

    Vyjádříme čas t:

    \[ t= -\frac{L}{R}\,\mathrm{ln}2 . \]
  • Odpověď

    Závislost proudu protékajícího cívkou na čase popisuje rovnice:

    \[I_1(t) = I ( 1 - e^{- \frac{R}{L}t}). \]

    Stejně velký proud poteče rezistorem a cívkou v čase:

    \[ t= -\frac{L}{R}\,\mathrm{ln}2 . \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze