Dvě navzájem kolmé nabité přímky

Úloha číslo: 1020

Dvě navzájem kolmé přímky jsou rovnoměrně nabity s lineární hustotou nábojů τ1τ2. Jednou ze siločar je přímka procházející průsečíkem těchto přímek a ležící v rovině obou přímek. Jaký úhel svírá tato siločára s přímkou o hustotě τ2?
  • Nápověda 1

    Nakreslete si obrázek situace a zvolte si souřadnicový systém.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, že intenzita výsledného pole musí mít směr siločáry. Co z toho plyne pro směr intenzity v bodě A, který leží na siločáře procházející průsečíkem přímek?

  • Rozbor

    Pro vyřešení této úlohy je nutné si uvědomit, že intenzita výsledného pole musí mít směr siločáry. Z toho plyne, že v bodech na uvedené přímkové siločáře platí, že úhel, který svírá siločára s vodorovnou přímkou je stejný jako úhel, který svírá výsledná intenzita s vodorovným směrem.

  • Řešení

    Máme určit úhel α, který svírá siločára popsaná v zadání s přímkou o lineární hustotě τ2. Na siločáře si zvolíme bod A o souřadnicích x a y. Pro úhel α platí \[\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{y}{x},\] jak je vidět na obrázku. Nabité přímky leží na osách a siločára je vyznačena modře.

    Nákres situace

    Pozn. V obrázku uvažujeme přímky s kladným nábojem.

    Vektor celkové intenzity \(\vec{E}\) musí mít vždy směr siločáry, tj. v bodě A bude mít směr přímky procházející počátkem. To znamená, že úhel, který svírá vektor \(\vec{E}_\mathrm A\) s vodorovným směrem je stejný jako úhel α, který máme určit. S využitím vzorce pro velikost elektrické intenzity v okolí nabité přímky \(E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 z}\) můžeme psát \[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{E_{2\mathrm A}}{E_{1\mathrm A}}=\frac{\frac{\tau_2}{2\pi\epsilon_0y}}{\frac{\tau_1}{2\pi\epsilon_0x}}=\frac{\tau_2x}{\tau_1y}, \] kde E1A je velikost elektrické intenzity jedné nabité přímky a E2A je velikost elektrické intenzity druhé nabité přímky.

    Z toho plyne \[\frac{y}{x}=\frac{\tau_2x}{\tau_1y}.\] Neznámý poměr \(\frac{y}{x}\) si převedeme na stejnou stranu \[\frac{y^2}{x^2}=\frac{\tau_2}{\tau_1}\qquad \Rightarrow \qquad {\mathrm{tg}\,^2\alpha}=\frac{\tau_2}{\tau_1}.\] Odtud již vyjádříme úhel α \[ \mathrm{tg}\,\alpha=\sqrt{\frac{\tau_2}{\tau_1}}, \] \[ \alpha=\mathrm{arctg}\,\sqrt{\frac{\tau_2}{\tau_1}}. \]

  • Odpověď

    Siločára svírá s přímkou nabitou nábojovou hustotou τ2 úhel \[ \alpha=\mathrm{arctg}\,\sqrt{\frac{\tau_2}{\tau_1}}. \]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Zaslat komentář k úloze