Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Dvě navzájem kolmé nabité přímky

Úloha číslo: 1020

Dvě navzájem kolmé přímky jsou rovnoměrně nabity s lineární hustotou nábojů τ1τ2. Jednou ze siločar je přímka procházející průsečíkem těchto přímek a ležící v rovině obou přímek. Jaký úhel svírá tato siločára s přímkou o hustotě τ2? Předpokládejme, že τ1 a τ2 jsou kladné.
  • Nápověda 1

    Nakreslete si obrázek situace a zvolte si souřadnicový systém.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, že intenzita výsledného pole musí mít směr siločáry. Co z toho plyne pro směr intenzity v bodě A, který leží na siločáře procházející průsečíkem přímek?

  • Rozbor

    Pro vyřešení této úlohy je nutné si uvědomit, že intenzita výsledného pole musí mít směr siločáry. Z toho plyne, že v bodech na uvedené přímkové siločáře platí, že úhel, který svírá siločára s vodorovnou přímkou, je stejný jako úhel, který svírá výsledná intenzita s vodorovným směrem.

  • Řešení

    Máme určit úhel α, který svírá siločára popsaná v zadání s přímkou o lineární hustotě τ2. Na siločáře si zvolíme bod A o souřadnicích x a y. Pro úhel α platí

    tgα=yx,

    jak je vidět na obrázku. Nabité přímky leží na osách a siločára je vyznačena modře.

    Nákres situace

    Pozn.: V obrázku uvažujeme přímky s kladným nábojem.

    Vektor celkové intenzity E musí mít vždy směr siločáry, tj. v bodě A bude mít směr přímky procházející počátkem. To znamená, že úhel, který svírá vektor EA s vodorovným směrem, je stejný jako úhel α, který máme určit. S využitím vzorce pro velikost elektrické intenzity v okolí nabité přímky E=λ2πϵ0z můžeme psát

    tgα=E2AE1A=τ22πϵ0yτ12πϵ0x=τ2xτ1y,

    kde E1A je velikost elektrické intenzity jedné nabité přímky a E2A je velikost elektrické intenzity druhé nabité přímky.

    Z toho plyne:

    yx=τ2xτ1y.

    Neznámý poměr yx si převedeme na stejnou stranu:

    y2x2=τ2τ1tg2α=τ2τ1.

    Odtud již vyjádříme úhel α:

    tgα=τ2τ1,
    α=arctgτ2τ1.

    Pozn. v případě, že by τ1 a τ2 byly záporné, orientace vektorů elektrické indkuce by byla opačná. Ve výpočetu by se nic nezměnilo.

  • Odpověď

    Siločára svírá s přímkou nabitou nábojovou hustotou τ2 úhel α=arctgτ2τ1.

  • Dynamický prvek

    Následující aplet zobrazuje dvě kolmé nabité přímky (červenou a oranžovou) a bod (znázorněný zeleně) umístěný mezi nimi. Bodem lze posouvat pomocí myši a pomocí pousuvníků lze nastavit délkovou hustotu náboje na každé z přímek. Aplet zobrazuje elektrickou intenzitu v bodě A od každé z přímek a také výslednou elektrickou intenzitou od obou přímek.

     

    Úkoly pro práci s apletem

    1. Nastavte bod A do různých míst a sledujte směr výslené intenzity.
    2. Najděte polohu bodu A tak, aby výslednice elektrické intenzity splývala s černou přímkou (měla směr této přímky). Posouvejte bod A po této přímce a pozorujte změny velikosti E1, E2, EV.
    3. Postupných zkoušením najděte hodnoty lineárních hustot nábojů tak, aby siločára procházející počátkem svírala s vodorovnou přímkou úhel 30°, 45°,resp. 60°. Ověřte výsledný vztah získaný v řešení úlohy.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Zaslat komentář k úloze