Dutý válcový vodič

Úloha číslo: 54

Na obrázku je průřez dutého válcového vodiče, jehož vnější poloměr je a a vnitřní poloměr b. Vodičem protéká proud I homogenně rozložený v celém průřezu vodiče.

a) Dokažte, že závislost velikosti magnetické indukce na vzdálenosti od středu vodiče má tvar

\[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi(a^{2}-b^{2})}\,\frac{r^{2}-b^{2}}{r}\]

pro arb.

b) Dokažte, že

1) pro r = a dává tato rovnice velikost magnetické indukce stejnou jako vně dlouhého přímého vodiče,

2) pro r = b bude výsledná magnetická indukce rovna nule,

3) pro b = 0 dostaneme vztah pro magnetickou indukci uvnitř plného vodiče.

válcový vodič
  • Nápověda

    Protože se jedná o homogenní rozložení proudu, bude vytvořené magnetické pole válcově symetrické. Pro určení magnetického pole použijeme Ampérův zákon.

  • Nápověda - Ampérův zákon

    Ampérův zákon

    Celkový proud procházející plochou, kterou ohraničuje uzavřená křivka, vynásobený permeabilitou vakua se rovná integrálu magnetické indukce podél této křivky.

    \[\mu_o I_c = \oint_\Gamma{\vec{B}}\cdot\vec{dl}\]
  • Rozbor

    Příklad budeme řešit pomocí Ampérova zákona (viz Nápověda 2). Křivkou bude kružnice o poloměru r. Díky symetrii úlohy se křivkový integrál velmi zjednoduší. Proud procházející plochou zvolené křivky určíme z konstantní hustoty proudu v celém průřezu vodiče.

  • Řešení a)

    Jak již bylo zmíněno v rozboru, úlohu budeme řešit pomocí Ampérova zákona

    \[\oint{\vec{B}}\cdot d\vec{s}=\mu_\mathrm{0}I_\mathrm{c}\]

    Ampérovou křivkou bude kružnice. Díky symetrii úlohy je směr vektoru magnetické indukce \(\vec{B}\) tečný k této křivce, má tedy stejný směr jako \(d\vec{s}\). Ampérův zákon můžeme proto psát ve tvaru

    \[\oint{B}\,ds=\mu_\mathrm{0}I_\mathrm{c}\]

    Ze symetrie dále vyplývá, že velikost magnetické indukce B podél celé kružnice je konstantní a stačí tedy vynásobit velikost magnetické indukce B délkou křivky. Levou stranu Ampérova zákona můžeme tedy vyjádřit jako

    \[\oint{B}{ds}=B2\pi r\]

    Proud Ic procházející plochou vyjádříme pomocí hustoty proudu J

    \[J=\frac{I_\mathrm{c}}{S_\mathrm{c}}=\frac{I}{S}\]

    kde Ic je proud, který protéká uvnitř zvolené kružnice o poloměru r,

    Sc je obsah části vodiče s proudem, který je ohraničený kružnicemi o poloměrech b a r,

    I je proud protékající celou plochou vodiče,

    S je obsah průřezu celého vodiče s proudem, který je ohraničen kružnicemi o poloměrech a a b.

    Obsahy vodiče s proudem Sc a S (viz obrázek) můžeme vyjádřit jako

    \[S=\pi a^{2} - \pi b^{2}=\pi \left(a^{2} - b^{2}\right)\] \[S_c=\pi r^{2} - \pi b^{2}=\pi \left(r^{2} - b^{2}\right)\]

    Po dosazení obsahů do rovnice pro hustotu dostáváme

    \[\frac{I_c}{\pi \left(r^{2} - b^{2}\right)}=\frac{I}{\pi \left(a^{2} - b^{2}\right)}\]

    Odtud vyjádříme proud Ic

    \[I_c=\frac{r^{2} - b^{2}}{ a^{2} - b^{2}}I\]

    a ten dosadíme do pravé strany Ampérova zákona

    \[\mu_0 I_c =\mu_0 I \frac{ r^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}\]

    Nyní již máme vyjádřeny obě strany Ampérova zákona

    \[B2\pi r = \mu_0 I \frac{ r^{2} - b^{2}}{ a^{2} - b^{2}}\]

    Odtud vyjádříme hledanou magnetickou indukci B

    \[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi\left(a^{2}-b^{2}\right)}\frac{r^{2}-b^{2}}{r}\]

    Dokázali jsme tak, že pro závislost magnetické indukce na vzdálenosti od středu vodiče platí uvedený vztah.

  • Řešení b)

    1.) Do vyjádření velikosti magnetické indukce odvozené v části a)

    \[B=\frac{I}{2\pi(a^{2}-b^{2})}\,\frac{r^{2}-b^{2}}{r}\tag{*}\]

    dosadíme r = a.

    \[B=\frac{I}{2\pi(a^{2}-b^{2})}\,\frac{a^{2}-b^{2}}{a}\]

    Po úpravě dostáváme vztah

    \[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\]

    který odpovídá magnetické indukci vně dlouhého přímého vodiče.

    2.) Dále do (*) dosadíme r = b

    \[B=\frac{I}{2\pi(a^{2}-b^{2})}\,\frac{b^{2}-b^{2}}{b}\] \[B=0\]

    3.) Pro hodnotu b = 0, dostáváme

    \[B=\frac{I}{2\pi a^{2}}\,\frac{r^{2}}{r}\]

    \[B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\,r\]

    Jedná se o vzorec pro magnetickou indukci uvnitř dlouhého přímého vodiče.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na dokazování, ověřování
Zaslat komentář k úloze