Přímý dlouhý vodič v blízkosti kruhového závitu

Úloha číslo: 767

Přímým velmi dlouhým vodičem protéká proud I1 = 3,14 A. Kruhovým závitem protéká proud I2 = 3 A. Závit je umístěn tak, že jeho rovina je rovnoběžná s vodičem, a normála, vedená k rovině závitu jeho středem, vodič protíná. Vzdálenost středu závitu od vodiče je d = 20 cm, poloměr závitu R = 30 cm. Vypočtěte magnetickou indukci ve středu závitu.

Nákres situace
  • Nápověda 1

    Zamyslete se nad rozmístěním vodičů. Řešení rozdělte na dvě části.

  • Nápověda 2

    Jak určíte směr magnetické indukce obou vodičů?

  • Řešení

    Magnetická indukce \(\vec B\) ve středu závitu je dána vektorovým součtem indukcí vyvolaných nekonečně dlouhým vodičem \(\vec B_1\)a závitem \(\vec B_2\).

    \[\vec B= \vec B_1+\vec B_2\]

    Směry vektorů určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky. Magnetická indukce přímého vodiče \(\vec {B_1}\) směřuje dozadu, směrem od nás, magnetická induce kruhového závitu \(\vec {B_2}\) nahoru k přímému vodiči. Vektory magnetických indukcí jsou na sebe kolmé. Výslednice \(\vec B\) směřuje šikmo nahoru směrem od nás, jak vidíme na obrázku.

    Směry vektorů magnetických indukcí

    Pro výpočet velikostí obou příspěvků použijeme vztahy odvozené v předchozích úlohách. V úloze Magnetické pole dlouhého přímého vodiče s proudem je odvozen vztah pro velikost magnetické indukce přímého vodiče B1 a v úloze Magnetická indukce na ose kruhového závitu nalezneme vztah pro velikost magnetické indukce kruhového závitu B2. Odtud víme, že \[ B_1 =\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \qquad \qquad B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2R}. \]

    Využijeme skutečnosti, že směry indukcí od přímého vodiče a od závitu jsou na  sebe kolmé, jak je vidět z obrázku výše. Pro velikost celkové magnetické indukce B pak můžeme pomocí Pythagorovy věty psát

    \[ B = \sqrt{B_1 ^{2} + B_2 ^{2}} = \frac{\mu_0}{2} \sqrt{\frac{I_1^2}{\pi^{2} d^{2}}+\frac{I_2^2}{R^{2}}}. \]
  • Zápis a číselné dosazení

    I1 = 3,14 A proud procházející přímým vodičem
    d = 20 cm = 0,2 m vzdálenost přímého vodiče od středu S
    R = 30 cm = 0,3 m poloměr závitu
    I2 = 3 A proud procházející závitem
    B = ? (T) velikost magnetické indukce
    Z tabulek:
    μ0 = 4π·10-7 Hm-1 permeabilita vakua

    \[ B = \frac{\mu_0}{2}\sqrt{\frac{I_1^2}{\pi^{2} d^{2}}+\frac{I_2^2}{R^{2}}} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{2} \cdot \sqrt{\frac{3{,}14^2}{\pi^{2}\cdot 0{,}2^{2}}+\frac{3^2}{0{,}3^{2}}}\,\mathrm T\,\dot{=}\, 7 \mu \mathrm T \]
  • Odpověď

    Velikost celkové magnetické indukce ve středu závitu je přibližně 7 μT.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze