Rezonance v sériovém RLC obvodu 2
Úloha číslo: 518
Cívka s odporem vinutí 1,5 kΩ a vlastní indukčností 5,5 H je zapojena do série s kondenzátorem. Obvod je napájen ze zdroje střídavého napětí o amplitudě napětí 10 V při frekvenci 50 Hz. Určete:
a) kapacitu kondenzátoru, aby obvod byl v rezonanci,
b) amplitudu proudu, který teče obvodem při rezonanci,
c) amplitudu napětí na kondenzátoru při rezonanci.
Nápověda
Rezonance je stav, kdy obvodem protéká při daném napětí největší proud. To znamená, že frekvence zdroje má takovou hodnotu, aby se kapacitance rovnala induktanci. Nastane-li tento případ, nazýváme frekvenci zdroje rezonanční frekvencí a lze ji vypočítat pomocí Thomsonova vztahu. Širší nápovědu naleznete v úloze Rezonance v sériovém RLC obvodu.
Zopakujte si nebo si vyhledejte Ohmův zákon pro obvod se střídavým proudem.
Kreslení fázorových diagramů je vysvětleno v úloze Sériový RLC obvod.
Rozbor
Hodnotu kapacity kondenzátoru tak, aby nastala rezonance při dané frekvenci, určíme pomocí Thomsonova vztahu. Amplitudu proudu i napětí na kondenzátoru v obvodu s rezonancí získáme pomocí Ohmova zákona, ve kterém zohledníme, že ve stavu rezonance se induktance rovná kapacitanci.
Řešení
a) V daném obvodu nastane rezonance, pokud se budou rovnat kapacitance XC kondenzátoru a induktance XL cívky:
\[ X_\mathrm{L} = X_\mathrm{C}, \] \[ \omega L = \frac{1}{\omega C},\]kde ω je úhlová frekvence napětí v obvodu, C kapacita kondenzátoru a L indukčnost cívky v obvodu. Odtud můžeme vyjádřit vztah pro úhlovou frekvenci ω:
\[ \omega^2 = \frac{1}{L C}\] \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{L C}}.\]Tím jsme odvodili tzv. Thomsonův vztah, pomocí kterého vyjádříme rezonanční frekvenci f:
\[ 2 \pi f= \frac{1}{\sqrt{L C}} \] \[ f= \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}}. \]Z tohoto vztahu vyjádříme hledanou kapacitu kondenzátoru C:
\[ \sqrt {LC}= \frac{1}{2\pi f} \] \[ LC= \frac{1}{(2\pi f)^2} \] \[ C= \frac{1}{(2\pi f)^2 L\mathrm{}}. \]
b) Amplitudu proudu I, která teče obvodem při rezonanci, získáme pomocí Ohmova zákona. Celková impedance Z obvodu se v případě rezonance rovná odporu (rezistanci) vinutí R:
\[I=\frac{U}{Z}= \frac{U}{R}, \]kde U je amplituda napětí zdroje.
c) Amplitudu napětí na kondenzátoru UC získáme také pomocí Ohmova zákona:
\[ U_\mathrm{C} = I X_\mathrm{C} = \frac{I}{2 \pi f C}, \]kde f je rezonanční frekvence a C je kapacita kondenzátoru v obvodu při rezonanci.
Zápis, výpočet, číselné dosazení
U = 10 V amplituda napětí zdroje f = 50 Hz frekvence napětí zdroje L = 5,5 H indukčnost cívky R = 1,5 kΩ odpor vinutí cívky C = ? (F) kapacita kondenzátoru při rezonanci I = ? (A) amplituda proudu v obvodu při rezonanci UC = ? (V) amplituda napětí na kondenzátoru při rezonanci
a)
\[C= \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{(2\cdot \pi\cdot 50)^2 {\cdot} 5{,}5}\,\mathrm F\, \dot=\, 1{,}8 {\cdot} 10^{-6} \,\mathrm F = 1{,}8\, \mathrm\mu F\]b)
\[I=\frac{U}{R} = \frac{10}{1500}\,\mathrm A \,\dot=\, 6{,}7{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm A = 6{,}7\,\mathrm mA \]c)
\[U_\mathrm{C} = \frac{I}{2 \pi f C}= \frac{6{,}7{\cdot} 10^{-3}}{2\cdot \pi\cdot 50 {\cdot} 1{,}8 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm V\, \dot=\, 12\,\mathrm V\]Odpověď
Aby v obvodu nastala rezonance, musí být kapacita kondenzátoru přibližně 1,8 μF. Amplituda proudu v takovém obvodu potom bude asi 6,7 mA a amplituda napětí na kondenzátoru asi 12 V.
