Rezonance v sériovém RLC obvodu 2

Úloha číslo: 518

Cívka s odporem vinutí 1,5 kΩ a vlastní indukčností 5,5 H je zapojena do série s kondenzátorem. Obvod je napájen ze zdroje střídavého napětí o amplitudě napětí 10 V při frekvenci 50 Hz. Určete:

a) kapacitu kondenzátoru, aby obvod byl v rezonanci,

b) amplitudu proudu, který teče obvodem při rezonanci,

c) amplitudu napětí na kondenzátoru při rezonanci.

  • Nápověda

    Rezonance je stav, kdy obvodem protéká při daném napětí největší proud. To znamená, že frekvence zdroje má takovou hodnotu, aby se kapacitance rovnala induktanci. Nastane-li tento případ, nazýváme frekvenci zdroje rezonanční frekvencí a lze ji vypočítat pomocí Thomsonova vztahu. Širší nápovědu naleznete v úloze Rezonance v sériovém RLC obvodu.

    Zopakujte si nebo si vyhledejte Ohmův zákon pro obvod se střídavým proudem.

    Kreslení fázorových diagramů je vysvětleno v úloze Sériový RLC obvod.

  • Rozbor

    Hodnotu kapacity kondenzátoru tak, aby nastala rezonance při dané frekvenci, určíme pomocí Thomsonova vztahu. Amplitudu proudu i napětí na kondenzátoru v obvodu s rezonancí získáme pomocí Ohmova zákona, ve kterém zohledníme, že ve stavu rezonance se induktance rovná kapacitanci.

  • Řešení

    a) V daném obvodu nastane rezonance, pokud se budou rovnat kapacitance XC kondenzátoru a induktance XL cívky

    \[ X_L = X_C, \] \[ \omega L = \frac{1}{\omega C},\]

    kde ω je úhlová frekvence napětí v obvodu, C kapacita kondenzátoru a L indukčnost cívky v obvodu. Odtud můžeme vyjádřit vztah pro úhlovou frekvenci ω

    \[ \omega^2 = \frac{1}{L C},\] \[ \omega = \frac{1}{\sqrt{L C}}.\]

    Tím jsme odvodili tzv. Thomsonův vztah, pomocí kterého vyjádříme rezonanční frekvenci f:

    \[ 2 \pi f= \frac{1}{\sqrt{L C}}, \] \[ f= \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}}. \]

    Z tohoto vztahu vyjádříme hledanou kapacitu kondenzátoru C:

    \[ \sqrt {LC}= \frac{1}{2\pi f}, \] \[ LC= \frac{1}{(2\pi f)^2}, \] \[ C= \frac{1}{(2\pi f)^2 L}. \]

    b) Amplitudu proudu I, která teče obvodem při rezonanci, získáme pomocí Ohmova zákona. Celková impedance Z obvodu se v případě rezonance rovná odporu (rezistanci) vinutí R:

    \[I=\frac{U}{Z}= \frac{U}{R}, \]

    kde U je amplituda napětí zdroje.


    c) Amplitudu napětí na kondenzátoru UC získáme také pomocí Ohmova zákona:

    \[ U_C = I X_C = \frac{I}{2 \pi f C}, \]

    kde f je rezonanční frekvence a C je kapacita kondenzátoru v obvodu při rezonanci.

  • Zápis, výpočet, číselné dosazení

    U = 10 V  amplituda napětí zdroje
    f = 50 Hz frekvence napětí zdroje
    L = 5,5 H indukčnost cívky
    R = 1,5 kΩ odpor vinutí cívky
    C = ? (F) kapacita kondenzátoru při rezonanci
    I = ? (A) amplituda proudu v obvodu při rezonanci
    UC = ? (V) amplituda napětí na kondenzátoru při rezonanci

    a)

    \[C= \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{(2\cdot \pi\cdot 50)^2 {\cdot} 5{,}5}\,\mathrm F\, \dot=\, 1{,}8 {\cdot} 10^{-6} \,\mathrm F = 1{,}8\, \mathrm\mu F\]

    b)

    \[I=\frac{U}{R} = \frac{10}{1500}\,\mathrm A \,\dot=\, 6{,}7{\cdot} 10^{-3}\,\mathrm A = 6{,}7\,\mathrm mA \]

    c)

    \[U_C = \frac{I}{2 \pi f C}= \frac{6{,}7{\cdot} 10^{-3}}{2\cdot \pi\cdot 50 {\cdot} 1{,}8 {\cdot} 10^{-6}}\,\mathrm V\, \dot=\, 12\,\mathrm V\]
  • Odpověď

    Aby v obvodu nastala rezonance, musí být kapacita kondenzátoru přibližně 1,8 μF. Amplituda proudu v takovém obvodu potom bude asi 6,7 mA a amplituda napětí na kondenzátoru asi 12 V.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze