Sériový RLC obvod

Úloha číslo: 73

Obvod střídavého proudu je tvořen sériovým spojením:

rezistoru o odporu  50 Ω,
cívky o indukčnosti 0,3 H
a kondenzátoru o kapacitě 15 μF.
Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí o amplitudě 25 V a frekvenci 50 Hz. Určete amplitudu proudu v obvodu a fázový rozdíl mezi napětím a proudem.

 

schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání si vypíšeme veličiny, které známe :

    Odpor rezistoru R = 50 Ω
    Indukčnost cívky L = 0,3 H
    Kapacita kondenzátoru C = 15 μF =15·10-6 F
    Amplituda střídavého napětí na zdroji    Um = 25 V
    Frekvence zdroje f = 50 Hz

    Zapojení rezistoru, cívky a kondenzátoru je sériové.

    Veličiny, které chceme získat:

    Amplituda proudu v obvodu Im = ? (A)
    Fázový rozdíl mezi napětím a proudem v obvodu    φ = ? (°)

  • Rozbor úlohy

    Postup řešení této úlohy:

    1. Vyjádříme si velikost amplitudy proudu. Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud, který vyjadřuje vztah mezi celkovou impedancí Z, amplitudou napětí na zdroji Um a amplitudou proudu Im . Pro tento výpočet známe všechny veličiny ze zadání.
    2. Protože jsou jednotlivé součástky zapojeny sériově, protéká všemi stejný proud, ale napětí na nich je fázově posunuto s proudem. Pro získání fázového rozdílu (posunu) mezi napětím a proudem využijeme fázorový diagram.

  • Postup kreslení fázorového diagramu

    Fázorem nazýváme „šipku“, pomocí které zakreslujeme napětí a proudy jednotlivými prvky zařazenými v obvodu do fázorového diagramu. Její velikost vyjadřuje amplitudu napětí nebo proudu a její směr vyjadřuje fázové posunutí.

    Postup při kreslení fázorového diagramu pro sériový obvod:

    Do fázorového diagramu znázorníme napětí a proud na jednotlivých prvcích střídavého obvodu.
    1. Všemi součástkami v sériovém obvodu protéká stejný okamžitý proud, fázor proudu Im tedy bude společný a kreslí se obvykle v kladném směru osy x.
    2. Fázor napětí na rezistoru UR je rovnoběžný s fázorem proudu, protože fázový rozdíl mezi napětím a proudem je nulový - v případě rezistoru jsou napětí a proud ve fázi. Na obrázku je tento fázor zakreslen zeleně.
    3. Napětí na cívce UL „předbíhá“ proud o π/2 (čtvrt periody), a proto jeho fázor nakreslíme „nahoru“ - tedy v pomyslném kladném směru osy y. Uvažujeme totiž, že se fázory otáčejí proti směru hodinových ručiček. Na obrázku je tento fázor znázorněn žlutou barvou.
    4. Napětí na kondenzátoru UC se „zpožďuje“ za proudem o π/2, a proto jeho fázor nakreslíme „dolů“ - tedy v pomyslném záporném směru osy y. Tento fázor je zakreslen růžovou barvou.
    5. Amplitudu celkového napětí získáme „vektorovým součtem“ fázorů napětí na jednotlivých prvcích. Nejprve od sebe odečteme napětí na cívce UL a kondenzátoru UC (na obrázku naznačeno fialovou barvou). Pak tento rozdíl vektorově sečteme s napětím na rezistoru UR. Fázor amplitudy napětí celého obvodu je znázorněn světle modrou barvou.
    6. Fázovým rozdílem mezi napětím a proudem nazveme úhel φ , který svírají fázor proudu a fázor celkového napětí. Na obrázku je úhel φ znázorněn tmavě modrou barvou.

    Pro RLC obvod se zadanými velikostmi veličin vypadá fázorový diagram takto:

    fázorový diagram

    Nákresy fázorových diagramů v následujících oddílech již nejsou takto barevně zvýrazněné.

  • Odvození vzorce pro celkovou impedanci Z z fázorového diagramu

    Chceme-li získat z fázorového diagramu celkovou impedanci Z, zakreslíme do fázorového diagramu místo jednotlivých napětí induktanci XL, kapacitanci XC a rezistanci R.

    Z Ohmova zákona platí:

    \[ U_C=I_m X_C\mathrm{,}\hspace{20px}U_L=I_m X_L\mathrm{,}\hspace{20px} U_R=I_m R\mathrm{.} \]

    Protože v sériovém obvodu protéká všemi součástkami stejný proud, vidíme, že impedance jednotlivých prvků jsou úměrné napětí, proto pro ně můžeme nakreslit obdobný obrázek jako pro fázory napětí.

    fázorový diagram

    Pro výpočet impedance Z použijeme pravoúhlý trojúhelník, který vznikne při kreslení fázorového diagramu. Impedanci Z vyjádříme pomocí Pythagorovi věty

    \[ Z^2=R^2+(X_C-X_L)^2, \]

    nebo

    \[ Z^2=R^2+(X_L-X_C)^2 .\]

    Rozdíl mezi těmito vztahy je v tom, zda proud předbíhá napětí či se za napětím naopak zpožďuje. Velikost impedance Z tím ale není ovlivněna.

    Po dosazení vztahů pro induktanci a kapacitanci dostaneme

    \[ Z= \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}= \sqrt{R^2+\left({ \omega L- \frac{1}{\omega C}}\right)^2}. \]
  • Vyjádření velikosti amplitudy proudu

    Vzorec pro vyjádření impedance Z z Ohmova zákona zní \( Z=\frac{U_m}{I_m}=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2} \)

    Máme zjistit amplitudu proudu Im. Z předešlého vzorce ji můžeme snadno vyjádřit

    \[ I_m=\frac{U_m} {\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}. \]
  • Vyjádření fázového rozdílu z fázorového diagramu

    fázorový diagram
    fázorový diagram

    Fázový posun vyjádříme z fázorového diagramu obvykle ve tvaru:

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi = \frac{U_L-U_C}{U_R} =\frac{I_m\omega L- \frac{I_m}{\omega C}}{I_mR}=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}= \frac{X_L-X_C}{R}\mathrm{.} \]

    Při kreslení fázorového diagramu a vyjadřování fázového posunu lze vzorec

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi = \frac{U_L-U_C}{U_R}= \frac{X_L-X_C}{R} \]

    zaměnit za

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi = \frac{U_C-U_L}{U_R}= \frac{X_C-X_L}{R}\mathrm{.} \]

    Pozor si musíme dát v interpretaci výsledku. V prvním případě čitatel zlomku říká, že uvažujeme případ, kdy napětí předbíhá proud (stejně jako na cívce). V druhém případě naopak napětí zaostává za proudem. Vhodný vztah použijeme buď podle nakresleného fázorového diagramu, kde vidíme fázový rozdíl mezi napětím a proudem, nebo si jeden z nich zvolíme a výsledek interpretujeme pomocí znaménka u výsledné hodnoty. Vybereme-li si například druhý vzorec pro vyjádření fázového posunu a výsledná hodnota nám vyjde se znaménkem plus, pak napětí opravdu zaostává za proudem. Pokud ovšem bude výsledná hodnota fázového posunu záporná, pak napětí předbíhá proud.

  • Číselné dosazení

    Amplituda proudu:

    \[ I_m= \frac{U_m}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}= \frac{25}{\sqrt {50^2+\left({2\pi \cdot 50 {\cdot} 0{,}3 - \frac{1}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 15 \cdot 10^{-6}}}\right)^2}}\,\mathrm{A} \,\dot{=}\, 0{,}2\,\mathrm{A}. \]

     

    Fázový posun můžeme vyjádřit pomocí impedancí

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi = \frac{ \omega L- \frac{1}{ \omega C}}{R} = \frac{ 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 0{,}3- \frac{1}{ 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 15 \cdot 10^{-6} }}{50} \,\dot{=}\,-2{,}4. \]

    Nebo ho můžeme vyjádřit pomocí napětí na jednotlivých prvcích zařazených v obvodu.

    Napětí na jednotlivých prvcích zařazených v obvodu jsou:

    \[ U_R=I_mR\,\dot{=}\,0{,}2 {\cdot} 50\,\mathrm{V}=10\,\mathrm{V}\] \[U_L=I_m \omega L\,\dot{=}\, 0{,}2 {\cdot} 2 \pi \cdot 50 {\cdot} 0{,}3\,\mathrm{V}\dot= 18{,}85\,\mathrm{V}\] \[U_C=\frac{I_m}{\omega C}\,\dot{=}\,\frac{0{,}2}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 15 \cdot 10^{-6}}\,\mathrm{V}\dot= 42{,}44\,\mathrm{V}. \]

    Z fázového diagramu určíme velikost fázového rozdílu mezi napětím a proudem v obvodu:

    \[ \mathrm{tg\,} \varphi=\frac{U_L-U_C}{U_R}\dot= \frac{18{,}85-42{,}44}{10}\dot= -2{,}4. \]

    Oba způsoby nám daly stejný výsledek

    \[ \varphi\, \dot{=} \, -67 ^\circ .\]

    Záporná hodnota říká, že se napětí zpožďuje za proudem.

  • Odpověď

    Amplituda proudu v obvodu, ve kterém máme zapojen rezistor, cívku a kondenzátor sériově, má přibližně hodnotu 0,2 A.

    Mezi napětím a proudem je fázový rozdíl asi φ = -67°.

    Ze znaménka u hodnoty fázového rozdílu můžeme říci, že napětí se za proudem zpožďuje asi o 67° (protože se napětí za proudem zpožďuje, chová se zapojení jako kondenzátor).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze