Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Válec s dutinou

Úloha číslo: 2309

Dlouhá měděná tyč s poloměrem R má mimo svoji osu válcovou dutinu podél celé svojí délky tak, jak je znázorněno na obrázku. Vodičem protéká proud I, který směřuje ven z obrázku, a je rovnoměrně rozložený v celém řezu vodiče.

Nalezněte velikost a směr magnetického pole uprostřed tyče, tj. v bodě P.

Zadání
  • Nápověda – princip superpozice

    Napadá vás nějaký elegantní způsob, jak se „vypořádat“ s dutinou ve vodiči, když není umístěna symetricky?

  • Nápověda − magnetické pole tlustého vodiče

    V této úloze využijeme poznatků z úlohy Tlustý přímý vodič o poloměru R.

    Jaké konkrétní vztahy by se mohly v této úloze použít?

  • Řešení

    Pro určení magnetického pole v bodě P využijeme princip superpozice, neboli využijeme toho, že válcový vodič s dutinou je to samé jako plný vodič a tenčí vodič (na místě dutiny), kterým teče proud opačným směrem.

    Superpozice

    Pro magnetické pole v bodě P od válcového vodiče s dutinou platí

    \[\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2,\tag{1}\]

    kde \(\vec{B}_1\) je magnetické pole v bodě P od válcového vodiče 1 a \(\vec{B}_2\) je magnetické pole v bodě P od válcového vodiče 2. Připomeňme, že proud v prvním vodiči teče z obrázku ven a proud v druhém vodiči teče do obrázku.

    Abychom mohli vyjádřit \(B_1\) a \(B_2\), potřebujeme vyjádřit plošnou proudovou hustotu j.

    Řešení

    Válcovým vodičem prochází rovnoměrně rozložený celkový proud I. Zřejmě platí

    \[I=S j,\]

    kde \(S\) je obsah průřezu válcového vodiče. Postupnými úpravami získáme

    \[j=\frac{I}{S}=\frac{I}{\pi R^2-\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\frac{I}{\pi\frac{3R^2}{4}}=\frac{4I}{3\pi R^2}.\]

    Spojením posledního vztahu a vzorce z řešení nápovědy (magnetické pole tlustého vodiče) získáme vztah popisující velikost magnetického pole uvnitř tlustého přímého vodiče s proudem I v bodě vzdáleném r < R od středu tohoto vodiče.

    \[B=\frac{\mu_0}{2}\frac{r^3}{R^2}\frac{4I}{3\pi R^2}=\frac{2\mu_0}{3\pi}\frac{I r^3}{R^4}.\tag{2}\]

    Využijme vztahu (2) a vyjádřeme \(B_1\) a \(B_2\).

    Jelikož je bod \(P\) ve středu (\(r=0\)) růžového vodiče, vyjádříme velikost \(B_1\) jako

    \[B_1=\frac{2\mu_0}{3\pi}\frac{I r^3}{R^4}=0 \space \mathrm{T}.\]

    Uvědomme si, že jsme k tomuto výsledku mohli dojít i úvahou. Jelikož počítáme magnetické pole ve středu tlustého vodiče, kolem kterého proud je rozložen symetricky, jednotlivé příspěvky se vzájemně vyruší a magnetická indukce vyjde nulová (výpočet i viz nápověda).

    Bod \(P\) je na kraji (\(r=\frac{R}{2}\)) žlutého vodiče, tudíž vyjádříme velikost \(B_2\) jako

    \[B_2=\frac{2\mu_0}{3\pi}\frac{I \left(\frac{R}{2}\right)^3}{R^4}=\frac{\mu_0}{12\pi}\frac{I }{R}.\]

    Příspěvek \(\vec{B}_2\) je magnetické pole v bodě \(P\) na okraji žlutého vodiče. Proud teče do obrázku. Směr magnetického pole určíme pomocí Ampérova pravidla pravé ruky.

    Směr

    Vrátíme-li se ke vztahu (1) a dosadíme-li vypočtené magnetické indukce

    \[\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2=\vec{B}_2.\]

    Neboli výsledné magnetické pole v bodě \(P\) odpovídá magnetickému poli \(\vec{B}_2.\) Tudíž velikost magnetického pole v bodě \(P\) je

    \[B=\frac{\mu_0}{12\pi}\frac{I }{R}\]

    a směr ukazuje následující obrázek.

    Směr B

    Pozn.: Uvědomme si, že tímto způsobem (použitím principu superpozice) můžeme určit magnetickou indukci v libovolném bodě uvnitř či vně „děravého“ vodiče.

  • Odpověď

    Magnetické pole v bodě P má velikost

    \[B=\frac{\mu_0 I}{12\pi R},\]

    směr ukazuje následující obrázek.

    Výsledný směr B
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze