Sbírka řešených úloh

Řešení obvodu metodou smyčkových proudů

Úloha číslo: 1913

Řeste obvod pomocí metody smyčkových proudů. Spočtěte všechny proudy v obvodu, jestliže víte: U = 5 V, R₁ = 10 Ω, R₂ = 10 Ω, R₃ = 30 Ω, R₄ = 40 Ω a R_N = 25 Ω.

 

• Připomenutí Kirchhoffových zákonů

  Metoda smyčkových proudů vychází z Kirchhoffových zákonů, proto si je připomeňme.

  Základní pojmy:

  • Uzel je místo, ve kterém se stýká dva a více vodičů.
  • Větev obvodu je část obvodu mezi dvěma uzly tvořená jedním prvkem nebo několika prvky spojenými za sebou.
  • Smyčka je uzavřené dráha v části obvodu tvořená větvemi.

  První Kirchhoffův zákon

  Je to vlastně zákon zachování elektrického náboje. Stejnosměrný proud je dán elektrickým nábojem, který projde průřezem vodiče za jednu sekundu. Tento náboj se nemůže ve vodiči nikde nahromadit ani vznikat. Všemi průřezy nerozvětveného vodiče prochází týž proud. Dělí-li se proud do několika větví, musí být součet proudů přicházejících do uzlu roven součtu proudů, které z uzlu odcházejí. První Kirchhoffův zákon můžeme vyslovit také následujícím způsobem: Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule.

  Druhý Kirchhoffův zákon

  Napětí na každém spotřebiči elektrického obvodu je dáno prací potřebnou k přemístění jednotkového elektrického náboje mezi svorkami spotřebiče. Projde-li náboj po uzavřené dráze, musí být příslušná práce nulová, neboť náboj se vrátil na místo téhož potenciálu. Touto uzavřenou dráhou může být libovolná smyčka v obvodu.

  Druhý Kirchhoffův zákon můžeme vyslovit následujícím způsobem: Algebraický součet všech napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule. Případně pokud místo napětí zdrojů budeme uvažovat elekromotorická napětí zdrojů, která mají opačná znaménka, tak můžeme druhý Kirchhoffův zákon formulovat také takto: Algebraický součet všech elektromotorických napětí zdrojů v dané uzavřené smyčce obvodu se musí rovnat algebraickému součtu všech úbytků napětí na spotřebičích.

• Rozbor

  Metoda vychází z druhého Kirchhoffova zákona a její použití vylučuje sestavit rovnice, které by byly na sobě závislé. Metoda spočívá v tom, že zavádíme do každé smyčky tzv. smyčkový proud. Smyčkové proudy v každé smyčce označíme a jejich směr zvolíme libovolně. Tyto smyčkové proudy jsou pro nás neznámé veličiny a musíme sestavit tolik rovnic, kolik je v daném zapojení smyček. Pro každou smyčku sestavíme rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona, kde za proud každým prvkem dosazujeme algebraický součet smyčkových proudů všech smyček, do kterých daný prvek patří. Tak získáme dostatečný počet rovnic, který je vždy menší, než jsou-li za neznámé veličiny považovány proudy v jednotlivých větvích obvodu (smyček je vždy méně než větví).

  Po vyřešení rovnic, tj. určení smyčkových proudů, získáme proudy jednotlivými prvky obvodu vždy jako součty smyčkových proudů všech smyček, do kterých daný prvek patří.

  Poznámka: Doporučuje se volit smysl smyčkových proudů souhlasný, např. ve směru hodinových ručiček. Výhodné je rovněž postupovat při sestavování rovnic ve smyčkách ve stejném smyslu. Pak jsou úbytky napětí v příslušné smyčce kladné a úbytky na sousedních smyčkách záporné.

• Nápověda – Postup řešení

  Naším úkolem je určit proudy: I, I₁, I₂, I₃, I₄ a I_N, místo nich si ale v obvodu zvolíme tři smyčky a budeme hledat proudy těchto smyček.

  

  1. U zdroje napětí si vyznačíme šipkou směr napětí.

  2. Zvolíme uzavřené smyčky (zde tři) a jejich směr a proudy smyčkou libovolně nazveme I_a, I_b, I_c.

  3. Pro každou smyčku sestavíme obvodovou rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona. Tím dostaneme soustavu tří rovnic.

  4. Řešením soustavy rovnic vypočteme smyčkové proudy I_a, I_b, I_c.

  5. Skutečné proudy jednotlivými rezistory stanovíme jako součet smyčkových proudů. Napětí na jednotlivých prvcích pak vypočteme pomocí Ohmova zákona ze známého odporu a proudu. Vyjde-li nějaký skutečný proud se záporným znaménkem, je jeho smysl opačný, než jsme předpokládali.

• 1. část řešení – sestavení a vyřešení rovnic

  Naším úkolem je určit proudy: \(I\), \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\) a \(I_\mathrm{N}\), místo nich ale budeme nejprve hledat smyčkové proudy \(I_\mathrm{a}\), \(I_\mathrm{b}\) a \(I_\mathrm{c}\).

  

  Sestavíme rovnici pro každou smyčku na obrázku podle druhého Kirchhoffova zákona.

  Pro smyčku I_a: \[R_1(I_\mathrm{a}-I_\mathrm{c}) + R_2I_\mathrm{a} + R_N(I_\mathrm{a}-I_\mathrm{b}) \,=\,0,\tag{smyčka Ia}\] \[I_\mathrm{a}(R_1 + R_2 + R_\mathrm{N})-R_1I_\mathrm{c} - R_\mathrm{N}I_\mathrm{b}\,=\,0.\]

  Pro smyčku I_b:

  \[R_3(I_\mathrm{b}-I_\mathrm{c}) + R_4I_\mathrm{b} + R_\mathrm{N}(I_\mathrm{b}-I_\mathrm{a}) \,=\,0,\tag{smyčka Ib}\] \[I_\mathrm{b}(R_3 + R_4 + R_\mathrm{N})-R_3I_\mathrm{c} - R_\mathrm{N}I_\mathrm{a}\,=\,0.\]

  Pro smyčku I_c:

  \[R_1(I_\mathrm{c}-I_\mathrm{a}) + R_3(I_\mathrm{c}-I_\mathrm{b}) - U \,=\,0,\tag{smyčka Ic}\] \[I_\mathrm{c}(R_1 + R_3)-R_1I_\mathrm{a} - R_3I_\mathrm{b}\,=\,U.\]

  Nyní máme tři rovnice o třech neznámých. Dosadíme do nich zadané hodnoty v základních jednotkách:

  \[ 45I_\mathrm{a} - 25I_\mathrm{b} - 10I_\mathrm{c}\,=\,0\,,\] \[-25I_\mathrm{a} + 95I_\mathrm{b} - 30I_\mathrm{c}\,=\,0\,, \] \[-10I_\mathrm{a} - 30I_\mathrm{b} + 40I_\mathrm{c}\,=\,5\, \]

  a budeme soustavu řešit. Všechny rovnice vydělíme pěti:

  \[ 9I_\mathrm{a} - 5I_\mathrm{b} - 2I_\mathrm{c}\,=\,0\,,\] \[-5I_\mathrm{a} + 19I_\mathrm{b} - 6I_\mathrm{c}\,=\,0\,, \] \[-2I_\mathrm{a} - 6I_\mathrm{b} + 8I_\mathrm{c}\,=\,1\,. \]

  Soustavu vyřešíme například dosazovací metodou. Z první rovnice si vyjádříme 2I_c a dosadíme je do zbylých rovnic. Tím dostaneme dvě rovnice se dvěma neznámými:

  \[-32I_\mathrm{a} + 34I_\mathrm{b} \,=\,0\,,\] \[ 34I_\mathrm{a} - 26I_\mathrm{b} \,=\,1\,. \]

  Obě rovnice vydělíme dvěma:

  \[-16I_\mathrm{a} + 17I_\mathrm{b} \,=\,0\,,\] \[ 17I_\mathrm{a} - 13I_\mathrm{b} \,=\,\frac{1}{2}\,. \]

  Soustavu vyřešíme, například sčítací metodou. První rovnici vynásobíme třinácti, druhou sedmnácti a sečteme je:

  \[-208I_\mathrm{a} + 221I_\mathrm{b} \,=\,0\,,\] \[ 289I_\mathrm{a} - 221I_\mathrm{b} \,=\,\frac{17}{2}\,. \]

  Tím jsme se zbavili neznámé I_b a vypočítáme I_a:

  \[81I_\mathrm{a}\,=\,\frac{17}{2}\,,\] \[I_\mathrm{a}\,=\,\frac{17}{162}\,\mathrm{A}.\]

  Dále spočítáme smyčkové proudy I_b a I_c:

  \[I_\mathrm{b}\,=\, \frac{8}{81}\,\mathrm{A},\qquad \ I_\mathrm{c}\,=\, \frac{73}{324}\,\mathrm{A}. \]

• 2. část řešení – určení reálných proudů

  

  Nyní dle schématu určíme reálné proudy z proudů smyčkových:

  \[I_2\,=\,I_\mathrm{a} \Rightarrow\, I_2\,=\,\frac{17}{162}\,\mathrm{A}, \] \[I_4\,=\,I_\mathrm{b} \Rightarrow\, I_4\,=\,\frac{8}{81}\,\mathrm{A}, \] \[I\,=\,I_\mathrm{c} \Rightarrow\, I\,=\,\frac{73}{324}\,\mathrm{A}, \] \[I_1\,=\,I_\mathrm{c}-I_\mathrm{a} \Rightarrow\, I_1\,=\,\frac{13}{108}\,\mathrm{A}, \] \[I_3\,=\,I_\mathrm{c} - I_\mathrm{b} \Rightarrow\, I_3\,=\,\frac{41}{324}\,\mathrm{A}, \] \[I_\mathrm{N}\,=\,I_\mathrm{a} - I_\mathrm{b} \Rightarrow\, I_\mathrm{N}\,=\,\frac{1}{162}\,\mathrm{A}. \]

• Odpověď

  Spočítali jsme smyčkové proudy \(I_\mathrm{a}\), \(I_\mathrm{b}\) a \(I_\mathrm{c}\):

  \[I_\mathrm{a}\,=\, \frac{17}{162}\,\mathrm{A},\qquad \ I_\mathrm{b}\,=\, \frac{8}{81}\,\mathrm{A} ,\qquad \ I_\mathrm{c}\,=\, \frac{73}{324}\,\mathrm{A}. \]

  Ze smyčkových proudů jsme určili proudy reálné \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_\mathrm{N} \) a \(I\):

  \[I_1\,=\, \frac{13}{108}\,\mathrm{A},\qquad \ I_2\,=\, -\frac{17}{162}\,\mathrm{A},\qquad\ I_3\,=\, \frac{41}{324}\,\mathrm{A}, \qquad\ I_4\,=\, \frac{8}{81}\,\mathrm{A}, \qquad\ I_\mathrm{N}\,=\, \frac{1}{162}\,\mathrm{A}, \qquad\ I\,=\, \frac{73}{324}\,\mathrm{A}. \]