Urychlený elektron
Úloha číslo: 2129
Elektron byl urychlen napětím 500 V. Jaké rychlosti dosáhl? Jaká byla vzdálenost, kterou při urychlování urazil, jestliže se pohyboval po dobu 2 µs.
Pozn. Budeme předpokládat, že počáteční rychlost elektronu je nulová.
Rozbor
Úlohu lze řešit dvojím způsobem:
a) pomocí úvah o energiích,
b) zkoumáním silového působení.
a) Nápověda k energetickým úvahám
Elektron je urychlován. Musí tedy na něj působit síly, které konají práci. Jakou práci vykonají? Jak tato práce souvisí se zadaným napětím?
a) Řešení pomocí energetických úvah
Práci při přemístění náboje q z místa A do místa B lze vyjádřit vztahem
\[W_\mathrm{AB}=qU_\mathrm{AB},\tag{1}\]kde U je napětí mezi body A a B (viz Nápověda k energetickým úvahám ).
Práce, kterou vykoná elektrostatické pole, se přemění na kinetickou energii elektronu
\[W = \Delta E_\mathrm{k}.\]Do rovnice dosadíme (1) a definici kinetické energie
\[qU_\mathrm{AB} = \frac {1}{2}m_\mathrm{e} (v_\mathrm{k}^2 - v_\mathrm{p}^2),\]kde \(v_\mathrm{k}\) je koncová rychlost elektronu a \(v_\mathrm{p}\) je počáteční rychlost elektronu. Jelikož v zadání předpokládáme nulovou počáteční rychlost, můžeme napsat
\[qU_\mathrm{AB} = \frac {1}{2}m_\mathrm{e}v_\mathrm{k}^2,\]z rovnice vyjádříme \(v_\mathrm{k}:\)
\[ v_\mathrm{k}=\sqrt{\frac{2qU_\mathrm{AB}}{m_\mathrm{e}}}.\] Pozn.: Práce je v tomto případě rovna změně kinetické energie. Analogické je to v tíhovém poli země. Když těleso padá z nějaké výšky h, tíhové pole koná práci. Vykonaná práce se přemění na kinetickou energii, neboli potenciální energie se přemění na kinetickou energii.Za předpokladu, že elektrostatické pole je homogenní, můžeme dopočítat také vzdálenost, již elektron urazil. Bez tohoto předpokladu bychom nebyli schopni uraženou vzdálenost dopočítat.
Pozn.: Přesněji řečeno, v případě, že neznáme průběh elektrického pole, nemůžeme vzdálenost dopočítat. Pokud bychom průběh znali, i když by nebyl homogenní, byli bychom schopni vzdálenost dopočítat za použítí pokročilejší matematiky.
Další výpočty děláme za předpokladu, že dané elektrické pole je homogenní.
Na elektron v homogenním elektrickém poli působí konstantní síla, proto se pohybuje rovnoměrně zrychleně. Vyjádřeme zrychlení elektronu a:
\[a=\frac{v_\mathrm{k} - v_\mathrm{p}}{t} = \frac {\sqrt{\frac{2qU_\mathrm{AB}}{m_\mathrm{e}}}}{t}=\frac{1}{t}{\sqrt{\frac{2qU_\mathrm{AB}}{m_\mathrm{e}}}}.\tag{2}\]Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu se vypočítá podle vztahu \(s=s_\mathrm{p} + v_\mathrm{p}t+\frac{1}{2}at^2,\) kde \(s_\mathrm{p}\) je počáteční dráha, která je nulová, a \(v_\mathrm{p}\) je počáteční rychlost, která je také nulová. Po dosazení vyjádřeného zrychlení (2) dostaneme
\[s=\frac{1}{2}\frac{1}{t}{\sqrt{\frac{2qU_\mathrm{AB}}{m_\mathrm{e}}}}t^2=t{\sqrt{\frac{qU_\mathrm{AB}}{2m_\mathrm{e}}}}.\tag{3}\]Zápis a číselné dosazení
\(U = 500\,\mathrm{V}\) napětí \(\ t=2\,\mu \mathrm{s}\) doba pohybu \(v_0=0\,\mathrm{m s^{-1}}\) počáteční rychlost \(v=?\,\mathrm{(m s^{-1})}\) konečná rychlost \(e=1{,}602 {\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\) náboj elektronu \(m_\mathrm{e}=9{,}11 {\cdot} 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) hmotnost elektronu \(s=\mathrm{?}\,\mathrm{(m)} \) dráha elektronu
\[v = \sqrt{\frac {2qU} {m_\mathrm{e}}}=\sqrt{\frac {2eU} {m_\mathrm{e}}} = \sqrt{\frac{2 {\cdot} 1{,}6{\cdot} 10^{-19}\cdot 500}{9{,}11{\cdot} 10^{-31}}} \mathrm {m s}^{-1} \doteq 1{,}3 {\cdot} 10^{7}\ \mathrm{m s}^{-1}.\] \[s= t\sqrt{\frac {qU} {2m_\mathrm{e}}} = t\sqrt{\frac {eU} {2m_\mathrm{e}}} = 2 {\cdot} 10^{-6}\cdot \sqrt{\frac{ 1{,}6 {\cdot} 10^{-19} \cdot 500}{2{\cdot}9{,}11 {\cdot} 10^{-31}}} \mathrm{m} \doteq 13{,}3\ \mathrm {m}. \]b) Nápověda ke zkoumání silového působení
Jaké síly na elektron působí a co zapříčiňují? Jak tyto síly souvisejí se zadaným napětím?
Řešení zkoumáním silového působení
V následujícím výpočtu budeme předpokládat, že elektrické pole, jež urychlovalo elektron, je homogenní.
Elektron byl urychlován napětím \(U\). Je-li mezi dvěma body se vzdáleností \(s\) homogenní elektrické pole o intenzitě \(E\), pak mezi těmito body vzniká napětí o velikosti
\[U= {E}{s}.\tag{4}\]Pomocí velikosti intenzity elektrického pole \(E\) můžeme vyjádřit velikost síly \(F\), která na elektron v tomto poli působí
\[F = q E.\]Dosazením (4) dostaneme
\[F = q \frac {U}{s}.\tag{5}\]Druhý Newtonův pohybový zákon nám dává
\[F = m_\mathrm{e} a,\]z čehož si vyjádříme zrychlení a dosadíme (5)
\[a = \frac {F}{m_\mathrm{e}}=\frac {qU}{m_\mathrm{e}s}.\tag{6}\]Jelikož je síla působící na elektron konstantní, víme, že se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb. Pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu s nulovou počáteční rychlostí platí
\[s=\frac{1}{2}at^2,\tag{7}\]kde \(s\) je dráha, po kterou byl elektron urychlován.
\[s=\frac {1}{2}\frac {qU}{m_\mathrm{e}s}t^2,\]vyjádříme \(s\):
\[s=\sqrt{\frac {1}{2}\frac {qU}{m_\mathrm{e}}t^2}=t\sqrt{\frac {qU}{2m_\mathrm{e}}}.\tag{8}\]Srovnáme-li výraz (8) s výrazem, který nám vyšel při řešení přes energie (3), zjistíme, že jsou sobě rovny. Proto i číselné dosazení bude stejné.
Nyní ještě vyjádříme rychlost, které elektron při urychlování dosáhl. Zrychluje-li objekt rovnoměrně z nulové počáteční rychlosti, pak za čas t dosáhne rychlosti
\[v=at,\]kde a je zrychlení, které máme vyjádřené výše, viz (6). Dosazením zrychlení do výrazu dostaneme
\[v=\frac {qU}{m_\mathrm{e}s}t = \frac {qU}{m_\mathrm{e}\frac {\sqrt{2}t}{2}\sqrt{\frac {qU}{m_\mathrm{e}}}}t = \sqrt{\frac{{2qU}}{{m_\mathrm{e}}}}.\]Odpověď
Elektron dosáhl rychlosti \(1{,}3{\cdot} 10^7\ \mathrm{m s^{-1}}\) a urazil při tom dráhu \(13{,}3 \ \mathrm{m}.\)
Analogická úloha s nenulovou počáteční rychlostí
Analogickou úlohou s elektronem nalétávajícím do elektrostatického pole s nenulovou rychlostí je úloha Elektron nalétávající do elektrického pole.
