Pole tlusté nabité desky
Úloha číslo: 447
Nekonečná rovinná deska o tloušťce a je rovnoměrně nabita nábojem s objemovou hustotou. ρ
a) Najděte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od středu desky.
b) Určete také elektrický potenciál ve vzdálenosti z od středu desky.
Uvažujte pole uvnitř i vně desky.
Nápověda: Intenzita elektrického pole
Protože k řešení úlohy se hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jakou Gaussovu plochu zvolíme.
Vhodnou plochou je povrch válce, jehož osa je kolmá k desce a střed desky prochází středem válce. Díky symetrii rozložení náboje je vektor elektrické intenzity kolmý na desku, a tedy bude kolmý nebo rovnoběžný s jednotlivými částmi zvolené plochy (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu? v úloze Pole rovnoměrně nabité koule), což nám zjednoduší výpočet toku intenzity.
Úlohu rozdělíme na dvě části:
- Délka Gaussova válce je větší než tloušťka desky.
- Délka Gaussova válce je menší než tloušťka desky.
Nápověda: Elektrický potenciál
Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj
\[\varphi\,=\, \frac{E_\mathrm{p}}{Q}\]a potenciální energie je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií do daného místa:
\[E_\mathrm{p}(z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{0} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Nulovou potenciální energii volíme ve středu desky. V tomto případě nelze zvolit nulový potenciál v nekonečnu, jak se běžně dělá, protože příslušný integrál by měl ve všech bodech nekonečnou hodnotu. Toto chování je způsobeno nekonečností desky, tj. tím, že nabitý objem „zasahuje“ až do nekonečna. (Viz úloha Pole rovnoměrně nabité roviny oddíl Potenciál.)
Obě strany vydělíme nábojem Q:
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{0} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Jestliže sílu \(\vec{F}\) vydělíme nábojem Q, získáme intenzitu elektrického pole \(\vec{E}\):
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{0} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Nápověda: Potenciál vně desky
Pozor! Počítáme práci, kterou vykoná elektrická síla, když přenáší náboj ze středu desky. Do integrálu dosazujeme intenzitu elektrického pole, ta nemá podél celé integrační cesty stejné vyjádření, ale musíme pro ni použít odlišné vzorce uvnitř a vně desky. Proto bude třeba integrál ve výrazu pro potenciál rozdělit na dvě části.Rozbor
Úlohu rozdělíme na dvě části. Budeme zkoumat zvlášť pole vně a uvnitř desky.
Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.
Vektor elektrické intenzity je ve všech místech kolmý na rovinu desky a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu desky. (V závislosti na znaménku náboje míří vektory buď směrem k desce, anebo směrem od ní.) Příčinou je symetrické rozložení náboje. Vzhledem k symetrii úlohy můžeme také celou úlohu vyřešit pouze pro kladné hodnoty z, pro záporné hodnoty se změní pouze směr vektoru.
Gaussovou plochou zvolíme povrch válce, jehož osa je kolmá na rovinu desky a střed desky prochází jeho středem. V tomto případě je vektor elektrické intenzity kolmý na obě podstavy válce a zároveň rovnoběžný s pláštěm válce. Tím se nám zjednoduší výpočet toku elektrické intenzity.
Celkový tok Gaussovou plochou získáme sečtením toku pláštěm válce a oběma podstavami válce.
Počítáme-li intenzitu uvnitř desky, bude výška válce menší, než je tloušťka desky. Uvnitř válce bude uzavřen náboj, který je dán objemem tohoto válce.
Počítáme-li intenzitu vně desky, bude výška válce větší než je tloušťka desky. Uvnitř plochy je uzavřen náboj, který je dán objemem válce, jenž má podstavu stejnou jako Gaussův válec a jehož výška je rovna tloušťce desky.
Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme ve středu desky. (Podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě.)
Při výpočtu potenciálu vně desky musíme dát pozor, že intenzita elektrického pole nemá stejné vyjádření podél celé integrační cesty, ale je popsána jiným vztahem vně a uvnitř desky. Musíme tedy spočítat nejprve práci, která je třeba k přenesení ze středu desky na její povrch, a poté práci potřebnou k přesunu dále od desky.
Řešení: Intenzita vně desky
V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité desky, tzn. pro z > a/2.
Využijeme Gaussovu větu:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0},\] \[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\]
Protože je náboj uvnitř desky rozložen symetricky, je také elektrické pole v okolí rovinné desky symetrické. Vektor elektrické intenzity je ve všech místech kolmý na desku a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu desky.
Jako Gaussovu plochu volíme povrch válce, jehož osa je k desce kolmá a střed desky prochází jeho středem. Plochu volíme takto proto, že vektor intenzity je kolmý k podstavám válce a rovnoběžný s pláštěm válce, což zjednoduší výpočet skalárního součinu. (Obecný postup Jak volit Gaussovu plochu je popsán v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.)
Celkový tok intenzity válcem získáme sečtením toku pláštěm válce a toku intenzity oběma podstavami. Protože obě podstavy válce mají od nabité roviny stejnou vzdálenost, je velikost intenzity na obou podstavách stejná. Indukční tok oběma podstavami je tedy také stejný, a proto tok podstavou započítáváme do celkového toku intenzity dvakrát. Upravíme tedy levou stranu Gaussovy věty:
\[2\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,+\,\oint_\mathrm{Spl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\tag{*}\]
Tok pláštěm:
Vektor intenzity je rovnoběžný s pláštěm válce a tedy kolmý na normálový vektor, a proto je skalární součin těchto vektorů roven nule, a tedy i tok pláštěm je nulový:
\[\oint_\mathrm{Spl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,0.\]Tok podstavou:
Vektor intenzity je ve všech místech kolmý k podstavě válce, a tedy rovnoběžný s normálovým vektorem, proto můžeme skalární součin zjednodušit:
\[ \vec{E} \cdot \vec{n} \,=\, En\,=\,E\](pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).
S využitím těchto poznatků upravíme integrál na levé straně Gaussovy věty a vyjádříme tok podstavou válce:
\[\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{Sp} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_\mathrm{Sp} E\mathrm{d}S.\]Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah
\[\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_\mathrm{Sp} \mathrm{d}S\,=\,ES_\mathrm{p}\,,\]kde Sp je obsah podstavy Gaussova válce.
Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*). Nesmíme zapomenout, že válec má podstavy dvě, proto musíme tok podstavou započítat dvakrát:
\[2 E S_\mathrm{p}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\]Zbývá vyjádřit náboj Q uvnitř Gaussovy plochy. Uvnitř válce je část desky, která má tvar válce s podstavou Sp a výškou a. Náboj vyjádříme pomocí objemu tohoto válce a objemové hustoty náboje Q = ρV = ρaSp:
\[2 E S_\mathrm{p}\,=\, \frac{\varrho a S_p }{\varepsilon_0}.\]Výraz zkrátíme:
\[2 E \,=\, \frac{\varrho a}{\varepsilon_0}.\]Vyjádříme velikost intenzity elektrického pole nabité desky:
\[E \,=\, \frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}.\]Zjistili jsme, že velikost intenzity nezávisí na vzdálenosti z od nabité desky. Nabitá deska kolem sebe vytváří homogenní pole.
Řešení: Intenzita uvnitř desky
V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole uvnitř nabité desky, tzn. pro z < a/2. Postup je podobný jako v předchozím oddíle, proto není komentován tak podrobně.
Využijeme Gaussovu větu:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\,,\]kde Q1 je náboj uvnitř zvolené Gaussovy plochy.
Jako Gaussovu plochu volíme povrch válce o výšce 2z, jehož osa je k desce kolmá a deska prochází jeho středem. Celkový tok intenzity válcem získáme sečtením toku pláštěm válce a toku intenzity oběma podstavami.
\[2\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,+\,\oint_\mathrm{Spl} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\tag{*}\]
Tok pláštěm:
Vektor intenzity je rovnoběžný s pláštěm válce, a proto je tok intenzity pláštěm nulový.
Tok podstavou:
Vektor intenzity má ve všech místech podstavy stejnou velikost a je na ni kolmý (a tedy rovnoběžný s normálovým vektorem), proto můžeme skalární součin zjednodušit:
\[ \vec{E} \cdot \vec{n} \,=\, En\,=\,E\](pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor)
a upravit integrál na levé straně Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{Sp} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_\mathrm{Sp} E\mathrm{d}S\,=\,E \oint_\mathrm{Sp} \mathrm{d}S.\]Integrál je roven obsahu podstavy válce:
\[\oint_\mathrm{Sp} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E S_\mathrm{p}.\]Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*). Nesmíme zapomenout, že válec má podstavy dvě, proto musíme tok podstavou započítat dvakrát:
\[2 E S_\mathrm{p}\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}.\]Zbývá vyjádřit náboj Q1 uvnitř Gaussovy plochy. Uvnitř válce je část desky, která má tvar válce s podstavou Sp a výškou 2z. Náboj vyjádříme pomocí objemu toho válce a objemové hustoty náboje Q1 = ρV = 2zρSp:
\[2 E S_\mathrm{p}\,=\, \frac{ 2z \varrho S_\mathrm{p} }{\varepsilon_0}.\]Výraz zkrátíme a získáme velikost intenzity uvnitř desky:
\[E \,=\, \frac{\varrho}{\varepsilon_0} \,z.\]Řešení: Potenciál uvnitř desky
Potenciál ve vzdálenosti z od středu desky v bodě A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto bodu. Nulový potenciál zvolíme ve středu desky (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě):
\[\varphi (z)\,=\, - \int_{0}^\mathrm{z} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Pozn.: Pokud bychom volili nulový potenciál v nekonečnu jako u většiny úloh, nemohli bychom integrál dopočítat. Podobně jako v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny v oddíle Potenciál.
Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. V této úloze jako integrační cestu zvolíme část přímky, která je kolmá na desku. Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{0} E \mathrm{d}z. \]Nyní musíme úlohu opět rozdělit na dva případy a spočítat zvlášť potenciál uvnitř a vně desky.
Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z od středu desky uvnitř desky, tj. pro z < a/2. Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme získali v předchozím oddíle:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{0}\frac{\varrho}{\varepsilon_0}\,z \mathrm{d}z. \]Vyjmeme konstanty a integrály vypočítáme:
\[ \varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho}{\varepsilon_0}\int^\mathrm{z}_{0}z \,\mathrm{d}z \,=\, -\,\frac{\varrho}{\varepsilon_0} \left[ \frac{z^2}{2}\right]^\mathrm{z}_{0} \,=\, -\,\frac{\varrho}{\varepsilon_0}\, \frac{z^2}{2}\,.\]Potenciál uvnitř desky je dán vztahem:
\[ \varphi (z)\,=\, -\,\frac{\varrho}{\varepsilon_0}\, \frac{z^2}{2}\,.\]Řešení: Potenciál vně desky
Při výpočtu potenciálu vně desky (tj. pro z > a/2) budeme postupovat podobně jako v předchozím oddíle. Potenciál vyjádříme ze vztahu:
\[\varphi (z)\,=\, - \int_{0}^\mathrm{z} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int_{0}^\mathrm{z} E \mathrm{d}z\,.\]Při vyjadřování potenciálu musíme dát pozor na velikost intenzity. Tentokrát není intenzita podél celé integrační cesty vyjádřena stejným vztahem. Hranicí, kde se intenzita mění, je povrch desky. Integrál musíme tedy rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést na povrch desky (tj. do vzdálenosti a/2 od středu desky) a poté z povrchu dále od desky:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^{\frac{a}{2}}_{0} E_\mathrm{u}\,\mathrm{d}z \, -\, \int^\mathrm{z}_{\frac{a}{2}} E_\mathrm{v}\,\mathrm{d}z.\]Dosadíme velikosti intenzit, které jsme si vyjádřili v předchozích oddílech:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^{\frac{a}{2}}_{0} \frac{\varrho}{\varepsilon_0}\,z \,\mathrm{d}z -\, \int^\mathrm{z}_{\frac{a}{2}}\frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0} \,\mathrm{d}z \,.\]Vyjmeme konstanty a integrály vypočítáme:
\[\varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho}{\varepsilon_0}\int^{\frac{a}{2}}_{0}z \mathrm{d}z\, -\, \frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\int^\mathrm{z}_{\frac{a}{2}} \mathrm{d}z \,=\,-\,\frac{\varrho}{\varepsilon_0} \left[ \frac{z^2}{2}\right]^{\frac{a}{2}}_{0}\, - \,\frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\left[z\right]^\mathrm{z}_{\frac{a}{2}}.\]Pozn.: První integrál jsme počítat nemuseli, stačilo do výsledku předchozího oddílu dosadit z = a/2.
Sečteme stejné členy:
\[\varphi (z)\,=\, - \,\frac{\varrho a^2}{8 \varepsilon_0} \, -\,\frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\, z \, +\,\frac{\varrho a^2}{4\varepsilon_0},\] \[\varphi (z)\,= \,\frac{\varrho a^2}{8 \varepsilon_0} \, -\,\frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\, z\,. \]Získali jsme vyjádření potenciálu vně desky.
Odpověď
Nabitá deska kolem sebe vytváří homogenní pole s intenzitou o velikosti
\[E \,=\, \frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\,.\]Uvnitř desky je intenzita dána vztahem
\[E \,=\, \frac{\varrho}{\varepsilon_0} \,z\,.\]Vektory elektrické intenzity míří směrem od desky nebo směrem k ní v závislosti na znaménku náboje.
Potenciál vně desky má velikost
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho a^2}{8 \varepsilon_0} \, -\frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\,|z| \,.\]Elektrický potenciál uvnitř desky má velikost
\[\varphi (z)\,=\, -\,\frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\, z^2\,. \]Pozn.: V těchto vztazích chápeme z jako souřadnici a ne jako vzdálenost od desky, proto jsou u ní doplněny absolutní hodnoty.
Grafy
Při kreslení grafů uvažujeme, že deska je nabita kladným nábojem.
Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od středu desky
Vzhledem k symetrii elektrického pole je také graf intenzity symetrický podle počátku. Abychom z grafu poznali, že vektor elektrické intenzity uprostřed desky mění směr, znázorňuje se velikost elektrické intenzity za deskou do záporných hodnot.
Vně desky je elektrické pole homogenní s intenzitou \(E\,=\, \frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}\).
Grafem na intervalu od a/2 do nekonečna je tedy konstantní funkce. Pro záporné hodnoty z je funkce záporná.
Uvnitř desky je intenzita dána vztahem \(E\,=\, \frac{\varrho}{ \varepsilon_0} z\).
Velikost intenzity uvnitř desky lineárně roste od středu směrem na povrch desky. Ve středu je intenzita rovna nule.
Graf funkce je spojitý. Přesvědčíme se o tom, pokud do obou vztahů pro výpočet intenzity dosadíme z = a/2.
Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu nabitou plochou zůstávají spojité pouze tečné složky vektoru. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje. V této úloze ale žádné nabité plochy nejsou.
Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od středu koule
Elektrický potenciál vně nabité desky má velikost \(\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho a^2}{8 \varepsilon_0}- \, \frac{\varrho a}{2 \varepsilon_0}|z|.\)
Uvnitř desky platí vztah \(\varphi (z)\,=\,-\,\frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\,z^2\,.\)
Uvnitř desky (na intervalu od -a/2 do a/2) je grafem parabola s vrcholem v počátku (tzn. ve středu desky). Vně desky potenciál lineárně klesá.
Funkce je opět v bodě z = a/2 a z = −a/2 spojitá.
Funkce má navíc v tomto bodě spojité i první derivace, a je tedy navíc hladká.
Pozn.: Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě bodů na nabitých plochách má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.
Výpočet intenzity s využitím intenzity v okolí tenké desky
Z úlohy Pole rovnoměrně nabité roviny známe velikost elektrické intenzity v okolí tenké desky. Tohoto výsledku můžeme využít v této úloze. Silnou desku rozřežeme na tenké rovinné desky, které jsou nabity plošnou hustotou Δσ = ρΔr.
Každá taková tenká deska vytváří homogenní pole o intenzitě
\[\mathrm{\Delta} E\,=\, \frac{\mathrm{\Delta} \sigma}{2 \epsilon_0}\,=\, \frac{\varrho \mathrm{\Delta} r}{2 \epsilon_0}\,.\]Chceme-li získat celkovou intenzitu ve vzdálenosti z > a/2 od středu silné desky, musíme sečíst všechny příspěvky od těchto tenkých desek:
\[E\,=\, \int^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}} \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\,\mathrm{d} r.\]Vyjmeme konstanty před integrál a určitý integrál vypočítáme>
\[E\,=\,\frac{\varrho }{2 \epsilon_0} \int^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\mathrm{d} r\,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}[r]^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}\,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\,\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right).\] Deska vytváří homogenní elektrické pole o intenzitě: \[E\,=\, \frac{\varrho a }{2 \epsilon_0}.\]To je stejný výsledek, k jakému jsme došli při použití Gaussovy věty.
Intenzita uvnitř desky:
Musíme sečíst příspěvky od desek na levé a pravé straně od místa, kde intenzitu zjišťujeme. Vektory intenzity ale nemají všechny stejný směr. Vektory intenzity od tenkých desek, které jsou nalevo, míří na jednu stranu, vektory intenzity od tenkých desek, které jsou napravo, míří na stranu druhou. Musíme tedy příspěvky od sebe odečíst:
\[E\,=\, \int^\mathrm{z}_{-\frac{a}{2}} \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\,\mathrm{d} r\,-\,\int^{\frac{a}{2}}_\mathrm{z} \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\,\mathrm{d} r.\]Vytkneme konstanty a integrály vypočítáme:
\[E\,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\int^\mathrm{z}_{-\frac{a}{2}}\mathrm{d} r\,-\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\int^{\frac{a}{2}}_\mathrm{z}\mathrm{d} r \,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}[z]^\mathrm{z}_{-\frac{a}{2}}\,-\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}[z]^{\frac{a}{2}}_\mathrm{z},\] \[E\,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}(z\,+\, \frac{a}{2}\,-\, \frac{a}{2}\,+\,z)\,=\, \frac{\varrho }{2 \epsilon_0}\,2z.\]Uvnitř tlusté desky ve vzdálenosti z od středu desky je pole o intenzitě
\[E\,=\, \frac{\varrho }{\epsilon_0}\,z\,,\]což je opět stejný výsledek jako při použití Gaussovy věty.
Odkaz na podobnou úlohu
Jak se úloha zjednoduší, pokud je deska velmi tenká, zjistíte v úloze Pole rovnoměrně nabité roviny.
