Netradiční obvody 2

Úloha číslo: 304

Určete celkový odpor níže nakreslených obvodů. Všechny vyznačené rezistory mají odpor R.

a)

První zapojení

b)

Druhé zapojení

c)

Třetí zapojení
  • Nápověda 1

    Nejprve si obvod překreslete do „přehlednější“ či obvyklejší podoby tak, aby bylo jasné, zda se jedná o sériové nebo paralelní zapojení rezistorů.

  • Nápověda 2

    „Ohýbáním“ a zkracováním vodičů při překreslování obvodů se nemění vlastnosti obvodu, a tedy ani jeho celkový odpor.

    Rezistorem, který je zkratován vodičem, neteče proud. Všechny rezistory, jimiž neteče proud, můžeme z obvodu vynechat.

  • Rozbor

    Při výpočtu celkového odporu daného zapojení je velmi důležité si zapojení správně překreslit do „jasnější“ podoby. Zde je několik triků, které lze často využít:

    1. Vodiče v zapojení můžeme ohýbat, zkracovat a prodlužovat, aniž bychom při tom ovlivnili celkový odpor obvodu. Následující dva obrázky tedy znázorňují stejné zapojení:

    Ohýbání a zkracování vodiče

    2. Jestliže vodič propojuje dva uzly a není na něm umístěn žádný rezistor, můžeme oba uzly sloučit do jediného. Naopak také platí, že jeden uzel lze rozdělit na dva uzly propojené vodičem, na kterém není umístěn rezistor. Následující obrázky jsou opět ekvivalentní:

    Slučování uzlů

    3. Rezistory, kterými neteče proud, můžeme ze zapojení odebrat, aniž bychom tím změnili vlastnosti obvodu. Např. na levém obrázku níže teče proud jen prostřední větví paralelní části obvodu, neboť na této větvi není žádný rezistor a má tedy nulový odpor. Další dvě větve jsou tímto vodičem „vyzkratované“, neprotéká jimi žádný proud a nemají tedy vliv na celkový odpor. Proto další dva obrázky znázorňují stejné zapojení:

    Rezistory neteče proud

    Pomocí těchto úvah vyřešíme všechny tři zadané obvody.

    Při výpočtu celkového zapojení navíc využijeme tato pravidla:

    1. Celkový odpor obvodu s rezistory, které jsou zapojeny sériově (tj. za sebou), se rovná součtu odporů jednotlivých rezistorů.
    2. U paralelně zapojených rezistorů je převrácená hodnota celkového odporu rovna součtu převrácených hodnot jednotlivých rezistorů.
  • Řešení části a)

    „Ohýbání“ a změna délky vodiče při překreslování nijak neovlivní vlastnosti zapojení, a tedy ani jeho celkový odpor.

    První zapojení

    V obrázku jsme si modře vyznačili vodič, který budeme „ohýbat“, a obvod tak překreslíme do vhodnější podoby:

    Překreslené první zapojení

    Nyní již můžeme vypočítat celkový odpor zapojení jako součet odporu rezistoru R a odporu paralelní části.

    Paralelní část obvodu tvoří dva paralelně zapojené rezistory. Pro odpor Rp této části platí:

    \[ \frac{1}{R_p}\,=\,\frac{1}{R}\,+\,\frac{1}{R} \] \[ R_p\,=\,\frac{R}{2}\,. \]

    Celkový odpor zapojení:

    \[ R_\mathrm{celk}\,=\,R_p\,+\,R\,=\,\frac{R}{2}\,+\,R \] \[ R_\mathrm{celk}\,=\,\frac{3R}{2}\,. \]
  • Řešení části b)

    U tohoto zapojení si nejprve do obrázku barevně vyznačíme uzly, které jsou propojeny vodičem bez rezistoru. Stejně barevné uzly a vodič představují vlastně jediný uzel. Navíc si do obvodu vyznačíme proudy protékající jednotlivými uzly.

    Druhé zapojení

    Nyní opět „ohýbáním“ barevně vyznačených vodičů obvod překreslíme do názornější podoby. Díky proudům procházejícím jednotlivými uzly snadno zkontrolujeme, že se jedná o zakreslení stejného obvodu.

    Překreslené druhé zapojení

    Obvod jsme tedy překreslily do podoby, z které již umíme vypočítat celkový odpor.

    Obvod je tvořen dvěmi paralelními větvemi. V horní větvi jsou za sebou zapojeny dvě stejné části, z nichž každá je tvořena dvěma paralelně zapojenými rezistory. Odpor Rp obou těchto částí vypočítáme ze vztahu:

    \[ \frac{1}{R_p}\,=\,\frac{1}{R}\,+\,\frac{1}{R}\,=\,\frac{2}{R} \] \[ R_p\,=\,\frac{R}{2}\,. \]

    Odpor horní větve je tedy:

    \[ R_h\,=\,2R_p\,=\,R .\tag{horní větev}\]

    Odpor dolní větve se rovná odporu jednoho rezistoru:

    \[ R_d\,=\,R .\tag{dolní větev}\]

    A pro celkový odpor zapojení platí:

    \[ \frac{1}{R_\mathrm{celk}}\,=\,\frac{1}{R_h}\,+\,\frac{1}{R_d}\,=\,\frac{1}{R}\,+\,\frac{1}{R}\,=\,\frac{2}{R} \] \[ R_\mathrm{celk}\,=\,\frac{R}{2}\,. \]
  • Řešení části c)

    Nejprve v zapojení barevně vyznačíme všechny uzly.

    Třetí zapojení

    Všimněme si, že mezi každými dvěma uzly v obvodu (kromě modrého a fialového uzlu) je zapojen jeden rezistor. Tohoto poznatku využijeme při kontrole překresleného obvodu.

    Obvod si opět pomocí „ohýbání“ a „zkracování“ vodičů překreslíme do obvyklejší podoby.

    Překreslené třetí zapojení

    U tohoto obvodu stále není tak snadné určit jeho celkový odpor. My se ale na tento obvod ještě jednou pozorně podíváme a opět jej zjednodušíme.

    Zde je několik postřehů:

    1. Proud, který zleva vstupuje do modrého uzlu musí opět vycházet z fialového uzlu.

    2. Obvod je symetrický.

    3. Ze symetrie obvodu vidíme, že proud protékající modrým uzlem se rozdělí na dvě stejné části, do horní a dolní větve.

    4. Stejně tak ve fialovém uzlu se spojují dva stejně velké proudy, opět z horní a dolní větve.

    Z bodu 3 a 4 vyplývá, že rezistorem mezi zeleným a oranžovým uzlem neprotéká žádný proud. Tento rezistor můžeme tedy ze zapojení odstranit, aniž bychom tak ovlivnili jeho celkový odpor.

    Třetí zapojení

    Nyní již snadno vypočítáme celkový odpor zapojení. Nejprve si určíme odpor horní větve Rh a odpor dolní větve Rd. Pro ty platí:

    \[ R_h\,=\,R_d\,=\,R\,+\,R\,=\,2R\,. \]

    Celkový odpor schématu:

    \[ \frac{1}{R_\mathrm{celk}}\,=\,\frac{1}{R_h}\,+\,\frac{1}{R_d}\,=\,\frac{1}{2R}\,+\,\frac{1}{2R}\,=\,\frac{1}{R} \] \[ R_\mathrm{celk}\,=\,R\,. \]

    Pozn.: Celkový odpor tohoto zapojení lze řešit např. i pomocí Kirchhoffových zákonů. Tento způsob řešení naleznete podrobně komentovaný v úloze Využití Kirchhoffových zákonů pro výpočet celkového odporu zapojení.

  • Odpověď

    Celkové odpory jednotlivých zapojení jsou: a) \(\frac{3R}{2}\), b) \(\frac{R}{2}\), c) \(R\).

  • Odkaz na podobnou úlohu

    Podívejte se také na úlohu Netradiční obvody 1, kde naleznete další tři „netradiční“ zapojení rezistorů.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha na syntézu
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Reichl, J. (2003). Sbírka příkladů z fyziky, určená studentům 2.
ročníku technického lycea jako doplněk ke studiu fyziky. Interní
materiál, SPŠST, Praha.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
×Původní zdroj: Reichl, J. (2003). Sbírka příkladů z fyziky, určená studentům 2. ročníku technického lycea jako doplněk ke studiu fyziky. Interní materiál, SPŠST, Praha.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
Zaslat komentář k úloze