Tři stejné vodiče

Úloha číslo: 747

Elektrický obvod se skládá ze tří vodičů stejného průřezu a stejné délky zapojených za sebou. Vodiče jsou z homogenních materiálů, jejichž měrné elektrické vodivosti (konduktivity) jsou v poměru 1:2:6. Rozdíl potenciálů na koncích vodiče je 100 V. Určete napětí na jednotlivých vodičích.

  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, co je to měrná elektrická vodivost a jak souvisí s elektrickým odporem.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, co platí pro napětí a proud procházející jednotlivými vodiči, jestliže jsou vodiče zapojeny za sebou.

  • Rozbor

    Protože proudy tekoucí jednotlivými vodiči musí být vzhledem k jejich sériovému zapojení stejné, z Ohmova zákona plyne, že poměr napětí na jednotlivých vodičích se rovná poměru jejich odporů.

    Odpor vodiče závisí přímo úměrně na rezistivitě materiálu a na rozměrech vodiče. Protože rozměry všech tří vodičů jsou stejné, bude se poměr odporů vodičů rovnat poměru rezistivit materiálů, z nichž jsou vodiče vyrobeny.

    Měrná elektrická vodivost (konduktivita) je rovna převrácené hodnotě měrného elektrického odporu (rezistivity), z toho určíme, v jakém poměru jsou rezistivity jednotlivých vodičů.

    Číselnou hodnotu napětí na vodičích nakonec získáme díky poznatku, že vzhledem k sériovému zapojení vodičů musí být součet napětí na jednotlivých vodičích roven rozdílu potenciálů na koncích vodiče.

  • Řešení

    Důležitější než měrná elektrická vodivost (konduktivita) je pro nás její převrácená hodnota, jež se nazývá měrným elektrickým odporem (rezistivitou) a značí se ρ. Proto nejprve určíme, v jakém poměru jsou rezistivity jednotlivých vodičů:

    \[ \rho_1:\rho_2:\rho_3\,=\,\frac{1}{\sigma_1}\,:\,\frac{1}{\sigma_2}\,:\,\frac{1}{\sigma_3}\,=\,\frac{1}{\sigma_1}\,:\,\frac{1}{2\sigma_1}\,:\,\frac{1}{6\sigma_1}\,=\,1:\frac{1}{2}:\frac{1}{6}\,=\,6:3:1\,. \]

    Vzhledem k tomu, že pro odpor vodiče R platí vztah \(R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\) a délka l i průřez S všech tří vodičů jsou stejné, bude dán poměr velikostí jejich odporů poměrem rezistivit materiálů, z nichž byly vodiče vyrobeny. Pro poměr odporů tedy bude platit vztah:

    \[ R_1\,:\,R_2\,:\,R_3\,=\,\rho_1\,:\,\rho_2\,:\,\rho_3\,\,=\,6\,:\,3\,:\,1\,. \]

    Protože proudy tekoucí jednotlivými vodiči musí být vzhledem k jejich sériovému zapojení stejné, můžeme s využitím Ohmova zákona psát:

    \[ I_1\,=\,\frac{U_1}{R_1}\,=\,I_2=\,\frac{U_2}{R_2}\,=\,I_3\,=\,\frac{U_3}{R_3}\,. \]

    Pro poměr napětí na vodičích tedy platí:

    \[ U_1\,:\,U_2\,:\,U_3\,=\,R_1\,:\,R_2\,:\,R_3\,=\,6\,:\,3\,:\,1\,. \]

    Protože však součet napětí na jednotlivých vodičích musí být roven rozdílu potenciálů na koncích vodiče (U = 100 V), získáváme:

    \[ U_1\,+\,U_2\,+\,U_3\,=\,U\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}6U_3\,+\,3U_3\,+\,U_3\,=\,U \] \[ 10U_3\,=\,U \] \[ U_3\,=\,\frac{U}{10}\,=\,10\,\mathrm{V} \] \[ U_2\,=\,3U_3\,=\,30\,\mathrm{V} \] \[U_1\,=\,6U_3\,=\,60\,\mathrm{V}\,. \]
  • Odpověď

    Napětí na jednotlivých vodičích jsou 60 V, 30 V a 10 V.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a
magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
×Původní zdroj: Kohout, J. (2010). Studijní materiály ke cvičením z Elektřiny a magnetismu. Interní materiál, Plzeň.
Zaslat komentář k úloze