Tři stejné vodiče
Úloha číslo: 747
Elektrický obvod se skládá ze tří vodičů stejného průřezu a stejné délky zapojených za sebou. Vodiče jsou z homogenních materiálů, jejichž měrné elektrické vodivosti (konduktivity) jsou v poměru 1:2:6. Rozdíl potenciálů na koncích vodiče je 100 V. Určete napětí na jednotlivých vodičích.
Nápověda 1
Uvědomte si nebo vyhledejte, co je to měrná elektrická vodivost a jak souvisí s elektrickým odporem.
Nápověda 2
Uvědomte si, co platí pro napětí a proud procházející jednotlivými vodiči, jestliže jsou vodiče zapojeny za sebou.
Rozbor
Protože proudy tekoucí jednotlivými vodiči musí být vzhledem k jejich sériovému zapojení stejné, z Ohmova zákona plyne, že poměr napětí na jednotlivých vodičích se rovná poměru jejich odporů.
Odpor vodiče závisí přímo úměrně na rezistivitě materiálu a na rozměrech vodiče. Protože rozměry všech tří vodičů jsou stejné, bude se poměr odporů vodičů rovnat poměru rezistivit materiálů, z nichž jsou vodiče vyrobeny.
Měrná elektrická vodivost (konduktivita) je rovna převrácené hodnotě měrného elektrického odporu (rezistivity). Z toho určíme, v jakém poměru jsou rezistivity jednotlivých vodičů.
Číselnou hodnotu napětí na vodičích nakonec získáme díky poznatku, že vzhledem k sériovému zapojení vodičů musí být součet napětí na jednotlivých vodičích roven rozdílu potenciálů na koncích vodiče.
Řešení
Důležitější než měrná elektrická vodivost (konduktivita) je pro nás její převrácená hodnota, jež se nazývá měrným elektrickým odporem (rezistivitou) a značí se ρ. Proto nejprve určíme, v jakém poměru jsou rezistivity jednotlivých vodičů:
\[ \rho_1:\rho_2:\rho_3\,=\,\frac{1}{\sigma_1}\,:\,\frac{1}{\sigma_2}\,:\,\frac{1}{\sigma_3}\,=\,\frac{1}{\sigma_1}\,:\,\frac{1}{2\sigma_1}\,:\,\frac{1}{6\sigma_1}\,=\,1:\frac{1}{2}:\frac{1}{6}\,=\,6:3:1\,. \]Vzhledem k tomu, že pro odpor vodiče R platí vztah \(R\,=\,\rho\,\frac{l}{S}\) a délka l i průřez S všech tří vodičů jsou stejné, bude dán poměr velikostí jejich odporů poměrem rezistivit materiálů, z nichž byly vodiče vyrobeny. Pro poměr odporů tedy bude platit vztah:
\[ R_1\,:\,R_2\,:\,R_3\,=\,\rho_1\,:\,\rho_2\,:\,\rho_3\,\,=\,6\,:\,3\,:\,1\,. \]Protože proudy tekoucí jednotlivými vodiči musí být vzhledem k jejich sériovému zapojení stejné, můžeme s využitím Ohmova zákona psát:
\[ I_1\,=\,\frac{U_1}{R_1}\,=\,I_2=\,\frac{U_2}{R_2}\,=\,I_3\,=\,\frac{U_3}{R_3}\,. \]Pro poměr napětí na vodičích tedy platí:
\[ U_1\,:\,U_2\,:\,U_3\,=\,R_1\,:\,R_2\,:\,R_3\,=\,6\,:\,3\,:\,1\,. \]Protože však součet napětí na jednotlivých vodičích musí být roven rozdílu potenciálů na koncích vodiče (U = 100 V), získáváme:
\[ U_1\,+\,U_2\,+\,U_3\,=\,U\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}6U_3\,+\,3U_3\,+\,U_3\,=\,U \] \[ 10U_3\,=\,U \] \[ U_3\,=\,\frac{U}{10}\,=\,10\,\mathrm{V} \] \[ U_2\,=\,3U_3\,=\,30\,\mathrm{V} \] \[U_1\,=\,6U_3\,=\,60\,\mathrm{V}\,. \]Odpověď
Napětí na jednotlivých vodičích jsou 60 V, 30 V a 10 V.
