Sbírka řešených úloh

Působení vlny na náboj

Úloha číslo: 1556

• Teorie

  Na náboj \(Q\) v elektromagnetickém poli působí tzv. Lorentzova síla

  \[\vec{F} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}).\]

  Chování náboje \(Q\) o hmotnosti \(m\) v elektromagnetickém poli s danými průběhy \(\vec{E}(\vec{r},t)\) a \(\vec{B}(\vec{r},t)\) určuje řešení pohybové rovnice

  \[ m\ddot{\vec{r}} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}). \]

  V případě, kdy je příspěvek magnetické části síly zanedbatelný, volíme \(\vec{B} = \vec{0}\).

• Nápověda 1 – volba souřadnic, elektrická intenzita

  Vhodně zvolte soustavu souřadnic. Elektrické pole v blízkém okolí náboje aproximujte prostorově nezávislým průběhem. Napište toto vyjádření pro elektrickou intenzitu vlny v oblasti výskytu náboje.

• Řešení nápovědy 1 – volba souřadnic, elektrická intenzita

  Neboť je vlna lineárně polarizovaná, bude šikovné volit kladnou osu \(x\) přímo do směru amplitudy.

  Elektrická intenzita tak bude

  \[ \vec{E}(x,t) = E_0 e^{i(\omega t - kx)} \vec{j}_x, \tag{1}\]

  kde \(\vec{j}_x\) je jednotkový vektor ve směru osy \(x\).

  Za elektrickou intenzitu v prostoru výskytu náboje budeme brát intenzitu (1) pro \(x=0\)

  \[ \vec{E} \approx \vec{E}(0,t) = E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x, \tag{2}\]

  neboť elektrické pole v blízkém okolí náboje lze pro první přiblížení uvažovat prostorově nezávislé.

• Nápověda 2 – sestavení pohybové rovnice

  Sestavte pohybovou rovnici pro volný náboj \(Q\) v elektrickém poli (2).

  Síla působící na náboj \(Q\) v poli s elektrickou intenzitou \(\vec{E}\) je

  \[\vec{F} = Q\vec{E}.\]

• Řešení nápovědy 2 – sestavení pohybové rovnice

  Na náboj působí časově proměnná síla \[ \vec{F}(t) = Q\vec{E} = Q E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x. \] Pohybová rovnice je tedy \[ m\ddot{\vec{r}} = Q E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x. \] Zajímavá bude pouze \(x\)-ová složka \[ m\ddot x = Q E_0 e^{i\omega t}. \] Po úpravě dostáváme lineární diferenciální rovnici druhého řádu \[ \ddot x = \frac{Q E_0}{m} e^{i\omega t}. \]

• Nápověda 3 – řešení diferenciální rovnice

  V minulé části jsme dostali diferenciální rovnici

  \[ \ddot x = \frac{Q E_0}{m} e^{i\omega t}. \]

  Nalezněte její řešení.

• Řešení nápovědy 3 – řešení diferenciální rovnice

  Řešení diferenciální rovnice

  \[ \ddot x = \frac{Q E_0}{m} e^{i\omega t} \]

  nalezneme přímou integrací

  \[ \dot x = \frac{Q E_0}{m} \int e^{i\omega t} \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1, \] \[ x = \int \bigg( \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1 \bigg) \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i^2\omega^2} + C_1t + C_2. \] Tedy \[ x = - \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{\omega^2} + C_1t + C_2. \]

  Udělíme-li vhodnou počáteční rychlost, bude konstanta \(C_1\) nulová, čímž zamezíme globálnímu posuvu náboje. Umístíme-li navíc náboj do vhodného místa, pak bude nulová i konstanta \(C_2\).

  Řešením diferenciální rovnice a volbou konstant jsme získali průběh

  \[ x(t) = - \frac{Q E_0}{m\omega^2} e^{i\omega t} \]

  Všimněme si, že souřadnice je modulována stejnou exponenciálou, jako elektrická intenzita vnějšího pole. Kladný náboj kmitá v protifázi (znaménko minus), záporný náboj ve fázi. Amplituda kmitů je tím vyšší, čím větší je velikost náboje a velikost budícího elektrického pole, naopak s rostoucí hmotností náboje a frekvencí budícího pole klesá.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Na náboj \(Q\) v elektromagnetickém poli působí tzv. Lorentzova síla

  \[ m\ddot{\vec{r}} = Q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}). \]

  V našem případě je \(\vec{B} = \vec{0}\).

  Neboť je vlna lineárně polarizovaná, bude šikovné volit kladnou osu \(x\) přímo do směru amplitudy.

  Elektrická intenzita tak bude

  \[ \vec{E}(x,t) = E_0 e^{i(\omega t - kx)} \vec{j}_x, \]

  kde \(\vec{j}_x\) je jednotkový vektor ve směru osy \(x\).

  Za elektrickou intenzitu v prostoru výskytu náboje budeme brát zmíněnou intenzitu pro \(x=0\)

  \[ \vec{E} \approx \vec{E}(0,t) = E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x, \]

  neboť elektrické pole v blízkém okolí náboje lze pro první přiblížení uvažovat prostorově nezávislé.

  Vyřešíme pohybovou rovnici \[ m\ddot{\vec{r}} = Q E_0 e^{i\omega t} \vec{j}_x. \] Zajímavá bude pouze \(x\)-ová složka \[ m\ddot x = Q E_0 e^{i\omega t}. \]

  Řešení nalezneme přímou integrací

  \[ \dot x = \frac{Q E_0}{m} \int e^{i\omega t} \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1, \] \[ x = \int \bigg( \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i\omega} + C_1 \bigg) \mathrm{d}t = \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{i^2\omega^2} + C_1t + C_2. \] Tedy \[ x = - \frac{Q E_0}{m} \frac{e^{i\omega t}}{\omega^2} + C_1t + C_2. \]

  Pokud umístníme náboj do počátku, potom \(C_2 = 0\)

  Předpoklad v zadání nám říká, že náboj žádnou počáteční rychlost nemá. Tím pádem jediným příspěvkem rychlosti je exponenciální člen v dané rovnici a \(C_1 = 0\).

  Řešením diferenciální rovnice a volbou konstant jsme získali průběh

  \[ x(t) = - \frac{Q E_0}{m\omega^2} e^{i\omega t} \]

• Odpověď

  Časová závislost souřadnice \(x\) náboje \(Q\) o hmotnosti \(m\) v harmonickém elektrickém poli s amplitudou \(E_0\) a úhlovou frekvencí \(\omega\) je

  \[ x(t) = - \frac{Q E_0}{m\omega^2} e^{i\omega t}. \]

  Příklad je nástinem principu interakce záření s látkou. Je-li látka vystavena elektromagnetické vlně, její náboje začnou také kmitat. Takto vznikající elementární vlny pak mohou různým způsobem interferovat za vzniku výsledné vlny odlišných parametrů.