Kapička mezi kovovými deskami

Úloha číslo: 19

Mezi dvěma vodorovnými kovovými deskami vzdálenými od sebe 4,8 mm a nabitými na napětí 1 kV se vznáší malá záporně nabitá olejová kapka o hmotnosti 10−13 kg.

a) Jaký je náboj kapky?

b) Kolik nadbytečných elektronů má záporně nabitá kapka oleje?

c) Kolik elektronů z celkového počtu nadbytečných elektronů kapka ztratila, jestliže se začne pohybovat směrem dolů se zrychlením o velikosti 5 m s−2?

Kapka mezi vodorovnými deskami
  • Nápověda k části a)

    Jaké síly působí na olejovou kapku? Co pro ně musí platit, jestliže je kapka v klidu?

  • Nápověda: Intenzita homogenního pole (a)

    Intenzita homogenního pole mezi dvěma vodorovnými nabitými deskami závisí na vzdálenosti desek a napětí, na které jsou desky nabity. Čím jsou desky dále od sebe a čím je mezi nimi menší napětí, tím je elektrické pole slabší.

  • Rozbor: Náboj kapky (a)

    Na olejovou kapku působí směrem nahoru elektrická síla a směrem dolů síla tíhová. Protože je kapka v klidu, musí mít obě tyto síly stejnou velikost a opačný směr.

    Náboj kapky, který chceme zjistit, můžeme spočítat z velikosti elektrické síly. Ta je úměrná intenzitě elektrického pole.

    Intenzita elektrického pole mezi vodorovnými nabitými deskami je přímo úměrná napětí mezi deskami a nepřímo úměrná vzdálenosti desek.

  • Řešení: Náboj kapky (a)

    Na olejovou kapku působí směrem vzhůru elektrická síla Fe = QE a směrem dolů síla tíhová FG = mg, kde E je intenzita pole mezi deskami, Q je náboj kapky a m její hmotnost.

    Síly působící na kapku v klidu

    Protože je kapka v klidu, je výslednice obou sil nulová.

    \[F_G \,=\,F_e\] \[mg \,=\, QE\]

    Pro elektrickou intenzitu E platí vztah:

    \[E \,=\, \frac{U}{d}\,.\]

    Dosadíme do předchozího vztahu a vyjádříme velikost náboje kapky Q.

    \[mg \,=\, Q\,\frac{U}{d}\] \[Q \,=\, \frac {mgd}{U}\]
  • Nápověda: Počet elektronů (b)

    Velikost náboje elektronu můžeme vyhledat v tabulkách a celkový náboj jsme spočítali v bodě a).

  • Řešení: Počet elektronů (b)

    Nadbytečné elektrony kapky vytvářejí její záporný náboj, který jsme spočítali v bodě a).

    Počet těchto elektronů můžeme zjistit, protože velikost náboje jednoho elektronu můžeme vyhledat.

    \[N \,=\, \frac {Q}{e}\] \[N \,=\, \frac {mgd}{Ue}\]
  • Nápověda k části c)

    1) Které ze sil, působících na kapku, se změnily, když kapka ztratila část náboje?

    2) Kapka se pohybuje se zrychlením a můžeme tedy využít 2. Newtonův zákon.

  • Rozbor k části c)

    Jestliže kapka ztratí několik elektronů, její náboj se zmenší, a proto se zmenší elektrická síla působící směrem vzhůru. Tíhová síla zůstane stejná, jelikož hmotnost kapky se nezmění (Hmotnost elektronu je velmi malá, proto změnu hmotnosti kapky zanedbáme). Výslednice elektrické a tíhové síly působí směrem dolů. Tato výslednice uděluje kapce podle druhého Newtonova zákona zrychlení (úměrné její hmotnosti), a kapka se proto začne pohybovat směrem dolů.

  • Řešení části c)

    Ztratí-li kapka několik elektronů, zmenší se její náboj z Q na Q1. Velikost elektrické síly bude Fe1 = Q1E

    Výslednice elektrické a tíhové síly je rovna rozdílu FGFe1 a působí směrem dolů.

    Zrychlení kapky určíme z druhého Newtonova zákona.

    \[F_g-{F_{e}}_1 \,=\, m a\tag{*}\]
    Síly působící na pohybující se kapku

    Pro intenzitu homogenního pole platí stejný vztah jako v řešení části a):

    \[E \,=\, \frac {U}{d}\]

    Dosadíme vztahy pro FG, Fe a E do vzorce (*):

    \[m g-Q_1 E \,=\, m g\] \[m g-Q_1 \frac{U}{d} \,=\, m a\]

    a pak výraz upravujeme, abychom vyjádřili náboj Q1.

    \[Q_1 \frac{U}{d} \,=\, m g-m a\] \[Q_1 \,=\, \frac {m(g-a)d}{U}\]

    Z náboje kapky už jednoduše zjistíme počet nadbytečných elektronů stejně jako v části b):

    \[N_1 \,=\, \frac{Q_1}{e}=\frac {m(g-a)d}{Ue}\]

    Počet elektronů, které kapka ztratila, dostaneme jako rozdíl původního počtu a počtu nového

    \[\Delta N\,=\,N-N_1\] \[\Delta N\,=\,\frac {mgd}{Ue}\,-\,\frac {m(g-a)d}{Ue}\] \[\Delta N\,=\,\frac {mad}{Ue}\]
  • Zápis a číselný výpočet

    \(d\,=\,4{,}8 \,\mathrm{mm}\,=\,4{,}8{\cdot} 10^{-3} \,\mathrm{m}\) vzdálenost desek
    \(U\,=1\,\mathrm{kV}\,=\,10^3 \,\mathrm{V}\) napětí na deskách
    \(m\,=\,10^{-13} \,\mathrm{kg}\) hmotnost kapky oleje
    \(a\,=\,5 \,\mathrm{m\,s^{-2}}\) zrychlení kapky
    \(Q\,=\,?\,\left(\mathrm{C}\right)\) náboj kapky
    \(N\,=\,?\) počet nadbytečných elektronů
    \(\Delta N\,=\,?\) počet nadbytečných elektronů u kapičky v pohybu

    Z tabulek:

    \(e\,=\,1{,}6 {\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\)
    \(g\,=\,9{,}81\,\mathrm{ m\,s^{-2}}\)

    \[Q\,=\,\frac {mgd}{U}\,=\,\frac {10^{-13}\,\cdot \,9{,}81\,\cdot \,4{,}8{\cdot} 10^{-3}}{10^3}\,\mathrm{C}\,=\,4{,}8\cdot{10^{-18}}\,\mathrm{C}\] \[N\,=\,\frac {mgd}{Ue}\,=\,\frac {10^{-13}\,\cdot \,9{,}81\,\cdot\, 4{,}8{\cdot} 10^{-3}}{10^3\,\cdot\, 1{,}6 {\cdot} 10^{-19} }=30\] \[\Delta N\,=\,\frac {mad}{Ue}\,=\,\frac {10^{-13}\,\cdot \,5\,\cdot \,4{,}8{\cdot} 10^{-3}}{10^3\,\cdot\, 1{,}6 {\cdot} 10^{-19}}\,=\,15\]
  • Odpověď

    Olejová kapka má náboj 4,8·10−18 C, což odpovídá 30 nadbytečných elektronům.

    Když se kapka začala pohybovat se zrychlením, ztratila 15 elektronů.

  • Změření elementárního náboje

    Elementární náboj e poprvé přímo změřil americký fyzik Robert A. Millikan v letech 1910 – 1913. Proměřoval síly, které působí na nabité olejové kapičky a potvrdil, že elektrický náboj je celistvým násobkem elementárního náboje. V roce 1923 získal Nobelovu cenu za fyziku, částečně i za tuto práci.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Bartuška, K. (1998). Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední
školy III (1. vydání). Praha: Prometheus. 
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007)
×Původní zdroj: Bartuška, K. (1998). Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy III (1. vydání). Praha: Prometheus.
Zpracováno v bakalářské práci Lenky Matějíčkové (2007)
Zaslat komentář k úloze