Potenciometr

Úloha číslo: 182

Potenciometrem zhotoveným z homogenního vodiče délky l o celkovém odporu Rl = al se mění napětí na spotřebiči o odporu R.

Určete napětí a proud rezistorem o odporu R jako funkci vzdálenosti x jezdce potenciometru od jednoho konce potenciometru.

Obvod s potenciometrem
  • Nápověda

    Zkuste si obvod překreslit tak, že potenciometr rozdělíte na dvě části.

  • Rozbor

    Obvod ze zadání úlohy si překreslíme tak, že potenciometr rozdělíme v místě jezdce na dvě části o odporu Rx a odporu Ry (viz Obrázek k řešení úlohy). Odpor obou částí potenciometru můžeme rovnou určit. Odpor vodiče je lineárně závislý na délce, a proto je odpor části potenciometru přímo úměrný délce vodiče, která tuto část tvoří.

    Do obrázku si vyznačíme proudy, které protékají jednotlivými částmi obvodu.

    Chceme určit proud I2 procházející rezistorem R, proto si ostatní proudy pomocí I2 vyjádříme.

    Proud I je součtem proudů I1 a I2. A proud I1 vyjádříme v závislosti na I2 pomocí toho, že rezistory o odporech R a Rx jsou zapojeny paralelně, a proto na nich musí být stejný úbytek napětí.

    Protože známe celkové napětí obvodu, vyjádříme si napětí zdroje jako součet úbytků napětí na rezistorech Rx a Ry.

    Z rovnice pro celkové napětí si již vyjádříme proud I2.

    Napětí na rezistoru R pak vypočítáme jako součin odporu rezistoru a proudu, který tímto rezistorem prochází.

  • Obrázek k řešení úlohy

    Obvod ze zadání úlohy si překreslíme tak, že potenciometr rozdělíme v místě jezdce na dvě části o odporu Rx a odporu Ry a do obrázku si vyznačíme proudy, které protékají jednotlivými částmi obvodu.

    Potenciometr rozdělený na dvě části
  • Řešení

    Pro odpor potenciometru platí:

    \[R_x+R_y\,=\,R_l\,=\,al\,,\]

    kde l je délka celého potenciometru a a je konstanta úměrnosti.

    Protože odpor vodiče je lineárně závislý na délce, můžeme odpory Rx a Ry vyjádřit takto:

    \[R_x\,=\,ax\] \[R_y\,=\,a\left(l-x\right)\,.\]

    Naším cílem je určit proud I2 procházející rezistorem R. Proto si ostatní proudy vyjádříme pomocí I2.

    Pro proud v obvodu platí, že součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů, které z uzlu vystupují:

    \[I\,=\,I_1+I_2\,.\]

    Rezistor o odporu R a část potenciometru o odporu Rx jsou zapojeny paralelně, proto platí:

    \[RI_2\,=\,R_xI_1\,=\,axI_1\,.\]

    Vyjádříme si proud I1:

    \[I_1\,=\,\frac{R}{ax}I_2\,.\tag{*}\]

    Protože známe celkové napětí, můžeme si napsat, že se napětí zdroje rovná úbytku napětí na rezistorech. Tedy:

    \[U\,=\,R_xI_1+R_yI\,=\,axI_1+a\left(l-x\right)\left(I_1+I_2\right)\] \[U\,=\,alI_1+a\left(l-x\right)I_2\,.\]

    Do této rovnice dosadíme vztah (*):

    \[U\,=\,al\frac{R}{ax}I_2+a\left(l-x\right)I_2\] \[U\,=\,\left(\frac{l}{x}R+a\left(l-x\right)\right)I_2\,.\]

    Konstantu úměrnosti a vyjádříme ze vztahu:

    \[R_l\,=\,al\hspace{10px}\Rightarrow\hspace{10px}a\,=\,\frac{R_l}{l}\,.\]

    A opět dosadíme do rovnice pro celkové napětí:

    \[U\,=\,\left(\frac{l}{x}R+\frac{R_l}{l}\left(l-x\right)\right)I_2\,.\]

    Nyní si již vyjádříme proud I2, což je náš hledaný proud procházející rezistorem R:

    \[I_2\,=\,\frac{U}{\frac{l}{x}R+\frac{R_l}{l}\left(l-x\right)}\,.\]

    Tuto rovnici ještě upravíme:

    \[I_2\,=\,\frac{U}{\frac{l^{2}R+R_{l}x\left(l-x\right)}{xl}}\,.\]

    A získáme tak konečný vztah pro proud rezistorem v závislosti na vzdálenosti x jezdce potenciometru od jednoho konce:

    \[I_R\,=\,\frac{xlU}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}\,.\]

    Napětí na rezistoru se rovná součinu proudu a odporu rezistoru:

    \[U_R\,=\,I_RR\] \[U_R\,=\,\frac{xlUR}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}\,.\]
  • Odpověď

    Pro napětí a proud rezistorem o odporu R v závislosti na vzdálenosti x jezdce potenciometru platí:

    \[I_R\,=\,\frac{xlU}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}\] \[U_R\,=\,\frac{xlUR}{l^2R+R_lx\left(l-x\right)}\,.\]
  • Odkaz na podobnou úlohu

    Složitější úlohou s potenciometrem je úloha Změna proudu potenciometrem.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
Zaslat komentář k úloze