Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Metody řešení lineárních obvodů 2

Úloha číslo: 1895

Tato úloha slouží jako modelová pro porovnání jednotlivých metod.

 

Na obrázku je nakresleno schéma zapojení se třemi rezistory \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) a dva stejnosměrné zdroje napětí \(U_1\), \(U_2\).

Řeště tento obvod pomocí:

a) Metody smyčkových prodů. Určete proudy I1, I2I3.

b) Metody uzlových napětí. Určete uzlové napětí UA a proudy I1, I2I3.

c) Metody lineární superpozice. Určete napětí na rezistoru R3 U3 a proudy I1, I2I3.

d) Théveninovou větou. Určete napětí na rezistoru R3 U3 a proudy I1, I2I3.

 

Zadané hodnoty: R1 = 20 Ω, R2 = 15 Ω, R3 = 30 Ω, U1 = 30 V, U2 = 15 V.

 

zadání
  • Připomenutí Kirchhoffových zákonů.

    Všechny metody, které se v úloze používají vycházení z Kirchhoffových zákonu, pokud potřebujete připomeňte si je zde.

    Pro ty, co si chtějí jejich použití připomenout podrobněji, doporučujeme následující úlohy:

    Ale dejte si pozor na to, jaká znaménková konvence se v dané úloze používá při sestavování rovnic podle II. Kirchhoffova zákona.

  • Rozbor – popis jednotlivých metod

    Jednotlivé metody jsou podrobně popsány v úloze Metody řešení lineárních obvodů 1. V této úloze si můžete jednotlivé metody vyzkoušet na řešení mírně odlišného obvodu.

    Popisy jednotlivých metod:

  • a) Postup řešení

    Naším úkolem je určit proudy I1, I2 a I3:

    2 úloha smyčkové proudy

    1. U zdrojů napětí si vyznačíme šipkou (na obrázku červeně) směr napětí. Pozor jeho směr je obrácený než směr elektromotorického napětí (viz poznámka u opakování Kirchhoffových zákonů).

    2. Zvolíme uzavřené smyčky a jejich směr, proudy smyčkou nazveme Ia, Ib.

    3. Napíšeme rovnice pro jednotlivé smyčky. Místo proudů I1, I2, I3 budeme zjišťovat smyčkové proudy IaIb.

    4. Vyřešíme rovnice, tj. spočítáme neznámé smyčkové proudy IaIb.

    5. Ze smyčkových proudů IaIb určíme reálné proudy I1, I2, I3.

  • a) 1. část řešení – sestavení a vyřešení rovnic

    roybor smyckove proudy 2

    Z druhého Kirchhoffova zákona získáme po úpravě rovnici pro smyčku Ia:

    \[R_1I_a + R_3(I_a-I_b)-U_1 \,=\,0\tag{smyčka Ia}\] \[I_a(R_1 + R_3)-R_3I_b\,=\,U_1\]

    Z druhého Kirchhoffova zákona získáme po úpravě rovnici pro smyčku Ib:

    \[R_3(I_b-I_a) + R_2I_b + U_2 \,=\,0\tag{smyčka Ib}\] \[I_b(R_2 + R_3)-R_3I_a\,=\,-U_2\]

    Nyní máme dvě rovnice o dvou neznámých. Dosadíme do nich zadáné hodnoty v základních jednotkách:

    \[50I_a - 30I_b\,=\,30\,\] \[-30I_a + 45I_b\,=\,-15 \]

    Soustavu vyřešíme, například sčítací metodu. První rovnici vynásobíme třema a druhou rovnici pěti a sečteme je:

    \[150I_a - 90I_b\,=\,90 \] \[-150I_a + 225I_b\,=\,-75\]

    Tím jsme se zbavili neznáme Ia, vypočítáme Ib:

    \[135I_b\,=\,15 \] \[I_b\,=\, \frac{1}{9}\,\mathrm{A}\]

    Nyní dopočítáme i proud Ia:

    \[ 50I_a -30\cdot\frac{1}{9} \,=\,30 \] \[ 50I_a \,=\,30 + \frac{10}{3}\,\]

    Tím jsme spočítali hodnotu Ia:

    \[ I_a \,=\,\frac{2}{3}\,\mathrm{A}\]
  • a) 2. část řešení – určení reálných proudů.

    Nyní potřebujeme určit hodnoty reálných proudů pomocí smyčkových proudů. Použijeme I. KZ. pro uzel A.

    \[I_1 + I_2-I_3\,=\,0,\tag{Uzel A}\] \[I_1 + I_2\,=\,I_3. \]

    Dle schématu určíme smyčkové proudy.

    \[I_a\,=\,I_1 \Rightarrow\, I_1\,=\,\frac{2}{3}\,\mathrm{A}, \] \[-I_b\,=\,I_2 \Rightarrow\, I_2\,=\,-\frac{1}{9}\,\mathrm{A}. \]

    Vyjádříme si z I. KZ. proud I3:

    \[I_3\,=\,I_1+I_2, \] \[I_3\,=\,\left(\frac{2}{3}\,-\frac{1}{9}\right)\,\mathrm{A}\, = \frac{5}{9}\,\mathrm{A}.\]
  • a) Odpověď

    Spočítali jsme smyčkové proudy \(I_a\) a \(I_b\)

    \[I_a\,=\, \frac{2}{3}\,\mathrm{A},\qquad \ I_b\,=\, \frac{1}{9}\,\mathrm{A}. \]

    Ze smyčkových proudů jsme určili proudy reálné \(I_1\), \(I_2\) a \(I_3\)

    \[I_1\,=\, \frac{2}{3}\,\mathrm{A},\qquad \ I_2\,=\, -\frac{1}{9}\,\mathrm{A},\qquad\ I_3\,=\, \frac{5}{9}\,\mathrm{A}. \]
  • b) Postup řešení

    Naším úkolem je určit poudy I1, I2 a I3:
    metoda uzlového napětí

    1. U zdrojů napětí si vyznačíme šipkou směr napětí.

    2. V zapojení si vyznačíme jednotlivé uzly (A,D) a jeden z nich označíme jako uzel referenční (D). Referenční uzel volíme tak, aby k němu bylo spojeno co nejvíce prvků. 

    3. Mezi uzlem A a referenčním uzlem D vyznačíme uzlové napětí UA

    4. Napíšeme rovnici pro uzel A dle I. Kirchhoffova zákona.

    5.  Proudy v jednotlivých větvích obvodu vyjádříme pomocí uzlových napětí, napětí zdrojů a odporů rezistorů. Získáme tím soustavu rovnic.

    6.  Řešením rovnic získáme uzlová napětí.

    7.  Pomocí uzlových napětí dopočítáme proudy v obvodu.

  • b) 1. část řešení – sestavení a vyřešení rovnic

    uzlové napětí 2

    V obvodu si označíme referenční uzel D, směry napětí zdrojů a proudy jednotlivými větvemi obvodu (viz předchozí oddíl). Napíšeme rovnici podle I. KZ pro uzel A:

    \[I_1 + I_2 - I_3\,=\,0 \Rightarrow\, I_1 + I_2 \,=\,I_3, \tag{uzel A}\]

    Proudy větvemi vyjádříme pomocí uzlových napětí :

    \[I_\mathrm{1}\,=\, \frac{U_1-U_A}{R_1}\,,\] \[I_\mathrm{2}\,=\, \frac{U_2-U_A}{R_2}\,,\] \[I_3\,=\,\frac{U_A}{R_3}\,\]

    a to dosadíme do výše uvedené rovnice dle I. KZ

    \[\frac{U_1-U_A}{R_1}\,+\frac{U_2-U_A}{R_2}\,\,=\, \frac{U_A}{R_3}\,.\]

    Dosadíme zadané hodnoty v základních jednotkách:

    \[\frac{30-U_A}{20}\,+\frac{15-U_A}{15}\,\,=\, \frac{U_A}{30}\,.\]

    Vyjádříme uzlové napětí UA

    \[ 3(30-U_A) + 4(15-U_A)\,=\,2U_A,\] \[ 90-3U_A + 60 -4U_A\,=\,2U_A,\] \[ 9U_A\,=\,150,\] \[ U_A\,=\, \frac{50}{3}\,\,\ \mathrm{V}. \]

    Nyní můžeme dopočítat proudy.

  • b) 2. část řešení – dopočítání proudů

    Když jsme si spočítali uzlové napětí UA, tak proudy spočítáme velice rychle z rovnic pro jednotlivé větve (viz předchozí oddíl)

    \[I_\mathrm{1}\,=\, \frac{U_1-U_A}{R_1}\, \Rightarrow\, I_1 \,=\, \frac{2}{3}\, \mathrm{A},\] \[I_\mathrm{2}\,=\, \frac{U_2-U_A}{R_2}\, \Rightarrow\, I_2 \,=\, -\frac{1}{9}\, \mathrm{A},\] \[I_3\,=\,\frac{U_A}{R_3}\, \Rightarrow\, I_3 \,=\, \frac{5}{9}\, \mathrm{A}.\]
  • b) Odpověď

    Spočítali jsme uzlové napětí \(U_A\). \[U_A\,=\, \frac{50}{3}\,\mathrm{V}.\]

    Z uzlového napětí jsme určili proudy.

    \[I_1\,=\, \frac{2}{3}\,\mathrm{A},\qquad \ I_2\,=\, -\frac{1}{9}\,\mathrm{A},\qquad \ I_3\,=\, \frac{5}{9}\,\mathrm{A}.\]
  • c) Postup řešení

    Naším úkolem je určit napětí U3:

    metoda lineární superpozice

    1. Vyznačíme polaritu jednotlivých zdrojů.

    2. Vypočteme napětí nebo proud na uvažovaném prvku při působení jednoho zdroje, ostatních zdroje napětí nahradíme zkratem, případně jejich vnitřním odporem, a vyřadíme zdroje proudu (v našem obvodu žádné zdroje proudu nejsou).

    3. To provedeme postupně pro každý zdroj.

    4. Výsledné napětí nebo proud na uvažovaném prvku jsou pak dány algebraickým součtem všech dílčích napětí nebo proudů.

  • c) 1. část řešení – zdroj U1

    Nejprve uvažujme U1, to znamená, že zdroj U2 nahradíme zkratem (jedná se o ideální zdroj bez vnitřního odporu).

    lineární superpozice řešení 1

    V tomto obvodu jsou rezistory R2 a R3 zapojeny paralelně a k nim je sériově připojen rezistor R1. Nejdříve spočítáme paralelní zapojení rezistorů R2 a R3.

    \[R_\mathrm{23}\,=\, \frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\, \,=\, \frac{15 {\cdot} 30}{15+30}\,\,\mathrm{\Omega},\] \[R_\mathrm{23}\,=\, 10 \,\mathrm{\Omega}. \]

    Hledané napětí U31 je napětí v paralelním zapojením R2, R#. Víme, že napětí se na sériově zapojených rezistorech rozdělí v poměru odporů. Platí pro něj tedy:

    \[U_\mathrm{31}\,=\, U_1\frac{R_\mathrm{23}}{R_\mathrm{23}+R_1},\] \[U_\mathrm{31}\,\,=\, 30\cdot\frac{10}{10+20}\,\mathrm{V}\,=\, 10 \,\mathrm{V}.\]
  • c) 2. část řešení – zdroj U2

    Teď uvažujme jen zdroj U2, to znamená, že zdroj U1 nahradíme zkratem (jedná se o ideální zdroj bez vnitřního odporu).

    lineární superpozice řešení 2

    Výpočet je stejný jako v předchozím oddíle. Rezistory R1 a R3 jsou zapojeny paralelně a k nim je sériově připojen rezistor R2. Odpor paralelní zapojení rezistorů R1 a R3 je

    \[R_\mathrm{13}\,=\, \frac{R_1R_3}{R_1+R_3}\,\,=\, \frac{20{\cdot}30}{20+30}\,\,\mathrm{\Omega}\, \] \[R_\mathrm{13}\,=\, 12\, \mathrm{\Omega}.\]

    Hledané napětí U32 je napětí na paralelním zapojením R1, R3. Napětí se na sériově zapojených rezistorech rozdělí v poměru odporů:

    \[U_\mathrm{32}\,=\, U_2\frac{R_\mathrm{13}}{R_\mathrm{13}+R_2},\] \[U_\mathrm{32}\,\,=\, 15\cdot\frac{12}{12+15}\,\,\mathrm{V}\,=\, \frac{20}{3}\,\mathrm{V} \dot{=}\, 6{,}7\,\mathrm{V}.\]
  • c) 3. část řešení – výsledné napětí

    Nyní už máme spočítaná napětí U31 a U32, vzhledem k tomu, že v obvodu se nevyskutuje další zdroj, tak výsledné napěti U3 je dáno součtem U31 a U32

    \[U_\mathrm{3}\,=\, U_\mathrm{31}\ + U_\mathrm{32}\ \,=\,\frac{50}{3}\,\,\mathrm{V}.\]
  • c) Odpověď

    Postupně jsme vypočítali napětí \(U_{31}\) a \(U_{32}\) tak, že jsme v obvodu uvažovali vždy pouze jeden zdroj

    \[U_\mathrm{31}\,=\, 10\,\mathrm{V},\qquad \ U_\mathrm{32}\,=\,\frac{20}{3}\, \mathrm{V}.\]

    Výsledné napětí \(U_{3}\) je součtem obou napětí \(U_{31}\) a \(U_{32}\)

    \[U_\mathrm{3}\,=\, \frac{50}{3}\,\mathrm{V}.\]
  • d) Postup řešení

    Naším úkolem je určit napětí U3 v obvodu:

    rozbor Théveninova věta

    2. Podle Théveniovy věty nahradíme zbytek obvodu zdrujem napětí U0 s vnitřním odporem Ri. Ekvivalentní obvod tedy je:

    ekvivalentí obvod

    2. V ekvivalentním obvodu určíme vnitřrní odpor Ri tak, že odpojíme zátěž (v našem případě odpor R3) a napětové zdroje zkratujeme (U1 a U2).

    3. Dále musíme určit napětí ideálního zdroje U0, který určíme tak, že odpojíme zátěž (v našem případě odpor R3) a určíme napětí na výstupních svorkách.

    4. V ekvivalentním obvodu již známe Ri a U0, z toho můžeme určit hledané napětí U3.

  • d) 1. část řešení – vnitřní odpor Ri, napětí U0

    Dle Théveninovy věty si nakreslíme ekvivalentní obvod (viz předchozí oddíl Postup řešení).

    ekvivalentní obvod

    Určíme odpor Ri tak, že zkratujeme zdroje U1, U2 a odpojíme zátěž R3. Obvod si překreslíme.

    vnitřní odpor

    Máme dva rezistory zapojené paralelně. Určíme odpor Ri

    \[R_\mathrm{i}\,=\, \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,\,=\, \frac{20{\cdot}15}{20+15}\,\mathrm{\Omega}, \] \[R_\mathrm{i}\,=\,\frac{300}{35}\,\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,\mathrm{\Omega}\,\dot{=}\,8{,}6\,\mathrm{\Omega}. \]

     

    Zbývá nám určit napětí U0. To získáme tak, že odpojíme zátěž (rezistor R3 a spočítáme napětí na svorkách U0. Obvod si překreslíme.

    Théveninova napěti UO

    Napětí U0 můžeme spočítat například takto:

    \[U_0\,=\, U_1 - IR_1 \]

    nebo takto

    \[U_0\,=\, U_2 + IR_2. \]

    Tak jsme získali dvě rovnice o dvou neznámých. Dosadíme do nich zadané hodnoty v základních jednotkách:

    \[U_0\,=\, 30 - 20I, \] \[U_0\,=\, 15 + 15I. \]

    Soustavu vyřešíme např. sčítací metodou. První rovnici vynásobíme třemi a druhou dvěma.

    \[3U_0\,=\, 90 - 60I \] \[4U_0\,=\, 60 + 60I \]

    Rovnice sečteme

    \[7U_0\,=\, 150. \]

    Tím jsme se zbavili neznámé I , vypočítáme U0 :

    \[U_0\,=\, \frac{150}{7}\, \,\mathrm{V}\,\dot{=}\,21{,}42\,\,\mathrm{V}. \]
  • d) 2. část řešení – napětí Uz

    protože jsme v předchozím oddíle určili odpor Ri a napětí U0 pro ekvivalentní obvod,

    ekvivalentní obvod

    snadno již dopočítáme napětí UZ (RZ = R3):

    \[U_3=U_Z\,=\, U_0\frac{R_3}{R_3+R_i}\, \,=\, \frac{150}{7}\,\cdot\,\frac{30}{\frac{60}{7}+30}\,\,,\] \[U_3\,=\, \frac{50}{3}\, \,\mathrm{V}.\]
  • d) Odpověď

    Dle Théveninovy věty jsme si nakreslili ekvivalentní obvod. Určili jsme jeho vnitřní odpor \(R_i\) a napětí \(U_0\)

    \[R_\mathrm{i}\,=\, \frac{60}{7}\,\mathrm{\Omega},\qquad U_0\,=\,\frac{150}{7}\,\mathrm{V}. \]

    Z ekvivalentního obvodu jsme dopočítali napětí \(U_3\)

    \[U_3\,=\,\frac{50}{3} \,\mathrm{V}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze