Pole nabité kulové vrstvy
Úloha číslo: 446
Kulová vrstva s vnitřním poloměrem a a vnějším poloměrem b je rovnoměrně nabita nábojem s objemovou hustotou ρ.
1) Najděte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od středu vrstvy.
2) Určete také potenciál ve vzdálenosti z.
Uvažujte pole uvnitř i vně vrstvy, tzn. najděte průběh elektrické intenzity a potenciálu pro z v intervalu „od nuly až do nekonečna“.
Nápověda: Intenzita elektrického pole
Protože k řešení úlohy se hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jakou Gaussovu plochu zvolíme.
Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule o poloměru z se středem ve středu nabité vrstvy. V takovém případě je díky symetrii rozložení náboje vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plochu a má stejnou velikost. (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu? v úloze Pole rovnoměrně nabité koule)
Úlohu rozdělíme na tři případy:- Poloměr Gaussovy koule je větší než vnější poloměr nabité kulové vrstvy.
- Poloměr Gaussovy koule je menší než vnější poloměr a větší než vnitřní poloměr nabité kulové vrstvy.
- Poloměr Gaussovy koule je menší než vnitřní poloměr nabité kulové vrstvy.
Nápověda: Elektrický potenciál
Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj
\[\varphi\,=\, \frac{E_\mathrm{p}}{Q}\]a potenciální energie Ep v daném místě je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií (v našem případě z nekonečna) do tohoto místa:
\[E_\mathrm{p}(z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Dosadíme integrál:
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Jestliže sílu \(\vec{F}\) vydělíme nábojem Q, získáme intenzitu elektrického pole \(\vec{E}\):
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Rozbor
Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.
Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu kulové vrstvy směrem ven a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu kulové vrstvy. Důvodem je symetrické rozložení kladného náboje ve vrstvě (pokud by byl náboj záporný, vektory by měly opačný směr). Pro zdůvodnění může pomoci následující představa. Náboj je rozložen ve vrstvě symetricky, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud kulovou vrstvu libovolně otočíme kolem jejího středu. Pole kulové vrstvy musí zůstat stále stejné, a proto i vektory intenzity musí mít v daném místě při různých natočeních stále stejný směr a velikost.
Gaussovou plochou zvolíme povrch koule se středem ve středu nabité kulové vrstvy. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé této ploše stejnou velikost a je na ni kolmý. Tím se nám zjednoduší výpočet toku intenzity.
Úlohu si rozdělíme na tři části. Budeme zkoumat zvlášť pole vně nabité kulové vrstvy, uvnitř vrstvy a uvnitř duté části.
Počítáme-li intenzitu vně kulové vrstvy, bude mít Gaussova koule větší poloměr než nabitá vrstva. Uvnitř ní je tedy veškerý náboj rozložený v kulové vrstvě. Vyjádříme ho pomocí hustoty náboje a objemu nabité kulové vrstvy.
Počítáme-li intenzitu uvnitř nabité kulové vrstvy, bude Gaussova koule mít menší poloměr než vnější poloměr vrstvy a větší než vnitřní poloměr vrstvy. Uvnitř plochy je uzavřena pouze část náboje. Vyjádříme ji také pomocí objemu části vrstvy uzavřené v Gaussově ploše a hustoty náboje.
Počítáme-li intenzitu uvnitř duté části kulové vrstvy, bude mít Gaussova koule menší poloměr než je vnitřní poloměr kulové vrstvy. Uvnitř plochy není uzavřený žádný náboj, a proto je zde intenzita rovna nule.
Potenciál vypočítáme z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme v nekonečnu (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě).
Při výpočtu potenciálu uvnitř nabité kulové vrstvy a uvnitř duté části musíme dát pozor na to, že intenzita elektrického pole nemá stejné vyjádření podél celé integrační cesty, ale je popsána jiným vztahem vně, uvnitř vrstvy a uvnitř duté části. Musíme tedy spočítat nejprve práci, která je třeba k přenesení na povrch nabité kulové vrstvy, poté práci potřebnou k přesunu náboje na hranici duté části uvnitř vrstvy a nakonec práci potřebnou na přenesení dále dovnitř duté části.
Řešení: Intenzita vně vrstvy
V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité vrstvy, tzn. pro z > b.
Využijeme Gaussovu větu:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,,\] \[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\tag{*}\]Náboj je v kulové vrstvě rozložen symetricky, a proto je i elektrické pole v okolí vrstvy symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu kulové vrstvy (nebo ke středu, pokud je náboj záporný) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu vrstvy.
Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má poloměr z a střed má ve středu nabité vrstvy. V tomto případě bude totiž vektor elektrické intenzity vždy kolmý ke Gaussově ploše, a proto platí \(\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\) (pozn. \(\vec{n}\) je jednotkový vektor).
S využitím těchto poznatků si upravíme integrál na levé straně Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{k} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_k E\mathrm{d}S\,.\]Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_\mathrm{k} \mathrm{d}S\,.\]Nyní vypočítáme integrál. Integrujeme-li dS přes povrch koule, získáme obsah povrchu této koule. (Pozn.: Můžeme si to představit tak, že dS jsou obsahy malých kousků povrchu koule. Jestliže všechny tyto kousky sečteme, získáme celý povrch koule.) Integrál je tedy roven
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E S_\mathrm{k}\,,\]kde Sk = 4πz2 je povrch Gaussovy koule:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 4 \pi z^2.\]Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*):
\[E 4 \pi z^2\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\]Vyjádříme velikost intenzity:
\[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}.\tag{**}\]Vzorec je stejný jako pro intenzitu elektrického pole v okolí bodového náboje. Pole v okolí nabité kulové vrstvy je tedy stejné jako pole v okolí bodového náboje.
Zbývá už jen vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.
Uvnitř plochy je celá nabitá vrstva, náboj tedy můžeme vyjádřit pomocí jejího objemu V a objemové hustoty náboje ρ:
\[Q\,=\,V \varrho\,=\,\frac{4}{3} \pi \left(b^3 - a^3\right) \varrho.\]Dosadíme do vzorce (**) a upravíme:
\[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{\frac{4}{3} \pi \left(b^3 - a^3\right) \varrho}{z^2}\,=\, \frac{\varrho \left(b^3 - a^3\right)}{3 \varepsilon_0\,z^2}.\]Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabité koule intenzitu:
\[E \,=\, \frac{\varrho \left(b^3 - a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\,. \]Řešení: Intenzita uvnitř nabité vrstvy
V tomto oddíle vyjádříme intenzitu elektrického pole uvnitř nabité kulové vrstvy (a < z < b ). Postup je velice podobný jako v předchozím oddíle: Intenzita vně nabité vrstvy, proto není komentován tak podrobně.
Elektrickou intenzitu vypočítáme pomocí Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\,,\tag{*}\]kde Q1 je náboj uvnitř zvolené Gaussovy plochy.
Za Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má střed ve středu nabité koule a poloměr z, a < z < b.
Stejnými úvahami o symetrii jako v předchozím oddíle odvodíme, že vektor intenzity má na celé ploše stejnou velikost a je kolmý na Gaussovu plochu, proto platí:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,\oint_\mathrm{k} En \mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{k} E \mathrm{d}S\,=\,E\oint_\mathrm{k} \mathrm{d}S\,,\]kde poslední integrál je roven povrchu Gaussovy koule:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,E\, 4 \pi z^2\,.\]Nyní vyjádříme náboj Q1. Protože Gaussova koule je menší než nabitá kulová vrstva, není uvnitř ní veškerý náboj, ale pouze jeho část. Náboj tedy vyjádříme pomocí zadané nábojové hustoty a objemu části vrstvy, která je uvnitř Gaussovy koule:
\[Q_1\,=\,V_1 \varrho \,=\, \frac{4}{3} \pi \left(z^3-a^3\right) \varrho\,.\]Oba získané vztahy dosadíme do Gaussovy věty (*):
\[E \,4\pi z^2\,=\, \frac{\frac{4}{3} \pi \left(z^3-a^3\right)\varrho}{\varepsilon_0}\]a vyjádříme velikost intenzity elektrického pole uvnitř nabité kulové vrstvy:
\[E \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,\frac{z^3-a^3}{z^2} \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,\left(z-\frac{a^3}{z^2} \right). \]Řešení: Intenzita uvnitř duté části
Intenzitu elektrického pole uvnitř duté části nabité vrstvy (z < a) určíme opět pomocí Gaussovy věty
\[\oint_S E \cdot \mathrm{d}S \,=\, \frac{Q}{\epsilon_0}\,,\]kde Q je náboj uzavřený uvnitř Gaussovy plochy.
Jako Gaussovu plochu zvolíme opět povrch koule se středem ve středu nabité vrstvy a o poloměru z. Tok intenzity touto plochou (tj. levou stranu Gaussovy věty) spočítáme úplně stejně jako v předchozích případech.
Protože zvolená plocha je uvnitř nabité vrstvy, není v ní uzavřen žádný náboj, tj. Q = 0.
Úprava levé strany Gaussovy věty by byla stejná jako v předchozích oddílech. Po dosazení nulového náboje je vidět, že elektrická intenzita je nulová.
Velikost intenzity elektrického pole uvnitř sféry je tedy rovna nule.
Řešení: Potenciál vně nabité vrstvy
Potenciál v bodě A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do bodu A. Nulový potenciál zvolíme v nekonečnu (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě):
\[\varphi (z)\,=\, - \int_{\infty}^\mathrm{z} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Protože intenzita elektrického pole závisí pouze na vzdálenosti od středu kulové vrstvy, závisí i potenciál elektrického pole pouze na vzdálenosti z od středu kulové vrstvy.
Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. (Cestu si volíme co nejjednodušší.) V této úloze jako integrační cestu zvolíme část přímky, která směřuje do středu koule.
Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z. \]Nyní musíme úlohu opět rozdělit na tři případy a spočítat zvlášť potenciál vně, uvnitř kulové vrstvy a uvnitř duté části.
Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z vně kulové vrstvy:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z. \]Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v oddíle Intenzita vně vrstvy:
\[ E \,=\, \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z^2}\]a vytkneme před integrál všechny konstanty:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z^2} \,\mathrm{d}z \,=\, - \,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z.\]Vypočítáme určitý integrál:
\[\varphi (z)\,=\,- \,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\left[- \frac{1}{z}\right]^\mathrm{z}_{\infty}\,.\]Dosadíme meze integrálu a získáme velikost potenciálu vně kulové vrstvy ve vzdálenosti z:
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\,.\]Pozn.: Jestliže do vztahu dosadíme vyjádření celkového náboje \(Q\,=\, \frac{4}{3}\pi \left(b^3-a^3\right)\varrho\), získáme stejný vztah jako pro potenciál v okolí bodového náboje:
\[ \varphi (z)\,=\, \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}.\]Řešení: Potenciál uvnitř vrstvy
Při výpočtu potenciálu uvnitř koule budeme postupovat podobně jako v předchozím oddíle. Potenciál vyjádříme ze vztahu: \[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z \,.\]Při vyjadřování potenciálu si musíme dát pozor na velikost intenzity. Tentokrát není intenzita elektrického pole vyjádřena podél celé integrační cesty stejným vztahem. Hranicí, kdy se vyjádření intenzity mění, je povrch kulové vrstvy. Proto je třeba celý integrál rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést z nekonečna na povrch kulové vrstvy (tj. do vzdálenosti b od středu vrstvy) a poté z povrchu kulové vrstvy dále dovnitř vrstvy:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{b}_{\infty} E_\mathrm{v} \mathrm{d}z - \int^\mathrm{z}_\mathrm{b} E_\mathrm{u} \mathrm{d}z. \]Dosadíme příslušnou velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v předchozích oddílech, a dostaneme:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{b}_{\infty} \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\, \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z \, - \int^\mathrm{z}_\mathrm{b} \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\, \left(z-\frac{a^3}{z^2}\right) \, \mathrm{d}z \,.\]Z integrálů vyjmeme konstanty:
\[\varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\int^\mathrm{b}_{\infty} \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z \,- \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\int^\mathrm{z}_\mathrm{b} \left(z-\frac{a^3}{z^2}\right)\, \mathrm{d}z \,,\]druhý integrál rozdělíme na dva integrály:
\[\varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\int^\mathrm{b}_{\infty} \frac{1}{z^2} \,\mathrm{d}z \,-\, \frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\int^\mathrm{z}_\mathrm{b} z\, \mathrm{d}z \, + \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\int^\mathrm{z}_\mathrm{b} \frac{a^3}{z^2}\, \mathrm{d}z\,\]a integrály vypočítáme: (Pozn.: První integrál jsme počítat nemuseli, stačilo dosadit z = b do výsledku předchozího oddílu.)
\[\varphi (z)\,=\, - \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\left[- \frac{1}{z}\right]^\mathrm{b}_{\infty}- \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\left[\frac{z^2}{2}\right]^z_{b} + \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\left[-\frac{a^3}{z}\right]^z_{b}\,.\]Dosadíme meze:
\[\varphi (z)\,=\,- \frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\left(- \frac{1}{b}\right)\,- \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\left(\frac{z^2}{2}-\frac{b^2}{2}\right) \,+ \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\left( -\frac{a^3}{z}\,+\frac{a^3}{b}\right)\,.\]Vzorec budeme ještě upravovat, abychom výsledek zjednodušili. Roznásobíme závorky a sečteme stejné členy:
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \frac{1}{b}\,- \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0}\left(\frac{z^2}{2}-\,\frac{b^2}{2}\right) \,+ \,\frac{ \varrho}{3 \varepsilon_0\,}\left( -\frac{a^3}{z}\,+\frac{a^3}{b}\right),\] \[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^3}{3 \varepsilon_0\, b} \,-\,\frac{\varrho a^3}{3 \varepsilon_0 b} \,-\,\frac{ \varrho z^2}{6 \varepsilon_0} \,+\,\frac{ \varrho b^2}{6 \varepsilon_0} \,- \,\frac{ \varrho a^3}{3 \varepsilon_0 \,z } \,+ \,\frac{ \varrho a^3}{3 \varepsilon_0\, b}.\]V prvním členu zkrátíme b a sečteme první člen se čtvrtým a druhý člen s posledním:
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho z^2}{6 \varepsilon_0} \,- \,\frac{ \varrho a^3}{3 \varepsilon_0 \,z }, \] \[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ z^2}{2 } +\,\frac{ a^3}{z}\right). \]Získali jsme vztah pro výpočet potenciálu uvnitř nabité vrstvy.
Řešení: Potenciál uvnitř duté části
Při výpočtu potenciálu uvnitř duté části kulové vrstvy budeme postupovat opět podobně jako v předchozích oddílech. Potenciál vyjádříme ze vztahu:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z \,.\]Při vyjadřování potenciálu si musíme dát opět pozor na velikost intenzity. Intenzita elektrického pole opět nemá stejné vyjádření podél celé integrační cesty.
Uvnitř duté části je intenzita elektrického pole nulová, proto při prodloužení integrační cesty uvnitř dutiny se již potenciál nebude měnit. Potenciál tedy zůstane konstantní a zároveň stejný jako na vnitřním povrchu kulové vrstvy.
Využijeme proto výsledku předchozího oddílu, do kterého dosadíme z = a:
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ z^2}{2 }+\,\frac{ a^3}{z}\right) \,=\,\frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ a^2}{2 } +\,\frac{ a^3}{a}\right).\]Upravíme výraz v závorce:
\[ \varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ a^2}{2 } +\, a^2 \right)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \frac{ 3a^2}{2 }\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho a^2}{2 \varepsilon_0} .\]Vytkneme \( \frac{\varrho}{2 \varepsilon_0}\) a získáme vztah pro výpočet potenciálu uvnitř duté části nabité kulové vrstvy:
\[ \varphi (z)\,=\,\frac{\varrho}{2 \varepsilon_0} \left(b^2-a^2\right).\]Odpověď
Ve všech případech míří vektor intenzity elektrického pole ze středu nebo ke středu kulové vrstvy (záleží na znaménku náboje).
Velikost intenzity vně nabité kulové vrstvy (z > b) je dána vztahem
\[E \,=\, \frac{\varrho \left(b^3 - a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\,=\, \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,.\]Velikost intenzity uvnitř vrstvy (a < z < b) je dána vztahem
\[E \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,\left(z-\frac{a^3}{z^2} \right) \,.\]Intenzita uvnitř duté části (z < a) je rovna nule.
Elektrický potenciál vně nabité kulové vrstvy je dán vztahem
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\,=\, \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,.\]Elektrický potenciál uvnitř nabité kulové vrstvy je dán vztahem
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ z^2}{2 }+\,\frac{ a^3}{z}\right)\,. \]Elektrický potenciál uvnitř duté části kulové vrstvy je konstantní a je roven
\[ \varphi (z)\,=\,\frac{\varrho}{2 \varepsilon_0} \left(b^2-a^2\right)\,.\]Grafy
Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od středu kulové vrstvy
Intenzita uvnitř duté části (z < a) je rovna nule.
Intenzita uvnitř vrstvy (a < z < b) má velikost
\[E \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,\left(z-\frac{a^3}{z^2} \right) \,.\]Intenzita vně nabité kulové vrstvy (z > b) má velikost
\[E \,=\, \frac{\varrho \left(b^3 - a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,.\]Graf funkce je spojitý. První část grafu (pro hodnoty z od 0 do a) tvoří konstantní funkce, která prochází počátkem. Na intervalu od a do b intenzita roste a pak pro vzdálenost z větší než b intenzita s druhou mocninou z klesá.
Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů na nabitých plochách, které v této úloze nejsou.
Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od středu koule
Elektrický potenciál uvnitř duté části kulové vrstvy je konstantní a je roven
\[ \varphi (z)\,=\,\frac{\varrho}{2 \varepsilon_0} \left(b^2-a^2\right)\,.\]Elektrický potenciál uvnitř nabité kulové vrstvy má velikost
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho b^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ z^2}{2 }+\,\frac{ a^3}{z}\right)\,. \]Elektrický potenciál vně nabité kulové vrstvy má velikost
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\,.\]Funkce je v bodě z = a i z = b spojitá. V těchto bodech má funkce spojité první derivace, proto je funkce v těchto bodech hladká.
Pozn.: Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě nabitých ploch má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.
Jak souvisí nabitá kulová vrstva a koule
Z výsledku této úlohy můžeme vyjádřit i intenzitu elektrického pole nabité koule. Jestliže budeme zmenšovat dutinu uvnitř nabité vrstvy až nakonec bude a = 0 a označíme b = R, získáme kouli o poloměru R, která je rovnoměrně nabita nábojem s objemovou hustotou ρ.
Dosadíme-li tedy do vzorců a = 0 a b = R, měli bychom získat stejný výsledek jako v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.
Intenzita vně nabité koule:
\[E\,=\, \frac{\varrho\left( R^3-0\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}. \]Intenzita uvnitř nabité koule:
\[E \,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,\left(z-\frac{0}{z^2}\right)\,=\, \frac{\varrho}{3 \varepsilon_0}\,z. \]Potenciál vně nabité koule:
\[\varphi(z)\,=\, \frac{\varrho\left( R^3-0\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z} \,=\, \frac{\varrho R^3}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,.\]Potenciál uvnitř nabité koule:
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho R^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho }{3 \varepsilon_0} \left( \frac{ z^2}{2 }+\,\frac{ 0^3}{z}\right)\,=\, \frac{\varrho R^2}{2 \varepsilon_0} \,-\,\frac{ \varrho z^2}{6 \varepsilon_0}, \] \[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho R^2}{6 \varepsilon_0} \left(3-\frac{ z^2}{R^2} \right) \,. \]Vidíme, že vztahy opravdu souhlasí.
Jak souvisí nabitá kulová vrstva s nabitou sférou
Sféra je vlastně velmi tenká kulová vrstva. Budeme-li zvětšovat dutinu uvnitř vrstvy až nakonec bude a = b = R, získáme sféru o poloměru R. Pro sféru ale nemá smysl uvažovat objemovou hustotu náboje, ale hustotu plošnou. Souvislost plošné a objemové hustoty je dána vzorcem
\[\sigma\,=\,\varrho \mathrm{\Delta}R,\]kde ΔR je tloušťka sféry, a tedy ΔR = b−a.
Vzorec pro intenzitu vně vrstvy tedy upravíme, abychom z něj vytkli vztah pro plošnou hustotu. Výraz v závorce rozložíme:
\[E \,=\, \frac{\varrho \left(b^3 - a^3\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,=\, \frac{\varrho \left(b - a\right) \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} .\]První závorka v čitateli je rovna tloušťce sféry ΔR:
\[E \,=\, \frac{\varrho \mathrm{\Delta}R \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\,=\, \frac{\sigma \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}. \]Dosadíme a = b = R:
\[E \,=\, \frac{\sigma \left(R^2 +R^2+ R^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\,=\, \frac{\sigma 3R^2 }{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,=\, \frac{\sigma R^2 }{ \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}.\]Získali jsme výpočet intenzity vně kulové sféry.
Uvnitř sféry je intenzita rovna nule.
Při výpočtu potenciálu vně sféry musíme vzorec opět upravit, abychom v něm získali plošnou hustotu. Výraz v závorce rozložíme stejně jako u intenzity:
\[\varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^3-a^3\right)}{3 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\,=\,\frac{\varrho \left(b - a\right) \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0}\frac{1}{z},\] \[\varphi (z)\,=\, \frac{\varrho \mathrm{\Delta}R \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,=\, \frac{\sigma \left(b^2 +ba+ a^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,.\]Dosadíme a = b = R:
\[\varphi (z)\,=\, \frac{\sigma \left(R^2 +R^2+ R^2\right)}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,=\, \frac{\sigma 3 R^2}{3 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,,\] \[\varphi (z)\,=\, \frac{\sigma R^2}{ \varepsilon_0} \, \frac{1}{z}\,.\]Zbývá vyjádřit potenciál uvnitř sféry. Nejdříve opět rozložíme výraz v závorce:
\[ \varphi (z)\,=\,\frac{\varrho \left(b^2-a^2\right)}{2 \varepsilon_0} \,=\,\frac{\varrho \left(b-a\right)\left(b+a\right)}{2 \varepsilon_0} \,=\,\frac{\varrho \mathrm{\Delta}R \left(b+a\right)}{2 \varepsilon_0}\,=\,\frac{\sigma \left(b+a\right)}{2 \varepsilon_0}\,.\]Dosadíme a = b = R:
\[ \varphi (z)\,=\,\frac{\sigma \left(R+R\right)}{2 \varepsilon_0}\,=\,\frac{\sigma 2R}{2 \varepsilon_0},\] \[ \varphi (z)\,=\,\frac{\sigma R}{ \varepsilon_0}\,.\]Získali jsme stejné vztahy jako v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry.
Odkaz na související úlohy
Speciálním případem nabité kulové vrstvy je velmi tenká vrstva jako v úloze Pole rovnoměrně nabité sféry anebo naopak plná koule jako v úloze Pole rovnoměrně nabité koule. Obě úlohy jsou početně jednodušší.
