Bočník a předřadný rezistor
Úloha číslo: 25
Miliampérmetr se stupnicí do 15 mA má vnitřní odpor Rm = 5 Ω. Jak je třeba k přístroji připojit rezistor a jaký odpor musí tento rezistor mít, abychom mohli tímto přístrojem měřit:
a) proudy do 0,15 A?
b) napětí do 150 V?
Nápověda 1
Nechceme-li poškodit přístroj, musíme přidat takový odpor, aby proud procházející přístrojem nepřesáhl hodnotu 15 mA.Nápověda 2
Voltmetr a ampérmetr se neliší konstrukcí, ale způsobem zapojení do obvodu a vnitřním odporem. Uvědomte si, že dle Ohmova zákona je proud protékající přístrojem přímo úměrný napětí.
Rozbor
Připomeňme si nejprve základní vlastnosti zapojení rezistorů:
Zapojíme-li rezistory do obvodu sériově, tak proud procházející jednotlivými rezistory je stejný a celkové napětí je rovno součtu napětí na rezistorech. Při sériovém spojení rezistorů je celkový odpor roven součtu jednotlivých odporů.
Pokud zapojíme rezistory do obvodu paralelně, potom se proudy procházející jednotlivými rezistory budou sčítat a napětí na rezistorech je stejné. Pro paralelní zapojení rezistorů platí, že převrácená hodnota celkového odporu je rovna součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů.
a) Jestliže potřebujeme měřit proud, jehož hodnota je vyšší než hodnota, kterou dovoluje změřit měřicí přístroj, potom k tomuto přístroji paralelně připojíme rezistor s vhodným odporem. Přidanému rezistoru se říká bočník. Celkový proud protékající obvodem se rovná součtu proudu tekoucímu měřicím přístrojem a bočníkem.
b) Nejprve se zamysleme nad tím, jak určit „povolené“ napětí na našem měřicím přístroji.
Dovolené napětí je maximální napětí, při kterém se „měřák“ nepoškodí. Jeho hodnotu získáme z Ohmova zákona jako vnitřní odpor přístroje násobený maximálním povoleným proudem.
Pro měření napětí, které je vyšší než dovolené napětí na měřicím přístroji, připojíme rezistor „k měřáku“ sériově. Tento přidaný rezistor se nazývá předřadný rezistor. Celkové měřené napětí se rovná součtu napětí na přístroji a předřadném rezistoru.
Řešení části a)
Potřebujeme, aby celkový proud I procházející obvodem byl větší než proud procházející miliampérmetrem Im, proto rezistor připojíme k přístroji paralelně (tzv. bočník).
Protože jsme rezistor připojili do obvodu paralelně, tak platí:
\[U_\mathrm{B}\,=\,U_\mathrm{m}\,=\,R_\mathrm{m}I_\mathrm{m}\] \[I\,=\,I_\mathrm{m}+I_\mathrm{B}\,. \]Z Ohmova zákona víme, že:
\[R_\mathrm{B}\,=\, \frac{U_\mathrm{B}}{I_\mathrm{B}}\,.\]Po dosazení dostaneme vztah pro odpor bočníku:
\[R_\mathrm{B}\,=\, \frac{R_\mathrm{m} I_\mathrm{m}}{I-I_\mathrm{m}}\,. \]Řešení části b)
Potřebujeme, aby celkové měřené napětí bylo 150 V.
Dovolené napětí na přístroji vypočteme pomocí dovoleného proudu:
\[U_\mathrm{m}\,=\,R_\mathrm{m}I_\mathrm{m}\,=\,5{\cdot} 0{,}015\,\mathrm{V}\,=\,0{,}075\,\mathrm{V}\,.\]Celkové napětí, které chceme měřit, je tedy vyšší než napětí dovolené na měřicím přístroji. Proto rezistor k přístroji připojíme sériově (tzv. předřadný rezistor).
Rezistor jsme připojili sériově, takže pro napětí a proud na tomto rezistoru platí:
\[U_\mathrm{P}\,=\,U - U_\mathrm{m}\,=\,U - R_\mathrm{m}I_\mathrm{m}\] \[I_\mathrm{P}\,=\,I_\mathrm{m}\,. \]Ohmův zákon říká, že:
\[R_\mathrm{P}\,=\, \frac{U_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}}\,.\]Po dosazení dostáváme
\[R_\mathrm{P}\,=\, \frac{U - R_\mathrm{m} I_\mathrm{m}}{I_\mathrm{m}}\] \[R_\mathrm{P}\,=\, \frac{U}{I_\mathrm{m}} - R_\mathrm{m}\,. \]Zápis a číselné dosazení
\(I_{\mathrm{m}}\,=\,15\,\mathrm{mA}\,=\,0{,}015\,\mathrm{A}\) maximální hodnota proudu na miliampérmetru \(R_\mathrm{m}\,=\,5\,\mathrm{\Omega}\) odpor miliampérmetru \(I\,=\,0{,}15\,\mathrm{A}\) proud, který chceme miliampérmetrem měřit \(U\,=\,150\,\mathrm{V}\) celkové měřené napětí \(R_\mathrm{B}\,=\,?\,\mathrm{(\Omega)}\) odpor bočníku \(R_\mathrm{P}\,=\,?\,\mathrm{(\Omega)}\) odpor předřadného rezistoru
\[R_\mathrm{B}\,=\, \frac{R_\mathrm{m} I_\mathrm{m}}{I-I_\mathrm{m}}\,=\, \frac{5}{9}\,\mathrm{\Omega}\,\dot{=}\,0{,}56\, \mathrm{\Omega}\] \[R_\mathrm{P}\,=\, \frac{U}{I_\mathrm{m}}-R_\mathrm{m}\,=\,9\,995\,\mathrm{\Omega}\,\dot{=}\,10\,000\,\mathrm{\Omega}\]Odpověď
Aby bylo možné měřit proudy do 0,15 A, musíme k přístroji připojit paralelně rezistor s odporem přibližně 0,56 Ω.
Abychom mohli měřit napětí do 150 V, musíme k přístroji připojit sériově rezistor o odporu přibližně 10 000 Ω.
