Pohyb částice po kružnici v homogenním magnetickém poli
Úloha číslo: 57
Částice α se pohybuje po kružnici o poloměru 4,5 cm v magnetickém poli o indukci 1,2 T. Vypočtěte:
a) velikost její rychlosti,
b) periodu jejího oběhu,
c) její kinetickou energii (v jednotkách eV),
d) napětí, kterým musí být urychlena z klidu, aby dosáhla této energie.
Částice α má náboj Q = +2e a hmotnost m = 4 u, kde 1 u = 1,661·10-27 kg.
Nápověda
Uvědomte si:
a) Jaké síly působí na částici v magnetickém poli.
b) Jaký platí vztah pro periodu neboli dobu jednoho oběhu.
c) Jaký platí vztah pro kinetickou energii a jak musíme výslednou hodnotu upravit, aby byla v jednotkách eV.
d) Při výpočtu napětí, kterým musí být částice urychlena, využijte zákona zachování energie — změna kinetické energie se rovná změně potenciálové energie.
Nápověda - vztah mezi jednotkami joule a elektronvolt
Elektronvolt (eV) je jednotka energie. Odpovídá kinetické energii, kterou získá jeden elektron urychlený napětím jednoho voltu. Elektronvolt není mezi standardními jednotkami soustavy SI, přesto se často používá k měření velmi malých množství energie. Převod na základní jednotku joule je následující:
\[1\,\mathrm{eV}=1{,}602{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}.\]Rozbor
a) Jestliže se částice pohybuje rovnoměrně po kružnici, pro její pohyb platí podle druhého Newtonova zákona vztah, ve kterém vystupuje dostředivá síla Fd. Tato síla se ale rovná síle magnetického pole Fm, protože ta trajektorii částice v magnetickém poli zakřivuje. Obě síly vyjádříme a porovnáme.
b) Perioda, tedy doba potřebná pro jeden oběh, je rovna podílu obvodu kružnice a rychlosti částice α.
c) Kinetickou energii spočítáme ze známé hmotnosti a rychlosti částice. Výsledek ale bude v jednotkách joule. Pro převod na elektrovolty musíme výsledek vydělit hodnotou 1,6·10-19, protože platí 1 eV = 1,6·10-19 J.
d) Pro výpočet napětí U, kterým musí být častice urychlena z klidu, aby dosáhla dané energie, využijeme zákon zachování energie. Protože před urychlováním byla částice α v klidu, její kinetická energie na konci urychlování se musí rovnat změně potenciální energie. Změna potenciální energie je úměrná náboji částice a urychlovacímu napětí.
Řešení
a) Rychlost částice α vyjádříme z toho, že magnetická síla je zde vlastně silou dostředivou:
\[F_\mathrm{m}=F_\mathrm{d}.\]Dosadíme vztahy pro magnetickou a dostředivou sílu:
\[BvQ=m\frac{v^2}{r}.\]Z rovnice vyjádříme hledanou rychlost v částice α:
\[v=\frac{BQr}{m}.\]b) Periodu T (tj. dobu potřebnou pro 1 oběh) určíme z obvodu kružnice a rychlosti částice:
\[T=\frac{2\pi r}{v}\]Za rychlost v dosadíme vztah získaný v části a)
\[T=\frac{2\pi r}{\frac{BQt}{m}}=\frac{2\pi m}{QB}.\]c) Pro kinetickou energii Ek platí:
\[E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{BQr}{m}\right)^{2}=\frac{(BQr)^{2}}{2m}.\]Jelikož chceme výsledek v jednotkách eV, vynásobíme ho hodnotou 1,6·1019.
d) Pro výpočet napětí U využijeme zákona zachování energie, který říká, že se kinetická energie rovná změně potenciální energie:
\[E_\mathrm{k}=\Delta E_\mathrm{p}\] \[\frac{1}{2}mv^{2}=UQ\] \[U=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{Q}.\]Za rychlost v dosadíme vztah získaný v části a)
\[U=\frac {\frac{1}{2} m\left(\frac{BQr}{m}\right)^{2}}{Q}=\frac{1}{2}\,\frac{Q}{m}\,(Br)^{2}.\]Zápis a číselné dosazení
\(Q=2e\) náboj částice \(m=4\,\mathrm{u}\) hmotnost částice \(r=0{,}045\,\mathrm{m}\) poloměr trajektorie částice \(B=1{,}2\,\mathrm{T}\) magnetická indukce pole \(v=\mathrm{?}\,\mathrm{(ms^{-1})}\) rychlost částice \(T=\mathrm{?}\,\mathrm{(s)}\) perioda oběhu částice \(E=\mathrm{?}\,\mathrm{(J)}\) kinetická energie částice \(U=\mathrm{?}\,\mathrm{(V)}\) napětí urychlující částici Z tabulek: \(1\,\mathrm{u}=1{,}661 {\cdot} 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) atomová hmotnostní konstanta \(e=1{,}6{\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\) elementární elektrický náboj
\[\mathrm{a)}\hspace{10px}v=\frac{BQr}{m}=\frac{1{,}2{\cdot}2\cdot1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot0{,}045}{4{\cdot}1{,}661{\cdot}10^{-27}}\,\mathrm{ms}^{-1}=2{,}6{\cdot}10^6\,\mathrm{ms}^{-1}\] \[\mathrm{b)}\hspace{10px}T=\frac{2\pi m}{QB}=\frac{2\cdot\pi\cdot4{\cdot}1{,}661{\cdot}10^{-27}}{2{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot1{,}2}\,\mathrm{s}=1{,}09{\cdot}10^{-7}\,\mathrm{s}=109\,\mathrm{ns}\] \[\mathrm{c)}\hspace{10px}E=\frac{(BQr)^{2}}{2m}=\frac{(1{,}2{\cdot} 2\cdot1{,}6{\cdot} 10^{-19}\cdot 0{,}045)^{2}}{2{\cdot} 4\cdot1{,}661 {\cdot} 10^{-27}}\,\mathrm{J}=22{,}5{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}\] \[\,\,\,\,\,\,\,\,E=22{,}5{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}=0{,}140\,\mathrm{MeV}\] \[d)\,\,\,U=\frac{E}{Q}=\frac{22{,}5{\cdot}10^{-15}}{2{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}}\,\mathrm{V}=70\,\mathrm{kV}\]Odpověď
Částice α se bude pohybovat rychlostí v = 2,6·106 m s-1, perioda jejího oběhu bude T = 1,09·10-7 s, její kinetická energie E = 0,140 MeV a napětí, které ji urychlí, musí mít velikost U = 70 kV.
