Pohyb částice po kružnici v homogenním magnetickém poli

Úloha číslo: 57

Částice α se pohybuje po kružnici o poloměru 4,5 cm v magnetickém poli o indukci 1,2 T. Vypočtěte:

a) velikost její rychlosti,

b) periodu jejího oběhu,

c) její kinetickou energii (v jednotkách eV),

d) napětí, kterým musí být urychlena z klidu, aby dosáhla této energie.

Částice α má náboj Q = +2e a hmotnost m = 4 u, kde 1 u = 1,661·10-27 kg.

  • Nápověda

    Uvědomte si:

    a) Jaké síly působí na částici v magnetickém poli.

    b) Jaký platí vztah pro periodu, nebo-li dobu jednoho oběhu.

    c) Jaký platí vztah pro kinetickou energii a jak musíme výslednou hodnotu upravit, aby byla v jednotkách eV.

    d) Při výpočtu napětí, kterým musí být částice urychlena, využijte zákona zachování energie - změna kinetické energie se rovná změně potenciálové energie.

  • Nápověda - vztah mezi jednotkami joule a elektronvolt

    Elektronvolt (eV) je jednotka energie. Odpovídá kinetické energii, kterou získá jeden elektron urychlený napětím jednoho voltu. Elektronvolt není mezi standardními jednotkami soustavy SI, přesto se často používá k měření velmi malých množství energie. Převod na základní jednotku joule je následující.

    \[1\,\mathrm{eV}=1{,}602{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}\]
  • Rozbor

    a) Jestliže se částice pohybuje rovnoměrně po kružnici, pro její pohyb platí podle druhého Newtonova zákona vztah, ve kterém vystupuje dostředivá síla Fd. Tato síla se ale rovná síle magnetického pole Fm, protože ta trajektorii částice v magnetickém poli zakřivuje. Obě síly vyjádříme a porovnáme.

    b) Perioda, tedy doba potřebná pro jeden oběh, je rovna podílu obvodu kružnice a rychlosti částice α.

    c) Kinetickou energii spočteme ze známé hmotnosti a rychlosti částice. Výsledek ale bude v jednotkách joule. Pro převod na elektrovolty musíme výsledek vynásobit hodnotou 1,6·1019, protože platí 1 eV = 1,6·10-19 J.

    d) Pro výpočet napětí U, kterým musí být častice urychlena z klidu, aby dosáhla dané energie, využijeme zákon zachování energie. Protože před urychlování byla částice α v klidu, její kinetická energie na konci urychlování se musí rovnat změně potenciální energii. Změna potenciální energie je úměrná náboji částice a urychlovacímu napětí.

  • Řešení

    a) Rychlost částice α vyjádříme z toho, že magnetická síla je zde vlastně silou dostředivou:

    \[F_m=F_d\]

    Dosadíme vztahy pro magnetickou a dostředivou sílu

    \[BvQ=m\frac{v^2}{r}\]

    Z rovnice vyjádříme hledanou rychlost v částice α

    \[v=\frac{BQr}{m}\]

    b) Periodu T (tj. dobu potřebnou pro 1 oběh) určíme z obvodu kružnice a rychlosti částice:

    \[T=\frac{2\pi r}{v}\]

    Za rychlost v dosadíme vztah získaný v části a)

    \[T=\frac{2\pi r}{\frac{BQt}{m}}=\frac{2\pi m}{QB}\]

    c) Pro kinetickou energii Ek platí:

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{BQr}{m}\right)^{2}=\frac{(BQr)^{2}}{2m}\]

    Jelikož chceme výsledek v jednotkách eV, vynásobíme ho hodnotou 1,6·1019.

    d) Pro výpočet napětí U využijeme zákona zachování energie, který říká, že se kinetická energie rovná změně potenciální energie.

    \[E_k=\Delta E_p\] \[\frac{1}{2}mv^{2}=UQ\] \[U=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{Q}\]

    Za rychlost v dosadíme vztah získaný v části a)

    \[U=\frac {\frac{1}{2} m\left(\frac{BQr}{m}\right)^{2}}{Q}=\frac{1}{2}\,\frac{Q}{m}\,(Br)^{2}\]
  • Zápis a číselné dosazení

    \(Q=2e\) náboj částice
    \(m=4\,\mathrm{u}\) hmostnost částice
    \(r=0{,}045\,\mathrm{m}\) poloměr trajektorie částice
    \(B=1{,}2\,\mathrm{T}\) magnetická indukce pole
    \(v=\mathrm{?}\,\mathrm{(ms^{-1})}\) rychlost částice
    \(T=\mathrm{?}\,\mathrm{(s)}\) perioda oběhu částice
    \(E=\mathrm{?}\,\mathrm{(J)}\) kinetická energie částice
    \(U=\mathrm{?}\,\mathrm{(V)}\) napětí urychlující částici
    Z tabulek:
    \(1\,\mathrm{u}=1{,}661 {\cdot} 10^{-27}\,\mathrm{kg}\) atomová hmotnostní konstanta
    \(e=1{,}6{\cdot} 10^{-19}\,\mathrm{C}\) elementární elektrický náboj

    \[\mathrm{a)}\hspace{10px}v=\frac{BQr}{m}=\frac{1{,}2{\cdot}2\cdot1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot0{,}045}{4{\cdot}1{,}661{\cdot}10^{-27}}\,\mathrm{ms}^{-1}=2{,}6{\cdot}10^6\,\mathrm{ms}^{-1}\] \[\mathrm{b)}\hspace{10px}T=\frac{2\pi m}{QB}=\frac{2\cdot\pi\cdot4{\cdot}1{,}661{\cdot}10^{-27}}{2{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot1{,}2}\,\mathrm{s}=1{,}09{\cdot}10^{-7}\,\mathrm{s}=109\,\mathrm{ns}\] \[\mathrm{c)}\hspace{10px}E=\frac{(BQr)^{2}}{2m}=\frac{(1{,}2{\cdot} 2\cdot1{,}6{\cdot} 10^{-19}\cdot 0{,}045)^{2}}{2{\cdot} 4\cdot1{,}661 {\cdot} 10^{-27}}\,\mathrm{J}=22{,}5{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}\] \[\,\,\,\,\,\,\,\,E=22{,}5{\cdot}10^{-15}\,\mathrm{J}=0{,}140\,\mathrm{MeV}\] \[d)\,\,\,U=\frac{E}{Q}=\frac{22{,}5{\cdot}10^{-15}}{2{\cdot}1{,}6{\cdot}10^{-19}}\,\mathrm{V}=70\,\mathrm{kV}\]
  • Odpověď

    Částice α se bude pohybovat rychlostí v = 2,6·106 m s-1, perioda jejího oběhu bude T = 1,09·10-7 s, její kinetická energie E = 0,140 MeV a napětí, které jí urychlí, musí mít velikost U = 70 kV.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze