Koeficient polarizovatelnosti atomu vodíku

Úloha číslo: 198

Podle výsledků kvantové mechaniky má elektronový obal atomu vodíku v základním stavu nábojovou hustotu popsanou vztahem

\[\varrho(r) = \frac{q}{\pi a^3}e^{-2r/a},\]

kde q (= e) je náboj elektronu a a je Bohrův poloměr. Najděte koeficient atomové polarizovatelnosti pro takový atom vodíku.

  • Odkaz na jednodušší úlohu

    O něco jednodušší je podobná úloha Koeficient polarizovatelnosti

  • Nápověda 1

    Určete průběh intenzity elektrického pole vyvolaného elektronovým obalem v závislosti na vzdálenosti od středu atomu.

    K tomu můžete použít například Gaussovu větu.

  • Nápověda 2

    Na základě znalosti vnitřního pole atomového obalu určete vztah mezi intenzitou E vnějšího pole a posunutím d atomového jádra ze středu atomu. Předpokládejte, že toto posunutí d je natolik malé, že můžete zanedbat jakékoliv změny v atomovém obalu, které tímto posunutím jádra nastanou.

  • Nápověda 3

    Protože posunutí d je velmi malé, rozhodně \(d\ll a\), můžeme použít vhodné aproximace. Rozviňte ve vztahu Ei(d) exponenciálu v řadu podle vztahu

    \[e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

    a v rozvoji zanedbejte všechny členy kromě těch s nejnižším řádem d.

    Návod: z rozvoje exponenciály vezměte první čtyři členy. Pokud byste jich vzali méně, vyšla by vám aproximace nulová. Pokud byste jich vzali více, zbytečně byste si přidělávali práci s výpočty.

    Proč potřebujeme právě první čtyři členy, tedy rozvoj do d3, lze vytušit z toho, že očekáváme po aproximaci lineární závislost intenzity E na proměnné d (to abychom posléze člen qd mohli nahradit dipólovým momentem) a před exponenciálou je přítomen člen 1/d2.

  • Nápověda 4

    Porovnejte získaný vztah pro E se vztahem E = α p, přičemž si uvědomte, že pro dipólový moment p platí vztah p = qd. Tím vypočtete koeficient polarizovatelnosti α.

  • Rozbor

    Postup řešení úlohy rozdělíme na několik částí.

    Bez působení vnějšího pole je jádro atomu v jeho středu a pole elektronového obalu atomu je určeno rozložením náboje, jenž je popsáno rovnicí uvedenou v zadání úlohy. Situaci pokládáme (zjednodušeně) za zcela rovnovážnou, v podstatě tedy za zcela neměnnou v čase.

    1. Při sepnutí vnějšího pole se rovnováha poruší a dojde k ději, který můžeme zjednodušeně modelovat jako malé posunutí jádra ze středu atomu. Přitom předpokládejme, že toto posunutí je velice malé; zanedbáme tedy změny v rozložení (a následně změny ve vytvářeném poli) elektronového obalu.

    2. Abychom mohli vyjádřit vztah mezi velikostí vnějšího pole E a posunutím jádra d z rovnovážné polohy, musíme ovšem spočítat, jaké pole je buzeno atomovým obalem. K tomu využijeme Gaussovu větu elektrostatiky a radiální symetrii rozložení náboje.

    3. Určíme-li průběh intenzity pole buzeného atomovým obalem, můžeme určit závislost mezi vnějším polem E a posunutí jádra d z rovnovážné polohy. To bude tak velké, aby se vyrovnalo působení (to jest velikost intenzit) pole vnějšího a pole vnitřního, které budí atomový obal.

    4. Získaná závislost E = E(d) může být obecně složitá. Nás z ní bude ovšem zajímat pouze první nenulový člen Taylorova rozvoje (velikosti náboje jádra a obalu jsou totožné, je tedy rozumné očekávat, že půjde právě o dipólový člen, který bude dominantní).

    Jinak řečeno, složitou závislost E = E(d) se pokusíme rozumně zjednodušit polynomiální aproximací, v níž ponecháme pouze nejnižší mocniny d. Vzhledem k tomu, že jde o velmi malou veličinu (vzhledem k poloměru atomu vodíku), nedopustíme se zřejmě podstatné chyby.

    5. Nakonec porovnáme získaný aproximovaný vztah E = E(d) se vztahem p = α E, kde α je hledaný koeficient polarizovatelnosti a p = qd je dipólový moment výsledného uspořádání po posunutí jádra z rovnováhy vnějším polem. Porovnání obou vztahů nám umožní vypočíst hledaný koeficient.

  • Řešení (stručné shrnutí)

    Podrobné řešení najdete přímo v řešení jednotlivých nápověd k úloze. Zde je jenom stručné shrnutí jednotlivých kroků.

    Z kulové symetrie rozložení náboje a podle Gaussova zákona, aplikovaného na kouli o poloměru r se středem v jádře atomu (ještě za rovnovážného stavu), dostaneme, že vnitřní pole buzené atomovým obalem je radiální a jeho intenzita je

    \[E_i(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\left[1-e^{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right].\]

    Po sepnutí vnějšího pole se proton v jádře posune o vzdálenost d od centra tak, aby se působení od vnějšího pole E a vnitřního pole Ei vyrovnalo. Pak tedy

    \[E = E_i(d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\left[1-e^{-2d/a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)\right].\]

    Nyní rozvedeme exponenciálu v řadu, dostaneme, že

    \[1-e^{-2d/a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right) \approx \frac{4}{3}\frac{d^3}{a^3} + \ldots\]

    kde tři tečky značí členy s vyšší mocninou d. Ty zanedbáme, takže

    \[E \dot{=} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\frac{4}{3}\frac{d^3}{a^3} = \frac{qd}{3\pi\varepsilon_0a^3}\]

    a porovnáním se vztahem p = α E = αqd dostaneme

    \[\alpha \overset{\cdot}{=} 3\pi\varepsilon_0a^3 = \frac{9}{4}\varepsilon_0V.\]
  • Odpověď

    Koeficient polarizovatelnosti α atomu vodíku je \( 3\pi\varepsilon_0a^3 = \frac{9}{4}\varepsilon_0V,\) kde a je (Bohrův) poloměr atomu vodíku a V jeho objem.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze