Sbírka řešených úloh

Koeficient polarizovatelnosti atomu vodíku

Úloha číslo: 198

• Odkaz na jednodušší úlohu

  O něco jednodušší je podobná úloha Koeficient polarizovatelnosti.

• Nápověda 1

  Určete průběh intenzity elektrického pole vyvolaného elektronovým obalem v závislosti na vzdálenosti od středu atomu.

  K tomu můžete použít například Gaussovu větu.

• Řešení nápovědy 1

  Prozraďme ihned odpověď. Použitím Gaussovy věty dostaneme

  \[E_\mathrm{i}(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\left[1-e^{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right].\]

  Podívejme se podrobněji na postup výpočtu.

  Hustota náboje je sféricky symetrická. Rozložení náboje si tedy můžeme představit jako poslepované kulové sféry s rovnoměrně rozloženým plošným nábojem. Přitom na kulové slupce o poloměru s a velmi malé tloušťce ds bude rozložen náboj:

  dQ = objem kulové slupky · hustota náboje
       = plocha sféry · tloušťka slupky · hustota náboje,

  tedy

  \[{\rm d}Q = {\rm d}V \cdot \varrho = S\cdot {\rm d}s\cdot \varrho(s) = 4\pi s^2\cdot {\rm d}s\cdot \varrho(s).\]

  Ze symetrie vyplývá, že pole buzené sférou s rovnoměrně rozloženým nábojem, je radiální a kulově symetrické (tj. jeho velikost závisí jen na vzdálenosti od středu sféry). Protože intenzita elektrického pole se řídí principem superpozice, bude celkové pole tvořené složením takových sfér také radiální.

  Díky tomu můžeme použít Gaussovu větu na kulovou sféru o poloměru r. Gaussova věta tvrdí, že

  \[\oint {\vec E_\mathrm{i}}\cdot {\rm d}{\vec S} = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}\, ,\tag{1}\]

  kde Q_int značí náboj uvnitř této kulové sféry. Protože pole je radiální a kulově symetrické, je v každém místě dané sféry vektor elektrické intenzity \(\vec{E}_\mathrm{i}\) pole kolmý na sférickou plochu a má stejnou velikost E(r). Levá strana je tedy rovna

  \[\oint {\vec E_\mathrm{i}}\cdot {\rm d}{\vec S} = E_i(r)\cdot 4\pi r^2.\tag{2}\]

  Na pravé straně musíme spočítat, jaký náboj je uvnitř této sféry. Ten dostaneme integrací přes jednotlivé slupky uvnitř sféry:

  \[Q_\mathrm{int} = \int_\mathrm{V} {\rm d}Q = \int_0^\mathrm{r} 4\pi\varrho(s) s^2\,{\rm d}s = \int_0^\mathrm{r} 4\pi\frac{q}{\pi a^3}e^{-2s/a} s^2\,{\rm d}s = \frac{4q}{a^3}\int_0^\mathrm{r} e^{-2s/a}s^2\,{\rm d}s\ .\]

  Tento integrál lze spočítat použitím metody per partes, podrobný výpočet naleznete níže. Zde prozradíme, že vyjde:

  \[\int_0^\mathrm{r} e^{-2s/a}s^2\,ds = \frac{a^3}{4}\left[-e^{-2r/a}\left(\frac{2r^2}{a^2} + \frac{2r}{a} + 1\right)+1\right].\]

  Dosazením a provedením algebraických úprav dostaneme:

  \[Q_\mathrm{int} = q\left[1-e^{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right].\tag{3}\]

  Dosadíme vztahy (2) a (3) do vztahu (1), čímž dostaneme:

  \[E_\mathrm{i}(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\left[1-e^\mathrm{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right],\]

  odkud jednoduchým podělením vyplývá hledaný vztah pro intenzitu pole:

  \[E_\mathrm{i}(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\left[1-e^\mathrm{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right].\]

• Výpočet integrálu

  Popišme podrobně výpočet integrálu

  \[\int_0^\mathrm{r} e^\mathrm{-2s/a}s^2\,\mathrm{d}s. \]

  Spočítáme jej použitím metody per partes, přičemž exponenciálu budeme integrovat a mocninu derivovat:

  \[\int_0^\mathrm{r} e^\mathrm{-2s/a}s^2\,\mathrm{d}s = \left[-\frac{a}{2}e^\mathrm{-2s/a}s^2\right]_0^\mathrm{r} - \int_0^\mathrm{r} -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2s/a}2s\,\mathrm{d}s =.\]

  Do závorky dosadíme meze:

  \[= -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}r^2 + a \int_0^\mathrm{r} e^\mathrm{-2s/a}s\,\mathrm{d}s = \]

  a na integrál znovu aplikujeme metodu per partes. Opět exponenciálu integrujeme a mocninu derivujeme:

  \[= -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}r^2 + a\left[-\frac{a}{2}e^\mathrm{-2s/a}s\right]_0^\mathrm{r} - a \int_0^\mathrm{r} -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2s/a}\,\mathrm{d}s = ,\]

  do závorky opět dosadíme meze a zbylý integrál již umíme vypočítat přímo:

  \[= -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}r^2 - \frac{a^2}{2}e^\mathrm{-2r/a}r + \frac{a^2}{2} \int_0^\mathrm{r} e^\mathrm{-2s/a}\,\mathrm{d}s = -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}r^2 - \frac{a^2}{2}e^\mathrm{-2r/a}r + \frac{a^2}{2} \left[-\frac{a}{2}e^\mathrm{-2s/a}\right]_0^\mathrm{r} = ,\]

  nakonec po dosazení provedeme algebraické úpravy, které výsledný vztah zjednoduší:

  \[= -\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}r^2 - \frac{a^2}{2}e^\mathrm{-2r/a}r + \frac{a^2}{2} \left[\frac{a}{2}-\frac{a}{2}e^\mathrm{-2r/a}\right] = \frac{a^3}{4}\left[-e^\mathrm{-2r/a}\left(\frac{2r^2}{a^2} + \frac{2r}{a} + 1\right)+1\right].\]

• Nápověda 2

  Na základě znalosti vnitřního pole atomového obalu určete vztah mezi intenzitou E vnějšího pole a posunutím d atomového jádra ze středu atomu. Předpokládejte, že toto posunutí d je natolik malé, že můžete zanedbat jakékoliv změny v atomovém obalu, které tímto posunutím jádra nastanou.

• Řešení nápovědy 2

  Tato část není složitá. Jádro se posune do takové vzdálenosti d od středu atomu, aby se velikost intenzity vnějšího pole E a vnitřního pole elektronového obalu atomu E_i vyrovnala. Pro vzdálenost d tedy platí

  \[E = E_\mathrm{i}(d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\left[1-e^{-2d/a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)\right].\]

• Nápověda 3

  Protože posunutí d je velmi malé, rozhodně platí, že \(d\ll a\), a můžeme použít vhodné aproximace. Rozviňte ve vztahu E_i(d) exponenciálu v řadu podle vztahu

  \[e^\mathrm{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^\mathrm{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

  a v rozvoji zanedbejte všechny členy kromě těch s nejnižším řádem d.

  Návod: Z rozvoje exponenciály vezměte první čtyři členy. Pokud byste jich vzali méně, vyšla by vám aproximace nulová. Pokud byste jich vzali více, zbytečně byste si přidělávali práci s výpočty.

  Proč potřebujeme právě první čtyři členy, tedy rozvoj do d³, lze vytušit z toho, že očekáváme po aproximaci lineární závislost intenzity E na proměnné d (to abychom posléze člen qd mohli nahradit dipólovým momentem) a před exponenciálou je přítomen člen 1/d².

• Řešení nápovědy 3

  Rozviňme nyní exponenciálu v řadu a využijme toho, že \(d\ll a\), a proto členy s vyšší mocninou d budeme moci zanedbat. Platí, že

  \[e^\mathrm{\frac{-2d}{a}} = 1-\frac{2d}{a}+\frac{2d^2}{a^2}-\frac{4d^3}{3a^3}+\ldots\]

  Proto

  \[E = E_\mathrm{i}(d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\left[1-\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)+\frac{2d}{a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)-\right.\] \[\left.-\frac{2d^2}{a^2}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)+\frac{4d^3}{3a^3}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)+\ldots \right] =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\left[\frac{4d^3}{3a^3}+\ldots\right],\]

  kde ... značí členy s vyššími mocninami d než trojkou, které budeme zanedbávat.

  Dostáváme tedy, že

  \[E \dot{=} \frac{qd}{3\pi\varepsilon_0a^3}.\]

• Nápověda 4

  Porovnejte získaný vztah pro E se vztahem E = α p, přičemž si uvědomte, že pro dipólový moment p platí vztah p = qd. Tím vypočtete koeficient polarizovatelnosti α.

• Řešení nápovědy 4

  Porovnáním vztahů \(E\,\dot{=}\,\frac{qd}{3\pi\varepsilon_0a^3}\) a \(p = \alpha\,E\) dostaneme (s přihlédnutím ke vztahu p = qd), že pro koeficient polarizovatelnosti platí

  \[\alpha \dot{=} 3\pi\varepsilon_0a^3.\]

  S přihlédnutím ke vztahu \(V = \frac{4}{3}\pi a^3\) nám vyjde, že

  \[\alpha \dot{=} \frac{9}{4}\varepsilon_0V.\]

• Rozbor

  Postup řešení úlohy rozdělíme na několik částí.

  Bez působení vnějšího pole je jádro atomu v jeho středu a pole elektronového obalu atomu je určeno rozložením náboje, jež je popsáno rovnicí uvedenou v zadání úlohy. Situaci pokládáme (zjednodušeně) za zcela rovnovážnou, v podstatě tedy za zcela neměnnou v čase.

  1. Při sepnutí vnějšího pole se rovnováha poruší a dojde k ději, který můžeme zjednodušeně modelovat jako malé posunutí jádra ze středu atomu. Přitom předpokládejme, že toto posunutí je velice malé; zanedbáme tedy změny v rozložení (a následně změny ve vytvářeném poli) elektronového obalu.

  2. Abychom mohli vyjádřit vztah mezi velikostí vnějšího pole E a posunutím jádra d z rovnovážné polohy, musíme ovšem spočítat, jaké pole je buzeno atomovým obalem. K tomu využijeme Gaussovu větu elektrostatiky a radiální symetrii rozložení náboje.

  3. Určíme-li průběh intenzity pole buzeného atomovým obalem, můžeme určit závislost mezi vnějším polem E a posunutí jádra d z rovnovážné polohy. To bude tak velké, aby se vyrovnalo působení (to jest velikosti intenzit) pole vnějšího a pole vnitřního, které budí atomový obal.

  4. Získaná závislost E = E(d) může být obecně složitá. Nás z ní bude ovšem zajímat pouze první nenulový člen Taylorova rozvoje (velikosti náboje jádra a obalu jsou totožné, je tedy rozumné očekávat, že půjde právě o dipólový člen, který bude dominantní).

  Jinak řečeno, složitou závislost E = E(d) se pokusíme rozumně zjednodušit polynomiální aproximací, v níž ponecháme pouze nejnižší mocniny d. Vzhledem k tomu, že jde o velmi malou veličinu (vzhledem k poloměru atomu vodíku), nedopustíme se zřejmě podstatné chyby.

  5. Nakonec porovnáme získaný aproximovaný vztah E = E(d) se vztahem p = α E, kde α je hledaný koeficient polarizovatelnosti a p = qd je dipólový moment výsledného uspořádání po posunutí jádra z rovnováhy vnějším polem. Porovnání obou vztahů nám umožní vypočíst hledaný koeficient.

• Řešení (stručné shrnutí)

  Podrobné řešení najdete přímo v řešení jednotlivých nápověd k úloze. Zde je jenom stručné shrnutí jednotlivých kroků.

  Z kulové symetrie rozložení náboje a podle Gaussova zákona, aplikovaného na kouli o poloměru r se středem v jádře atomu (ještě za rovnovážného stavu), dostaneme, že vnitřní pole buzené atomovým obalem je radiální a jeho intenzita je

  \[E_\mathrm{i}(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\left[1-e^\mathrm{-2r/a}\left(1+2\frac{r}{a}+2\frac{r^2}{a^2}\right)\right].\]

  Po sepnutí vnějšího pole se proton v jádře posune o vzdálenost d od centra tak, aby se působení od vnějšího pole E a vnitřního pole E_i vyrovnalo. Pak tedy

  \[E = E_\mathrm{i}(d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\left[1-e^\mathrm{-2d/a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right)\right].\]

  Nyní rozvedeme exponenciálu v řadu. Dostaneme, že

  \[1-e^\mathrm{-2d/a}\left(1+2\frac{d}{a}+2\frac{d^2}{a^2}\right) \approx \frac{4}{3}\frac{d^3}{a^3} + \ldots,\]

  kde tři tečky značí členy s vyšší mocninou d. Ty zanedbáme, takže

  \[E \dot{=} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d^2}\frac{4}{3}\frac{d^3}{a^3} = \frac{qd}{3\pi\varepsilon_0a^3}\]

  a porovnáním se vztahem p = α E = αqd dostaneme

  \[\alpha \overset{\cdot}{=} 3\pi\varepsilon_0a^3 = \frac{9}{4}\varepsilon_0V.\]

• Odpověď

  Koeficient polarizovatelnosti α atomu vodíku je \( 3\pi\varepsilon_0a^3 = \frac{9}{4}\varepsilon_0V,\) kde a je (Bohrův) poloměr atomu vodíku a V jeho objem.