Magnetická indukce na ose kruhového závitu

Úloha číslo: 395

Nalezněte vztah pro velikost magnetické indukce v libovolném bodě P ležícím na ose kruhového závitu, kterým prochází konstantní elektrický proud.

  • Nápověda

    Nakreslete si obrázek závitu s proudem a zvolte si libovolný bod P na ose závitu. Závit rozdělte na malé části. Každá část závitu přispívá v bodě P k magnetickému poli. Celková magnetická indukce v bodě P je rovna součtu všech příspěvků od jednotlivých částí závitu. Zvolíme dílky na závitu velmi malé a výslednou magnetickou indukci určíme integrací přes všechny příspěvky úseků vodiče.

    Nakreslete si do obrázku, kterým směrem míří příspěvky od několika částí závitu, a určete směr celkové magnetické indukce.

     
  • Rozbor

    Velikost magnetické indukce v libovolném bodě P ležícím na ose proudové smyčky určíme pomocí Biotova-Savartova zákona.

    Budeme uvažovat příspěvky od jednotlivých částí proudové smyčky k magnetické indukci v bodě P. Celková velikost magnetické indukce v bodě P pak bude dána integrálem přes všechny příspěvky proudové smyčky. Dostaneme tak vztah pro velikost magnetické indukce v libovolně zvoleném bodě P na ose smyčky.

    Pro získání velikosti magnetické indukce ve středu smyčky jen posuneme bod P do středu závitu a za vzdálenost bodu, ve kterém jsme vyjádřili velikost magnetické indukce, dosadíme nulu.

  • Řešení

    Příspěvky \(\mathrm{d}\vec{B}\) od jednotlivých částí kruhového závitu určíme z Biotova-Savartova zákona, jehož tvar je:

    \[\mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I\, \mathrm{d}\vec{l}\times \vec{a}}{a^{3}}.\]

    Z vektorového součinu a pravidla pravé ruky plyne, že magnetická indukce \(\mathrm{d}\vec{B}\) vytvořená v bodě P proudovým elementem \(I\mathrm{d}\vec{l}\), je kolmá k rovině tvořené vektory \(\vec{a}\) a \(\mathrm{d}\vec{l}\) (viz obrázek). Příspěvky \(\mathrm{d}\vec{B}\) od všech částí kruhového závitu budou ležet na kuželu, jehož osou je osa x.

    proudová smyčka

    Složky \(\mathrm{d}B_\mathrm{y}\) vektoru \(\mathrm{d}\vec{B}\) pocházejících od protilehlých elementů závitu se vyruší. Celková magnetická indukce \(\vec{B}\) smyčky v bodě P tedy směřuje podél osy smyčky a její velikost je:

    \[B=B_\mathrm{x}=\int_l{\mathrm{d}B_\mathrm{x}},\]

    kde \(\mathrm{d}B_\mathrm{x}=\mathrm{d}B\, \cos{\varphi}\) a integrujeme ji podél celé smyčky.

    Velikost \(\mathrm{d}B\) vyjádříme pomocí Biotova-Savartova zákona jako:

    \[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I| \mathrm{d}\vec{l}\times \vec{a}|}{a^{3}}.\]

    Pro velikost vektorového součinu platí \(|\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{a}|=(\mathrm{d}l\,a\,\sin{\alpha})\), kde úhel α je úhel mezi vektory \(\mathrm{d}\vec{l}\) a \(\vec{a}\). Vektor elementu závitu \(\mathrm{d}\vec{l}\) je kolmý k vektoru \(\vec{a}\) (viz obrázek). Velikost vektorového součinu \(|\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{a}|\) je tedy:

    \[|d\vec{l}\times\vec{a}|=\mathrm{d}l\,a\, \sin {90^\circ}=\mathrm{d}l\,a.\]

    Velikost vektoru a vyjádříme z pravoúhlého trojúhelníka pomocí Pythagorovy věty jako:

    \[a=\sqrt{r^2+x^2}.\]

    Velikost úhlu cos φ určíme také pomocí pravoúhlého trojúhelníka:

    \[\cos{\varphi}=\frac{r}{a}=\frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}.\]

    Vyjádřené vztahy dosadíme do Biotova-Savartova zákona a upravíme:

    \[B=\int_\mathrm{l}{\mathrm{d}B\, \cos{\varphi}}=\int_\mathrm{l}\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I\, \mathrm{d}l\, a}{a^{3}}\,\frac{r}{a}=\int_\mathrm{l}\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{Ir\, \mathrm{d}l}{({r^2+x^2})^{\frac{3}{2}}}.\]

    Výraz integrujeme podél celé kružnice. Integrační proměnná je tedy dl, vše ostatní ve vzorci jsou konstanty, které můžeme vytknout před integrál:

    \[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I\,r}{\left({r^2+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\int_\mathrm{l}{\mathrm{d}l}.\]

    Po zintegrování dostáváme pro velikost magnetické indukce B výraz:

    \[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{Ir}{\left({r^2+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,l.\tag{*}\]

    Délka proudové smyčky l se rovná obvodu kružnice o poloměru r:

    \[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{ 2\pi Ir^2}{\left({r^2+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.\]

    Po úpravě výrazu získáváme vztah pro velikost magnetické indukce B v libovolném bodě P ležícím ve vzdálenosti x od středu závitu na ose závitu:

    \[B=\frac{\mu_0}{2}\, \frac{I r^2}{\left({r^2+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.\]

    Poznámka: Pro velikost magnetické indukce ve středu závitu s proudem posuneme bod P do středu závitu. Za vzdálenost x bodu P od středu závitu tedy dosadíme x = 0. Pro velikost magnetické indukce Bs ve středu závitu platí:

    \[B_\mathrm{s}=\frac{\mu_0}{2}\,\frac{I}{r}.\]
  • Odpověď

    Pro velikost magnetické indukce v libovolném bodě P ležícím na ose závitu, kterým prochází konstantní elektrický proud, platí:

    \[B=\frac{\mu_0}{2}\, \frac{I r^2}{\left({r^2+x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}.\]

    Vektor magnetické indukce \(\vec{B}\) v bodě P směřuje podél osy závitu.

  • Magnetické pole ve středu půlkruhového závitu

    Zaměřme se na speciální případ a určeme magnetické pole ve středu půlkruhového závitu s proudem.

    Budeme postupovat přímou integrací, připomeňme, vztah pro elementární příspěvek k magnetické indukci

    \[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}.\]
    Řešení

    Směr příspěvků od každé infinitezimální části závitu musí být kolmý na \(\vec{r}\) a \(\mathrm{d}\vec{l}.\) Tudíž všechny dílčí příspěvky mají směr osy x, a proto můžeme vztah zjednodušit a omezit se na výpočet velikosti příspěvku

    \[\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}{l}{r}\sin\varphi}{r^3},\]

    kde \(\varphi\) je úhel mezi \(\mathrm{d}\vec{l}\) a \(\vec{r}\). Je zřejmé, že vektory jsou na sebe kolmé, tedy \(\sin\varphi=1\).

    \[\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}{l}}{r^2}.\]
    Řešení

    Infinitezimální část půlkruhového vodiče \(\mathrm{d}l\) vyjádříme jako

    \[\mathrm{d}l=r\mathrm{d}\theta.\]

    Potom

    \[\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir\mathrm{d}{\theta}}{r^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}{\theta}}{r}.\]

    Poslední vztah integrujeme podél celého obvodu půlkružnice, tj. budeme integrovat přes úhel \(\theta\),

    \[B=\int_0^{\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}{\theta}}{r},\tag{**}\] \[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\int_0^{\pi}1\space\mathrm{d}{\theta},\] \[B=\frac{\mu_0}{4}\frac{I}{r}.\]

    Výsledný směr magnetického pole bude směrem z obrazovky.

    Magnetické pole ve středu křužnicového oblouku o velikosti \(\beta\)

    Jak se změní výpočet, pokud budeme počítat magnetické pole ve středu kružnicového oblouku o velikosti \(\beta\). Změní se pouze integrační meze ve výrazu (**)

    \[B=\int_0^{\beta}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}{\theta}}{r},\] \[B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\int_0^{\beta}\mathrm{d}{\theta},\] \[B=\frac{\mu_0 \beta}{4\pi}\frac{I}{r}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze