Nerovnoměrně nabitá koule
Úloha číslo: 272
V kouli o poloměru R je rozmístěn náboj nerovnoměrně s objemovou hustotou přímo úměrnou vzdálenosti od jejího středu ρ = Kr, kde K je konstanta.
a) Najděte vztah pro intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti z od středu koule.
b) Určete také elektrický potenciál koule ve vzdálenosti z.
Uvažujte pole uvnitř i vně koule, tzn. najděte průběh elektrické intenzity a potenciálu pro z v intervalu „od nuly až do nekonečna“.
Nápověda: Jednodušší úloha
Podívejte se na jednodušší úlohu Pole rovnoměrně nabité koule. Tato úloha se řeší stejným způsobem. Jediným rozdílem je, že hustota náboje v této úloze není konstantní, a proto ji nemůžeme vyjmout z integrálu.
Nápověda: Intenzita
Protože k řešení úlohy se hodí využít Gaussovu větu, je třeba si rozmyslet, jakou Gaussovu plochu zvolíme.
Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule o poloměru z se středem ve středu nabité koule. V takovém případě je vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plochu a má stejnou velikost.
Úlohu rozdělíme na dvě části:
- Poloměr Gaussovy koule je větší než poloměr nabité koule.
- Poloměr Gaussovy koule je menší než poloměr nabité koule.
Nápověda: Výpočet náboje uzavřeného v kouli
Protože hustota rozložení náboje není konstantní, musíme velikost náboje uzavřeného v kouli vypočítat pomocí integrálu.
Můžeme si představit, že koule je složena z velkého množství tenkých slupek. Celkový náboj získáme, sečteme-li náboj na všech slupkách.
\[Q\,=\,\int \mathrm{d}Q\,=\, \int_\mathrm{V} \varrho \, \mathrm{d}V\,,\] kde dV je objem slupky.
Nyní si musíme vyjádřit objem jednotlivých slupek dV. Protože jsou slupky velmi tenké, můžeme jejich objem vyjádřit tak, že povrch slupky vynásobíme její tloušťkou. Každá slupka o poloměru r a tloušťce dr má tedy objem dV roven:
\[\mathrm{d}V\,=\, 4 \pi r^2 \mathrm{d}r\,.\]Integrovat budeme přes celou kouli, tedy přes r od 0 až po poloměr koule R:
\[Q\,=\, \int_0^\mathrm{R} 4 \pi \varrho r^2\,\mathrm{d}r.\]Nápověda: Elektrický potenciál
Potenciál je potenciální energie vztažená na jednotkový náboj
\[\varphi\,=\, \frac{E_\mathrm{p}}{Q}\]a potenciální energie Ep v daném místě je rovna záporně vzaté práci, kterou musí vykonat elektrická síla, aby přenesla náboj z místa s nulovou potenciální energií (v našem případě z nekonečna) do tohoto místa:
\[E_\mathrm{p}(z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Dosadíme integrál:
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{\vec{F}} {Q}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Jestliže sílu \(\vec{F}\) vydělíme nábojem Q, získáme intenzitu elektrického pole \(\vec{E}\):
\[\varphi\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Rozbor: Intenzita
Úlohu si rozdělíme na dvě části. Budeme zkoumat zvlášť pole uvnitř nabité koule a zvlášť pole vně koule.
Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty elektrostatiky. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy.
Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu koule směrem ven a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu koule. Důvodem je symetrické rozložení náboje uvnitř koule. Pro zdůvodnění může pomoci následující představa. Náboj je uvnitř koule rozložen symetricky, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud kouli otočíme kolem libovolné osy jdoucí středem koule. Pole kolem koule musí zůstat stále stejné, a proto i vektory intenzity musí mít v daném místě při různých natočeních koule stále stejný směr a velikost.
Gaussovou plochou zvolíme kouli se středem ve středu nabité koule. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé této ploše stejnou velikost a je na ni kolmý. Tím se nám zjednoduší výpočet toku elektrické intenzity v Gaussově větě.
Počítáme-li intenzitu vně koule, bude mít Gaussova koule větší poloměr než nabitá koule. Uvnitř ní je tedy veškerý náboj rozložený v kouli.
Počítáme-li intenzitu uvnitř nabité koule, bude Gaussova koule mít menší poloměr než nabitá koule. Pomocí hustoty náboje vyjádříme náboj, který je uzavřen pouze uvnitř Gaussovy koule.
Náboj není v kouli rozložen s konstantní hustotou. Při výpočtu celkového náboje v kouli nebo náboje uzavřeného uvnitř Gaussovy koule musíme použít integrál.
Řešení: Intenzita vně koule
V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité koule, tzn. pro z>R.
Využijeme Gaussovu větu:
\[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,,\] \[\oint_\mathrm{S} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}\,.\tag{*}\]Náboj je v kouli rozložen symetricky, a proto je i elektrické pole v okolí koule symetrické. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu koule (tj. je kolmý na povrch koule) a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu koule.
Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má poloměr z a střed má ve středu nabité koule (na obrázku naznačena zeleně). Plochu volíme takto proto, že vektor elektrické intenzity je kolmý k této Gaussově ploše a má stále stejnou velikost, což zjednoduší výpočet. (Obecný návod, jak zvolit vhodnou Gaussovu plochu, naleznete v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.)
Pozn.: Světlost barvy na obrázku znázorňuje různou hustotu náboje.
Vektor elektrické intenzity E (šedě) je ve všech místech rovnoběžný s normálovým vektorem plochy a jejich skalární součin můžeme jednoduše spočítat:
\[\vec{E} \cdot \vec{n}\,=\,En\,=\,E\,.\](Pozn.: Poslední rovnost platí, protože \(\vec{n}\) je jednotkový vektor.)
S využitím těchto poznatků si upravíme integrál na levé straně Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{k} E n\mathrm{d}S\,=\, \oint_\mathrm{k} E\mathrm{d}S.\]Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. Dostáváme tedy vztah
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E \oint_\mathrm{k} \mathrm{d}S.\]Nyní vypočítáme integrál:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E S_\mathrm{k},\]kde Sk = 4πz2 je povrch Gaussovy koule:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n}\mathrm{d}S\,=\,E\, 4 \pi z^2.\]Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*):
\[E 4 \pi z^2\,=\, \frac{Q}{\varepsilon_0}.\]Vyjádříme velikost intenzity:
\[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}.\tag{**}\]Vzorec je stejný jako pro intenzitu elektrického pole v okolí bodového náboje. Koule nabitá sféricky symetricky vytváří ve svém okolí stejné pole, jako je pole v okolí bodového náboje.
Zbývá už jen vyjádřit náboj Q uvnitř zvolené Gaussovy plochy pomocí zadaných veličin.
Uvnitř plochy je celá nabitá koule. Protože náboj není rozmístěn s konstantní hustotou, musíme k výpočtu náboje použít integrál.
Můžeme si představit, že koule je složena z velkého množství tenkých slupek. Celkový náboj získáme, sečteme-li náboj na všech slupkách.
\[Q\,=\,\int \mathrm{d}Q\,=\, \int_\mathrm{V} \varrho \, \mathrm{d}V\,,\] kde dV je objem slupky.
Nyní si musíme vyjádřit objem jednotlivých slupek dV. Protože jsou slupky tenké, můžeme jejich objem vyjádřit tak, že povrch slupky vynásobíme její tloušťkou. Každá slupka o poloměru r a tloušťce dr má tedy objem dV roven:
\[\mathrm{d}V\,=\, 4 \pi r^2 \mathrm{d}r\,.\]Integrovat budeme přes celou kouli, tedy přes r od 0 až po poloměr koule R:
\[Q\,=\, \int_0^\mathrm{R} \varrho 4 \pi r^2\,\mathrm{d}r\,=\, \int_0^\mathrm{R} 4 \pi K r^3\,\mathrm{d}r.\]Vyjmeme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:
\[Q\,=\, 4 K \pi \int_0^\mathrm{R} r^3\,\mathrm{d}r \,=\,4 K \pi \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^\mathrm{R}\,=\,4 K \pi \,\frac{R^4}{4},\] \[Q\,=\, K \pi R^4.\]Náboj dosadíme do vzorce (**) a vzorec upravíme:
\[E \,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{K \pi R^4}{z^2}\,=\, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0\,z^2}.\]Ve vzdálenosti z má elektrické pole nabité koule intenzitu:
\[E \,=\, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \,.\]Řešení: Intenzita uvnitř koule
V tomto oddíle vyjádříme intenzitu elektrického pole uvnitř nabité koule. Postup je velice podobný jako v předchozím oddíle Intenzita vně nabité koule, proto není komentován tak podrobně.
Elektrickou intenzitu vypočítáme pomocí Gaussovy věty:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}\,,\tag{*}\]kde Q1 je náboj uvnitř zvolené Gaussovy plochy.
Za Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má střed ve středu nabité koule a poloměr z < R.
Integrál na levé straně vypočítáme stejně jako v předchozím oddíle:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \vec{n} \mathrm{d}S\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}.\]Stejnými úvahami o symetrii jako v předchozím oddíle odvodíme, že vektor intenzity má na celé ploše stejnou velikost a je kolmý na Gaussovu plochu, proto platí:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,\oint_\mathrm{k} En \mathrm{d}S\,=\,\oint_\mathrm{k} E \mathrm{d}S\,=\,E\oint_\mathrm{k} \mathrm{d}S.\]Integrál je roven povrchu Gaussovy koule:
\[\oint_\mathrm{k} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\,=\,E S_\mathrm{k}\,=\,E\, 4 \pi z^2\,.\]Výsledný vztah dosadíme zpět do Gaussovy věty (*):
\[E\, 4 \pi z^2\,=\, \frac{Q_1}{\varepsilon_0}.\tag{***}\]Nyní vyjádříme náboj Q1. Protože Gaussova koule je menší než nabitá koule, není uvnitř ní veškerý náboj, ale pouze jeho část. K výpočtu opět použijeme integrál, protože hustota náboje není konstantní.
Můžeme si představit, že celá koule je složena z tenkých slupek. Celkový náboj získáme sečtením náboje na jednotlivých slupkách (podrobnější komentář viz předchozí oddíl):
\[Q_1\,=\, \int\mathrm{d}Q\,\,=\, \int_\mathrm{V} \varrho \,\mathrm{d}V.\]Vyjádříme objem jednotlivých slupek. Protože integrujeme přes poloměr Gaussovy koule, budeme integrovat od 0 do z:
\[Q_1\,=\, \int_0^\mathrm{z} \varrho 4\pi r^2 \,\mathrm{d}r\,=\, \int_0^\mathrm{z} 4\pi K r^3 \,\mathrm{d}r.\]Vyjmeme konstanty před integrál a integrál vypočítáme:
\[Q_1\,=\, 4 K \pi \int_0^\mathrm{z} r^3\,\mathrm{d}r \,=\,4K \pi \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^\mathrm{z}\,=\,4 K \pi \,\frac{z^4}{4},\] \[Q_1\,=\,K \pi z^4.\]Dosadíme do Gaussovy věty (***):
\[E \,4\pi z^2\,=\, \frac{K \pi z^4}{\varepsilon_0}.\]A vyjádříme velikost intenzity elektrického pole uvnitř nabité koule:
\[E \,=\, \frac{K}{4 \varepsilon_0}\,z^2.\]Rozbor: Potenciál
Potenciál vypočítáme z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Nulový potenciál zvolíme v nekonečnu (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě).
Při výpočtu potenciálu uvnitř nabité koule musíme dát pozor, že intenzita elektrického pole nemá stejné vyjádření podél celé integrační cesty, ale je popsána jiným vztahem vně a uvnitř koule. Musíme tedy spočítat nejprve práci, která je třeba k přenesení na povrch nabité koule, a poté práci potřebnou k přesunu náboje uvnitř koule.
Řešení: Potenciál vně nabité koule
Potenciál v bodě A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do bodu A. Nulový potenciál zvolíme v nekonečnu (podrobnější vysvětlení je uvedeno v nápovědě):
\[\varphi (z)\,=\, - \int_{\infty}^\mathrm{z} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}.\]Protože intenzita elektrického pole závisí pouze na vzdálenosti od středu koule, závisí i potenciál elektrického pole pouze na vzdálenosti z od středu koule.
Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji můžeme volit libovolně. (Cestu si volíme co nejjednodušší.) V tomto případě jako integrační cestu zvolíme část přímky, která směřuje do středu koule.
Vektor elektrické intenzity \(\vec{E}\) je rovnoběžný s vektorem \(\vec{z}\), proto můžeme integrál zjednodušit:
\[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z. \]Nyní musíme úlohu opět rozdělit na dva případy a spočítat zvlášť potenciál vně a uvnitř koule.
Nejprve vyjádříme potenciál ve vzdálenosti z vně koule:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z. \]Do integrálu dosadíme velikost intenzity, kterou jsme si vyjádřili v oddíle Intenzita pole vně koule:
\[E \,=\, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2} \]a vytkneme před integrál všechny konstanty:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z^2} \,\mathrm{d}z \,=\, - \, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \int^\mathrm{z}_{\infty} \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z.\]Vypočítáme určitý integrál:
\[\varphi (z)\,=\,- \, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0}\,\left[- \frac{1}{z}\right]^\mathrm{z}_{\infty}\,.\]Dosadíme meze integrálu a získáme velikost potenciálu vně koule ve vzdálenosti z:
\[\varphi (z)\,=\, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}.\]Pozn.: Jestliže do vzorce dosadíme za konstantu K její vyjádření pomocí celkového náboje \(Q\,=\, K \pi R^4 \), získáme stejný vztah jako pro potenciál bodového náboje, tj.
\[\varphi (z)\,=\, \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{1}{z}\,.\]Řešení: Potenciál uvnitř nabité koule
Při výpočtu potenciálu uvnitř koule budeme postupovat podobně jako v předchozím oddíle. Potenciál vyjádříme ze vztahu \[ \varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{z}\,=\, - \int^\mathrm{z}_{\infty} E \mathrm{d}z\,. \]Při vyjadřování potenciálu si musíme dát pozor na velikost intenzity. Tentokrát není intenzita elektrického pole vyjádřena podél celé integrační cesty stejným vztahem. Hranicí, kdy se vyjádření intenzity mění, je povrch koule. Proto je třeba celý integrál rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést z nekonečna na povrch koule (tj. do vzdálenosti R od středu koule) a poté z povrchu koule dále dovnitř koule:
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{R}_{\infty} E_\mathrm{v} \mathrm{d}z - \int^\mathrm{z}_{R} E_\mathrm{u} \mathrm{d}z. \]Dosadíme velikost intenzit, které jsme si vyjádřili v předchozích oddílech:
\[E_\mathrm{v} \,=\, \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\] \[E_\mathrm{u} \,=\, \frac{K}{4 \varepsilon_0}\,z^2\]a dostaneme
\[\varphi (z)\,=\, - \int^\mathrm{R}_{\infty} \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z - \int^\mathrm{z}_\mathrm{R} \frac{K}{4 \varepsilon_0}\,z^2 \, \mathrm{d}z\,.\]Z integrálů vyjmeme konstanty:
\[\varphi (z)\,=\, - \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0}\int^\mathrm{R}_{\infty} \frac{1}{z^2}\, \mathrm{d}z\, - \frac{K}{4 \varepsilon_0}\int^\mathrm{z}_\mathrm{R} z^2 \,\mathrm{d}z \]a integrály vypočítáme:
\[\varphi (z)\,=\,- \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0} \left[- \frac{1}{z}\right]^\mathrm{R}_{\infty}- \frac{K}{4 \varepsilon_0}\left[\frac{z^3}{3}\right]^\mathrm{z}_{R},\] \[\varphi (z)\,=\,- \frac{K R^4}{4 \varepsilon_0}\left(- \frac{1}{R}\right)- \frac{K}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{z^3}{3}-\frac{R^3}{3}\right).\]Pozn.: První integrál jsme počítat nemuseli, stačilo dosadit z = R do výsledku předchozího oddílu.
Vytkneme \(\frac{K}{4 \varepsilon_0}\) a vzorec upravíme:
\[\varphi (z)\,=\, \,\frac{K}{4 \varepsilon_0}\left(R^3 - \,\frac{z^3}{3} + \frac{R^3}{3}\right),\] \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{K}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{4R^3}{3} - \,\frac{z^3}{3} \right),\] \[\varphi (z)\,=\, \,\frac{K R^3}{12 \varepsilon_0}\left(4 - \frac{z^3}{R^3} \right).\]Získali jsme vztah pro výpočet potenciálu uvnitř nabité koule.
Odpověď
Vně koule platí pro velikost intenzity elektrického pole vztah
\[E \,=\, \frac{KR^4}{4 \varepsilon_0} \, \frac{1}{z^2}\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}\,. \]Uvnitř koule platí pro velikost intenzity elektrického pole vztah
\[E \,=\, \frac{K}{4 \varepsilon_0}\,z^2\,.\]V obou případech míří vektor elektrické intenzity do středu a nebo ze středu koule v závislosti na znaménku náboje.
Elektrický potenciál vně nabité koule je dán vztahem
\[\varphi (z)\,=\, \frac{KR^4}{4 \varepsilon_0}\,\frac{1}{z} \,=\, \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{1}{z} \,.\]Elektrický potenciál uvnitř nabité koule je dán vztahem
\[\varphi (z)\,=\, \,\frac{KR^3}{12 \varepsilon_0}\left(4 - \frac{z^3}{R^3} \right)\,.\]Grafy
Graf závislosti velikosti el. intenzity na vzdálenosti od středu koule
Uvnitř nabité koule má elektrická intenzita velikost \(E \,=\, \frac{K}{4 \varepsilon_0}\, z^2 \,.\)
Vně koule platí vztah \(E\,=\, \frac{ KR^4}{4 \varepsilon_0\,}\,\frac{1}{z^2}\,.\)
První část grafu (pro hodnoty z od 0 do R) tvoří část paraboly, která prochází počátkem. Pro vzdálenost z větší než R pak intenzita klesá s druhou mocninou z.
Graf funkce je spojitý. Přesvědčíme se o tom, pokud do obou vztahů pro výpočet intenzity dosadíme z = R. V obou případech má intenzita elektrického pole velikost \(E(R)\,=\,\frac{KR^2}{4 \varepsilon_0}\,.\)
Pozn.: Intenzita elektrického pole je spojitá s výjimkou bodů, kdy prochází nabitou plochou. Při průchodu nabitou plochou zůstávají spojité pouze tečné složky vektoru. Normálové složky se mění „skokem“, který je úměrný plošné hustotě náboje. V této úloze ale žádné nabité plochy nejsou.
Graf závislosti el. potenciálu na vzdálenosti od středu koule
Elektrický potenciál uvnitř nabité koule má velikost \(\varphi (z)\,=\, \,\frac{KR^3}{12 \varepsilon_0}\left(4 - \frac{z^3}{R^3}\right)\,.\)
Vně nabité koule platí vztah \(\varphi (z)\,=\, \,\frac{KR^4}{4 \varepsilon_0}\frac{1}{z}\,.\)
Funkce je opět v bodě z = R spojitá. Dosadíme-li do obou vyjádření potenciálu, získáme v obou případech hodnotu \(\varphi(R) \,=\,\frac{KR^3}{4 \varepsilon_0}\).
Funkce má navíc v tomto bodě spojité i první derivace a je tedy navíc hladká.
Elektrický potenciál je vždy spojitý, protože se jedná vlastně o práci při přenášení jednotkového náboje a ta se nemůže změnit „skokově“. Kromě bodů na nabitých plochách má potenciál spojité také první derivace, tj. je hladký.
Odkaz na podobnou úlohu
Jak se úloha zjednoduší, jestliže je náboj v kouli rozložen s konstantní hustotou, zjistíte v úloze Pole rovnoměrně nabité koule.
