Vyvážený můstek

Úloha číslo: 292

Můstek s rezistory R1, R2, R3 a s rezistorem, jehož odpor R4 závisí na teplotě, je vyvážen. Určete teplotu t rezistoru R4.

Při teplotě 0 °C (tzv. vztažná teplota) má odpor rezistoru R4 hodnotu 4,5 kΩ, teplotní součinitel odporu se rovná 0,004 °C-1 a hodnoty ostatních rezistorů jsou R1 = 2,0 kΩ; R2 = 2,3 kΩ; R3 = 4,0 kΩ.

Obrázek k zadání úlohy
  • Nápověda 1

    Uvědomte si nebo vyhledejte, co znamená, že je můstek vyvážen?

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, jak vypočítáme odpor teplotně závislého rezistoru.

  • Nápověda 3

    Uvědomte si, jaké je napětí mezi body A a B, pokud galvanometrem neprotéká proud. Co to znamená pro elektrický potenciál těchto bodů?

    Vyvážený můstek
  • Rozbor

    Vyvážený můstek

    Jestliže je můstek vyvážen, znamená to, že galvanometrem G neprotéká žádný proud. Platí tedy:

    1. Proud protékající rezistorem R1 se bude rovnat proudu, který protéká rezistorem R2 (to samé platí i pro rezistory R3 a R4).
    2. Napětí mezi body A a B je nulové. Napětí mezi dvěma body je rovno rozdílu jejich potenciálu, uzly A a B mají tedy stejný elektrický potenciál. Z toho plyne, že hodnoty napětí na rezistorech R1 a R3 jsou si rovny (obdobně i pro rezistory R2 a R4).

    Z těchto dvou úvah a použitím Ohmova zákona pro část obvodu (úbytek napětí na spotřebiči se rovná součinu odporu spotřebiče a proudu, který spotřebičem protéká) získáme pravidlo, které platí pro vyvážený můstek: podíl odporů rezistorů R1 a R2 je stejný jako podíl odporů rezistorů R3 a R4.

    Odpor rezistoru R4 je závislý na teplotě. Odpor teplotně závislého rezistoru vypočítáme pomocí vztahu:

    \[R_4\,=\,R_0\left(1\,+\,\alpha \Delta t\right),\]

    kde R4 je odpor rezistoru při teplotě t, R0 odpor rezistoru při počáteční (tzv. vztažné) teplotě t0, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt je rozdíl teplot Δt = t − t0.

  • Řešení

    Vyvážený můstek

    Pokud je můstek vyvážen, znamená to, že galvanometrem G neprotéká žádný proud. Uzly A a B proto budou mít stejný elektrický potenciál a platí:

    1. Proud protékající rezistorem R1 se rovná proudu, který protéká rezistorem R2. A proud protékající rezistorem R3 se rovná proudu protékajícímu rezistorem R4. Tedy:

    \[I_1\,=\,I_2\] \[I_3\,=\,I_4\]

    2. Protože uzly A a B mají stejný elektrický potenciál, jsou hodnoty napětí na rezistorech R1 a R3 stejné. To samé platí i pro rezistory R2 a R4.

    \[U_1\,=\,U_3\] \[U_2\,=\,U_4\]

    Ohmův zákon pro část obvodu říká, že:

    \[U_x\,=\,R_xI_x,\]

    kde Ux je úbytek napětí na spotřebiči, Rx odpor spotřebiče a Ix je proud, který spotřebičem protéká.

    Nyní si pomocí tohoto vztahu vyjádříme rovnosti napětí na rezistorech:

    \[R_1I_1\,=\,R_3I_3\] \[R_2I_2\,=\,R_4I_4.\]

    Obě rovnice podělíme:

    \[\frac{R_1I_1}{R_2I_1}\,=\,\frac{R_3I_3}{R_4I_3}.\]

    Proudy I1 a I3 se ve zlomcích zkrátí a my tak získáme podmínku pro vyvážený můstek:

    \[\frac{R_1}{R_2}\,=\,\frac{R_3}{R_4}.\]

    Nyní si z ní vyjádříme odpor R4:

    \[R_4\,=\,\frac{R_2R_3}{R_1}.\tag{*}\]

    Odpor rezistoru R4 je závislý na teplotě. Tuto závislost udává vztah

    \[R_4\,=\,R_0\left(1\,+\,\alpha \Delta t\right),\]

    kde R4 je odpor rezistoru při teplotě t, R0 odpor rezistoru při vztažné teplotě t0, α je teplotní součinitel elektrického odporu a Δt je rozdíl teplot Δt = t − t0.

    Z této rovnice si vyjádříme teplotní rozdíl Δt:

    \[1\,+\,\alpha\Delta t\,=\,\frac{R_4}{R_0}\] \[\alpha\Delta t\,=\,\frac{R_4}{R_0}-1\,=\,\frac{R_4-R_0}{R_0}\] \[\Delta t\,=\,t-t_0\,=\,\frac{\frac{R_4-R_0}{R_0}}{\alpha}\,=\,\frac{R_4-R_0}{\alpha R_0}.\]

    Pro teplotu t tedy platí:

    \[t\,=\,\frac{R_4-R_0}{\alpha R_0}\,+\,t_0.\]

    Nyní do tohoto vzorce dosadíme za R4 vztah (*):

    \[t\,=\,\frac{\frac{R_2R_3}{R_1}-R_0}{\alpha R_0}\,+\,t_0,\]

    tím získáme výsledný vztah pro výpočet teploty t rezistoru R4:

    \[t\,=\,\frac{R_2R_3\,-\,R_0R_1}{\alpha R_0R_1}\,+\,t_0.\]
  • Zápis a číselné dosazení

    Ze zadání úlohy víme:

    R1 = 2,0 kΩ odpory rezistorů R1, R2, R3 můstku
    R2 = 2,3 kΩ
    R3 = 4,0 kΩ
    R0 = 4,5 k Ω odpor rezistoru R4 při teplotě 0 °C
    α = 0,004 °C-1 teplotní součinitel elektrického odporu rezistoru R4
    t = ? (°C) teplota rezistoru R4

    Poznámka: Protože všechny odpory jsou vyjádřeny v kiloohmech a ve vzorci se nám jednotka ohm zkrátí, nemusíme odpory rezistorů převádět na základní jednotky.

    \[ t\,=\,\frac{R_2R_3\,-\,R_0R_1}{\alpha R_0R_1}\,+\,t_0\,=\,\frac{2{,}3{\cdot} 4-4{,}5{\cdot} 2}{0{,}004{\cdot} 4{,}5{\cdot} 2}\,{}^\circ\mathrm{C}\,+\,0\,{}^\circ\mathrm{C}\,=\,5{,}5\,{}^\circ\mathrm{C}\]
  • Odpověď

    Jestliže je můstek vyvážen, pak teplota rezistoru R4 je 5,5 °C.

  • Jiný způsob řešení úlohy

    Dalším možným, avšak dosti komplikovaným způsobem řešení této úlohy, je použití Kirchhoffových zákonů. Vyjádříme si proud procházející galvanometrem za obecných podmínek a potom hledáme, kdy bude nulový.

    Znění Kirchhoffových zákonů a „kuchařku“ k jejich použití naleznete v úloze Použití Kirchhoffových zákonů pro řešení obvodu se dvěma zdroji

  • Komentář

    Měřící můstky se používají k měření elektrických veličin – kapacity, odporu nebo indukčnosti. Měření můstkovými metodami se zakládá na dosažení rovnováhy mezi větvemi můstků. Tuto rovnováhu zjišťujeme galvanometrem, který je připojen k jedné úhlopříčce můstku. Ke druhé úhlopříčce je připojen zdroj napětí – stejnosměrný nebo střídavý, podle měřené veličiny (střídavé napájení pro kapacitu a indukčnost, pro odpory stejnosměrné i střídavé, lepší je však stejnosměrné).

    Měření pomocí můstkové metody je velmi přesné, ale vyhovuje jen úzkému rozsahu hodnot (záleží na parametrech můstku).

    Na principu můstkové metody jsou založeny přístroje speciálně konstruované pro přímé měření elektrických odporů v technické praxi. Nazývají se ohmmetry.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Hubeňák, J.: Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář
z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I.
Ročníku. MAFY, Hradec Králové, 1997. 
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J.: Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové, 1997.
Zpracováno v diplomové práci Marie Snětinové (2010).
Zaslat komentář k úloze