Okamžité napětí generátoru

Úloha číslo: 165

Generátor s okamžitým napětím u(t) = 25sin(377t) je připojen k cívce o indukčnosti 12,7 H.

a) Jaká je maximální hodnota proudu?
b) Jaké je napětí generátoru v okamžiku, kdy je proud právě maximální?
c) Jaký je proud v okamžiku, kdy napětí je 12,5 V a dále klesá?

Pozn.: Do rovnice pro okamžité napětí pro přehlednost nebudeme psát jednotky. Budeme brát jednotky nenásobné, tedy například čas dosazujeme v sekundách atd.

  • Zápis

    Ze zadání známe:

    Okamžité napětí generátoru:  u(t) = 25sin(377t)
    Indukčnost cívky: L = 12,7 H

    Chceme určit:

    a) Amplitudu proudu:Im = ? (A)
    b) Napětí, je-li proud maximální:Ub = ? (V)
    c) Proud, je-li napětí Uc = 12,5 V:   Ic = ? (A)

  • Nápověda 1

    Rozmyslete si, co znamenají ve vzorci pro okamžité napětí jednotlivé číselné hodnoty.

  • Nápověda 2

    Pro výpočet maximální hodnoty proudu, nebo-li amplitudy proudu, použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud.

  • Nápověda 3

    Jak je fázově posunuto napětí s proudem, máme-li v obvodu zařazenou cívku?

  • Rozbor

    Úloha je rozdělena na tři části, které budeme řešit postupně.

     a) Známe-li průběh okamžitého napětí v obvodu, známe i amplitudu napětí. Amplitudu proudu (= maximální proud) získáme z Ohmova zákona. Impedanci v Ohmově zákoně zde tvoří pouze induktance cívky, kterou lze vypočítat z indukčnosti cívky zařazené v obvodu.

     b) Nejprve vyjádříme průběh okamžitého proudu v obvodu. V tomto obvodu je zařazena cívka, to znamená, že napětí předbíhá proud o π/2. Potom určíme čas, ve kterém proud dosahuje maximální hodnoty. Ten dosadíme do časového průběhu napětí.

     c) Postup v tomto úkolu bude obdobný jako u úkolu b). Vyjádříme si čas t, ve kterém je napětí 12,5 V. Vzhledem k průběhu sinusové funkce dostaneme více časů pro toto napětí. Z těchto časů si vybereme ty, ve kterých napětí dále klesá a dosadíme je do vyjádření okamžité hodnoty proudu.

  • Rozbor vzorce pro popis okamžitého napětí

    Porovnáme vzorec pro obecné vyjádření okamžitého napětí se zadanou závislostí:

    \[u(t)=U_m\sin\left(\omega t+ {\varphi}_{0u}\right)=25\sin\left(377t\right).\]

    Odtud vidíme, že:

    \[U_m=25\,\mathrm V\] \[\omega=377\,\mathrm s^{-1}.\]
  • a) Řešení

    Použijeme Ohmův zákon

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}.\]

    a za impedanci dosadíme induktanci cívky:

    \[I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{X_L}=\frac{U_m}{\omega L}.\]

    Číselně dosadíme:

    \[I_m=\frac{25}{377 {\cdot} 12{,}7}\,\mathrm A\,\dot{=}\,5{,}2 \,\mathrm mA\]

     

  • b) Řešení

    Napíšeme si rovnici pro vyjádření okamžité hodnoty proudu. Amplitudu proudu jsme si vypočítali v oddíle a) a fázový posun mezi proudem a napětím je -π/2, protože v obvodu je zařazena jen cívka. Napětí předbíhá proud, nebo-li proud se opožďuje za napětím.

    \[i\left(t\right)=I_m \sin\left(\omega t + {\varphi}_{0i}\right)=5{,}2 {\cdot} 10^{-3}\sin\left(377t- \frac{\pi}{2}\right)\]

    Chceme najít okamžik, kdy je proud maximální, to znamená, že i(t) = Im:

    \[i\left(t\right)=I_m\,\sin\left(377t-\frac{\pi}{2}\right)\] \[I_m=I_m\,\sin\left(377t-\frac{\pi}{2}\right)\] \[1=\sin\left(377t-\frac{\pi}{2}\right)\] \[\frac{\pi}{2}=377t-\frac{\pi}{2}\] \[t=\frac{\pi}{377}\,\mathrm s.\]

    Velikost napětí při maximálním proudu získáme dosazením do vzorce, který vyjadřuje okamžitou hodnotu napětí:

    \[U_b=25\,\sin\left(377t\right)=25\,\sin\left(377 \cdot \frac{\pi}{377}\right)\,\mathrm V=25\,\sin\left(\pi\right)\,\mathrm V=0\,\mathrm V.\]

    Nulovou hodnotu napětí při maximálním proudu jsme mohli předpovídat i bez výpočtu, protože oba průběhy okamžitých hodnot jak proudu, tak napětí, popisuje sinusová funkce. V  případě cívky jsou tyto „sinusovky” posunuté přesně o π/2. Takže pokud jedna ze „sinusovek” nabývá maxima, musí být druhá v minimu. Prohlédněte si obrázek v následující sekci řešení.

  • c) Řešení

    Chceme určit velikost proudu při napětí Uc = 12,5 V.

    \[U_c=25\sin\left(377t\right)\] \[12{,}5=25\,\sin\left(377t\right)\] \[\sin\left(377t\right)=\frac{1}{2}.\]

    Úlohu budeme řešit pouze v první periodě sinusové funkce popisující průběh okamžitého napětí. V dalších periodách bychom získali stejné výsledky. Získáme dva časy, ve kterých napětí nabývá požadovanou hodnotu:

    \[377t= \frac{\pi}{6 }\,\mathrm s \tag{1}\] \[377t= \frac{5\pi}{6 }\,\mathrm s .\tag{2}\]

     

    Kterou hodnotu máme zvolit, zjistíme z obrázku, do kterého zakreslíme časový průběh napětí a proudu.

    Průběh napětí a proudu

    Na obrázku je žlutou čerchovanou čárou znázorněno napětí 12,5 V.

    Hodnota, kterou hledáme je: \(377t= \frac{5\pi}{6 }\,\mathrm s \), protože napětí má dále klesat.

    Dosadíme do vzorce pro výpočet okamžité hodnoty proudu a získáme hodnotu proudu při napětí 12,5 V:

    \[I_c=5{,}2 {\cdot} 10^{-3}\sin\left(377t- \frac{\pi}{2}\right)=5{,}2 {\cdot} 10^{-3}\sin\left( \frac{5\pi}{6 } - \frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm A=5{,}2 {\cdot} 10^{-3}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\,\mathrm A\,\dot{=}\,4{,}5\,\mathrm mA. \]

  • Odpověď

    Maximální hodnota proudu je přibližně: Im = 5,2 mA.

    Je-li proud maximální, je hodnota napětí rovna asi: Ub = 0 V.

    Je-li hodnota napětí 12,5 V a napětí dále klesá, má proud velikost přibližně: Ic = 4,5 mA.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze