Náboj procházející vodičem

Úloha číslo: 1077

Proud I se mění s časem podle vztahu I = I0 + kt, kde I0 = 4 A a k = 2 As-1. Vypočtěte jaký náboj projde vodičem mezi druhou a šestou sekundou.

  • Nápověda

    Co můžete říci při dané závislosti o proudu? Jak v takových případech vypočítáte celkový prošlý náboj?

  • Zápis

    I0 = 4 A proud v čase t = 0 s
    k = 2 As-1 konstanta úměrnosti
    t1  = 2 s počáteční čas
    t2 = 6 s konečný čas
    Q = ? (C) celkový prošlý náboj
  • Řešení

    Proud procházející vodičem není konstantní, ale je funkcí času. V takových případech určíme celkový prošlý náboj v době od t1 do t2 pomocí vztahu

    \[Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t) \mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2} \left (I_0+kt\right) \mathrm dt.\] Do předchozího vztahu dosadíme v základních jednotkách a integrujeme \[[Q]=\int_{2}^{6} \left(4+2t\right) \mathrm dt=\left[4t+2\frac{t^2}{2}\right]_2^6\] \[=\left [24+36-(8+4)\right ]= 48 \Rightarrow Q=48\,\mathrm C.\]

    Jiné řešení:

    V našem konkrétním případě se však integrování můžeme vyhnout. Využijeme lineární závislosti proudu na čase, pro celkový náboj Q, pak pomocí průměrného proudu Ip píšeme

    \[ Q = I_p(t_2-t_1)= \frac{I_1+I_2}{2}(t_2-t_1),\] kde I1 je počáteční proud v časet1 a I2 je konečný proud v čase t2. Dosadíme zadanou závislost \[ Q=\frac{I_0+kt_1+I_0+kt_2}{2}(t_2-t_1)=\frac{k(t_1+t_2)+2I_0}{2}(t_2-t_1) \] \[ Q =\frac{2\cdot(2+6)+2{\cdot}4}{2}(6-2)\,\mathrm C= 48\,\mathrm C. \]

    Komentář:

    Detailní popis strategie obou způsobů řešení i jejich vzájemné provázání je v úloze Elektrický náboj procházející vodičem.

  • Odpověď

    Mezi druhou a šestou sekundou projde vodičem náboj 48 C.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze