Náboj procházející vodičem
Úloha číslo: 1077
Proud I se mění s časem podle vztahu I = I0 + kt, kde I0 = 4 A a k = 2 As-1. Vypočtěte, jaký náboj projde vodičem mezi druhou a šestou sekundou.
Nápověda
Co můžete říci při dané závislosti o proudu? Jak v takových případech vypočítáte celkový prošlý náboj?
Zápis
I0 = 4 A proud v čase t = 0 s k = 2 As-1 konstanta úměrnosti t1 = 2 s počáteční čas t2 = 6 s konečný čas Q = ? (C) celkový prošlý náboj Řešení
Proud procházející vodičem není konstantní, ale je funkcí času. V takových případech určíme celkový prošlý náboj v době od t1 do t2 pomocí vztahu
\[Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t) \mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2} \left (I_0+kt\right) \mathrm dt.\] Do předchozího vztahu dosadíme v základních jednotkách a integrujeme: \[[Q]=\int_{2}^{6} \left(4+2t\right) \mathrm dt=\left[4t+2\frac{t^2}{2}\right]_2^6\] \[=\left [24+36-(8+4)\right ]= 48 \Rightarrow Q=48\,\mathrm C.\]Jiné řešení:
V našem konkrétním případě se však integrování můžeme vyhnout. Využijeme lineární závislosti proudu na čase, pro celkový náboj Q pak pomocí průměrného proudu Ip píšeme
\[ Q = I_\mathrm{p}(t_2-t_1)= \frac{I_1+I_2}{2}(t_2-t_1),\] kde I1 je počáteční proud v čase t1 a I2 je konečný proud v čase t2. Dosadíme zadanou závislost: \[ Q=\frac{I_0+kt_1+I_0+kt_2}{2}(t_2-t_1)=\frac{k(t_1+t_2)+2I_0}{2}(t_2-t_1) \] \[ Q =\frac{2\cdot(2+6)+2{\cdot}4}{2}(6-2)\,\mathrm C= 48\,\mathrm C. \]Komentář:
Detailní popis strategie obou způsobů řešení i jejich vzájemné provázání je v úloze Elektrický náboj procházející vodičem.
Odpověď
Mezi druhou a šestou sekundou projde vodičem náboj 48 C.
