Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

RC obvod

Úloha číslo: 2136

Nenabitý kondenzátor o kapacitě C0 je v čase t=0 připojen sériově přes rezistor o odporu R0 ke zdroji o stejnosměrném napětí U0. Vypočtěte časový průběh proudu obvodem.

  • Nápověda – co se bude dít v obvodu

    Po připojení obvodu ke zdroji napětí bude obvodem zpočátku procházet velký proud, který bude nabíjet kondenzátor. Na kondenzátoru tak bude vznikat opačné napětí, což způsobí, že se proud bude postupně snižovat. Při úplném nabití kondenzátoru klesne proud na nulu.

  • Nápověda

    Zamyslete se nad tím, jak se rozdělí napětí zdroje mezi kondenzátor a rezistor. Čemu je úměrné napětí na kondenzátoru, resp. na rezistoru?

  • Řešení

    Při sepnutí spínače začne obvodem procházet proud, který bude nabíjet kondenzátor. Náboj na kondenzátoru se bude v čase zvyšovat až do své maximální hodnoty.

    Podle druhého Kirchhoffova zákona musí být napětí zdroje rovno součtu napětí na rezistoru a napětí na kondenzátoru:

    U0=UR(t)+UC(t).

    Pozn.: Zápis f(t) znamená, že daná funkce f je funkcí času, tedy že se hodnota s časem může měnit.

    Využijeme Ohmův zákon UR=RI a definici kapacity Q=UC. Ohmův zákon, stejně jako vztah pro napětí na kondenzátoru, platí v každém okamžiku, v rovnici tudíž uvažujeme okamžité hodnoty veličin. Důležité je si také uvědomit, že Q je náboj na kondenzátoru v čase t:

    U0=RI(t)+Q(t)C.

    Protože proud je definován jako „náboj za čas“, okamžitý náboj na kondenzátoru v čase t můžeme vyjádřit jako

    Q(t)=tt=0I(t)dt,

    výraz dosadíme do předešlé rovnice

    U0=RI(t)+tt=0I(t)dtC,

    rovnici zderivujeme podle t

    0=RdI(t)dt+I(t)C.

    Dostali jsme diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Budeme ji řešit metodou separace proměnných, což znamená, že na jednu stranu přesuneme výrazy s funkcí I a na druhou stranu vše ostatní:

    1I(t)dIdt=1RC,
    1I(t)dI=1RCdt,
    lnI=tRC+k.

    Z rovnice vyjádříme proud I:

    I=etRC+k=etRC ek,

    ek je konstanta, označíme ji jako IA:

    I=IA etRC.

    Z počátečních podmínek dopočítáme konstantu IA. Víme, že v čase t=0 je sepnut spínač a kondenzátor je vybitý, tedy UC=0, tudíž U0=UR=R I(t=0). Počáteční podmínky dosadíme do (1):

    I(t=0)=IA e0RC,
    U0R=IA.

    Časový průběh proudu obvodem je

    I=U0R etRC.

    V čase t=0 je proud maximální, s rostoucím časem exponenciálně klesá. Kondenzátor se bude na začátku nabíjet nejrychleji. S rostoucím časem bude klesat proud, který ho nabíjí. Pro čas t bude proud nulový, kondenzátor tedy bude plně nabit.

  • Graf

    Následující aplet nám vykresluje funkci y=I(t)=U0R etRC, tedy proud jako funkci času. Změnou parametrů R, C a U (všechny veličiny jsou v základních SI jednotkách) si můžete zobrazit, jak na nich závisí časový průběh proudu, tj. jak rychle se bude kondenzátor nabíjet při daných parametrech.

    Na ose y je proud v ampérech a na ose x je čas v sekundách.

    Následující aplet nám vykresluje funkci y=UC(t)=U0 (1etRC), tedy napětí na kondenzátoru jako funkci času (výpočet je uveden níže). Změnou parametrů R, C a U (všechny veličiny jsou v základních SI jednotkách) si můžete prohlédnout, jak se bude průběh napětí v čase proměňovat, respektive jak rychle se bude kondenzátor nabíjet při nastavených parametrech.

    Na ose y je napětí ve voltech a na ose x je čas v sekundách.

    Úlohy na práci s grafy

    1. Ukažte, že s rostoucí kapacitou kondenzátoru roste čas potřebný k jeho nabití.

    2. Ukažte, že pokud nabíjíme kondenzátor přes menší odpor, tak se kondenzátor nabíjí větším proudem a nabíjení je rychlejší.

    3. Ukažte, že s rostoucím napětím zdroje roste čas potřebný k nabití kondenzátoru. Zdůvodňete proč silnější zdroj nabíjí kondenzátor déle, neměl by to spíše zvládnout rychleji?

     

    Poznámka: Výpočet napětí na kondenzátoru UC:

    UC=QC=1C tt=0I(t)dt=1C tt=0U0R etRCdt=U0CR [RCetRC]tt=00=U0(1etRC).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze