RC obvod
Úloha číslo: 2136
Nenabitý kondenzátor o kapacitě \(C_0\) je v čase \(t=0\) připojen sériově přes rezistor o odporu \(R_0\) ke zdroji o stejnosměrném napětí \(U_0.\) Vypočtěte časový průběh proudu obvodem.
Nápověda – co se bude dít v obvodu
Po připojení obvodu ke zdroji napětí bude obvodem zpočátku procházet velký proud, který bude nabíjet kondenzátor. Na kondenzátoru tak bude vznikat opačné napětí, což způsobí, že se proud bude postupně snižovat. Při úplném nabití kondenzátoru klesne proud na nulu.
Nápověda
Zamyslete se nad tím, jak se rozdělí napětí zdroje mezi kondenzátor a rezistor. Čemu je úměrné napětí na kondenzátoru, resp. na rezistoru?
Řešení
Při sepnutí spínače začne obvodem procházet proud, který bude nabíjet kondenzátor. Náboj na kondenzátoru se bude v čase zvyšovat až do své maximální hodnoty.
Podle druhého Kirchhoffova zákona musí být napětí zdroje rovno součtu napětí na rezistoru a napětí na kondenzátoru:
\[U_0 = U_\mathrm{R}(t) + U_\mathrm{C} (t).\]Pozn.: Zápis \( f(t)\) znamená, že daná funkce f je funkcí času, tedy že se hodnota s časem může měnit.
Využijeme Ohmův zákon \(U_\mathrm{R}=RI\) a definici kapacity \(Q=UC.\) Ohmův zákon, stejně jako vztah pro napětí na kondenzátoru, platí v každém okamžiku, v rovnici tudíž uvažujeme okamžité hodnoty veličin. Důležité je si také uvědomit, že Q je náboj na kondenzátoru v čase t:
\[U_0 = RI(t) + \frac{Q(t)}{C}.\]Protože proud je definován jako „náboj za čas“, okamžitý náboj na kondenzátoru v čase t můžeme vyjádřit jako
\[Q (t)=\int_{t'=0}^t I(t') \mathrm{d}t',\]výraz dosadíme do předešlé rovnice
\[U_0 = RI(t) + \frac{\int_{t'=0}^t I(t') \mathrm{d}t'}{C},\]rovnici zderivujeme podle t
\[0 = R\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d} t} + \frac{I(t)}{C}.\]Dostali jsme diferenciální rovnici prvního řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Budeme ji řešit metodou separace proměnných, což znamená, že na jednu stranu přesuneme výrazy s funkcí I a na druhou stranu vše ostatní:
\[\frac{1}{I(t)}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d} t} = -\frac{1}{RC},\] \[\int\frac{1}{I(t)}\mathrm{d}I = -\int \frac{1}{RC}\mathrm{d}t,\] \[\ln I = -\frac{t}{RC} + k.\]Z rovnice vyjádříme proud I:
\[ I = e^{\frac{-t}{RC} + k} = e^{\frac{-t}{RC}}\ e^{k}, \]\(e^{ \mathrm{k}}\) je konstanta, označíme ji jako \(I_\mathrm{A}\):
\[ I = I_\mathrm{A}\ e^{\frac{-t}{RC}}. \tag{1}\]Z počátečních podmínek dopočítáme konstantu \(I_\mathrm{A}\). Víme, že v čase \(t=0\) je sepnut spínač a kondenzátor je vybitý, tedy \(U_\mathrm{C} =0\), tudíž \(U_0={U_\mathrm{R}}={R\ I(t=0)}.\) Počáteční podmínky dosadíme do (1):
\[ I(t=0) = I_\mathrm{A}\ e^{\frac{0}{RC}},\] \[ \frac{U_0}{R} = I_\mathrm{A}.\]Časový průběh proudu obvodem je
\[ I = \frac{U_0}{R}\ e^{\frac{-t}{RC}}. \]V čase \(t=0\) je proud maximální, s rostoucím časem exponenciálně klesá. Kondenzátor se bude na začátku nabíjet nejrychleji. S rostoucím časem bude klesat proud, který ho nabíjí. Pro čas \(t\rightarrow\infty\) bude proud nulový, kondenzátor tedy bude plně nabit.
Graf
Následující aplet nám vykresluje funkci \(y=I(t) = \frac{U_0}{R}\ e^{\frac{-t}{RC}}\), tedy proud jako funkci času. Změnou parametrů R, C a U (všechny veličiny jsou v základních SI jednotkách) si můžete zobrazit, jak na nich závisí časový průběh proudu, tj. jak rychle se bude kondenzátor nabíjet při daných parametrech.
Na ose y je proud v ampérech a na ose x je čas v sekundách.
Následující aplet nám vykresluje funkci \(y=U_\mathrm{C}(t) = {U_0}\ (1-e^{\frac{-t}{RC}}) \), tedy napětí na kondenzátoru jako funkci času (výpočet je uveden níže). Změnou parametrů R, C a U (všechny veličiny jsou v základních SI jednotkách) si můžete prohlédnout, jak se bude průběh napětí v čase proměňovat, respektive jak rychle se bude kondenzátor nabíjet při nastavených parametrech.
Na ose y je napětí ve voltech a na ose x je čas v sekundách.
Úlohy na práci s grafy
1. Ukažte, že s rostoucí kapacitou kondenzátoru roste čas potřebný k jeho nabití.
2. Ukažte, že pokud nabíjíme kondenzátor přes menší odpor, tak se kondenzátor nabíjí větším proudem a nabíjení je rychlejší.
3. Ukažte, že s rostoucím napětím zdroje roste čas potřebný k nabití kondenzátoru. Zdůvodňete proč silnější zdroj nabíjí kondenzátor déle, neměl by to spíše zvládnout rychleji?
Poznámka: Výpočet napětí na kondenzátoru \(U_\mathrm{C}:\)
\[U_\mathrm{C} = \frac{Q}{C} = \frac{1}{C}\ \int_{t'=0}^t I(t') \mathrm{d}t' = \frac{1}{C}\ \int_{t'=0}^t \frac{U_0}{R}\ e^{\frac{-t'}{RC}} \mathrm{d}t' = \frac{U_0}{CR}\ \left[-RC e^{\frac{-t'}{RC}} \right]_{t'=0}^t 0 = U_0 (1-e^{\frac{-t}{RC}}).\]
