Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Biotův-Savartův zákon
Úloha číslo: 45
Použijte Biotův-Savartův zákon k výpočtu magnetické indukce B v bodě P, který je společným středem kruhových oblouků (čtvrtkruhů) o poloměrech 5 cm a 8 cm (viz obrázek). Oba oblouky jsou spojeny tak, že vytvářejí obvod, kterým protéká proud 10 A.

Nápověda
Uvědomte si, jak vypadá Biotův-Savartův zákon a jaký je výsledek jeho použití pro dlouhý přímý vodič a jaký pro kruhový oblouk.
Nápověda - Biotův-Savartův zákon
Biotův-Savartův zákon slouží k výpočtu magnetické indukce →B v libovolně zvoleném bodě vytvořené proudem I. Jeho matematický zápis je
d→B=μo4πId→s×→rr3,kde vektor magnetické indukce d→B má směr daný vektorovým součinem d→s×→r a →r je polohový vektor směřující od proudového elementu Id→s k bodu, ve kterém chceme magnetickou indukci určovat.
Magnetickou indukci →B získáme integrací Biotova-Savartova zákona podél proudové smyčky.
Vektorový součin
Velikost vektorového součinu |d→s×→r| vypočítáme jako dsrsinα, kde úhel α je úhel mezi vektory d→s a →r.
Rozbor
Abychom vyřešili úlohu co nejjednodušším způsobem, rozdělíme vodič pomyslně na čtyři části — dva oblouky a dva přímé vodiče. Poté vyjádříme magnetickou indukci pro každou z těchto částí.
Úhel mezi rovným úsekem a spojnicí ke středu je buď přímý, nebo nulový. Z Biotova-Savartova zákona vyplývá, že příspěvky k magnetické indukci od těchto přímých vodičů jsou nulové, a tedy i magnetická indukce bude nulová. To znamená, že elektrický proud protékající rovnými úseky nevytváří žádné magnetické pole v bodě P.
Pro kruhové oblouky použijeme také Biotův-Savartův zákon. Úhel mezi vektory d→s a →r je pravý. Vzdálenost vodiče a místa, ve kterém magnetickou indukci určujeme, je pro daný oblouk konstantní a je rovna poloměru příslušného oblouku.
Obrázek
Řešení
Smyčku pomyslně rozdělíme na čtyři úseky.
Nejdříve budeme uvažovat rovný úsek 1. Pro výpočet magnetického pole použijeme Biotův-Savartův zákon
dB=μ04πIdssinαr2,kde úhel α mezi d→s a →r je roven α = 180°, a tedy sin α = 0. Elektrický proud protékající přímým úsekem 1 nevytváří žádné magnetické pole v bodě P.
B1=0.Stejně je tomu i v případě přímého úseku 2, ve kterém je úhel α mezi d→s a →r nulový pro každý proudový element. Tedy
B2=0.Zakřivené části 3 a 4 představují kruhový oblouk. Vztah pro výpočet magnetické indukce ve středu kruhového oblouku odvodíme také z Biotova-Savartova zákona. Úhel α, který svírají vektory d→s a →r, je 90° a r = R
dB=μ04πIdssin90∘R2=μ04πIdsR2Velikost výsledné magnetické indukce v bodě P je rovna součtu (integrálu) všech příspěvků d→B. Jelikož mají všechny příspěvky d→B stejný směr, stačí integrovat jejich velikost. Využijeme-li vztahu ds = R dφ (čímž změníme integrační proměnnou s na φ), dostaneme
B=∫dB=∫φ0μ04πIRdφR2=μ0I4πR∫φ01dφPo jednoduché integraci získáme vztah pro magnetickou indukci
B=μ0I4πRφSměr magnetických indukcí B3 a B4 určíme z vektorového součinu v Biotově-Savartově zákoně. Prsty pravé ruky orientujeme tak, že se „sklopí první vektor do druhého“. Vztyčený palec ukáže směr výsledného vektoru, tj. magnetické indukce. Odtud plyne známé Ampérovo pravidlo pravé ruky, ve kterém palec ukazuje směr proudu a zahnuté prsty směr magnetické indukce.
Pomocí tohoto pravidla určíme směry magnetických indukcí B3 a B4 v bodě P. Magnetická indukce B3 bude v bodě P kolmá k rovině obrázku a směřuje k nám. Magnetická indukce B4 je v bodě P kolmá k rovině obrázku a směřuje od nás. Jelikož má magnetická indukce B4 opačný směr než magnetická indukce B3, v bodě P se budou odčítat.
Výsledná magnetická indukce B vytvořená v bodě P proudem protékajícím smyčkou je dána vektorovým součtem jednotlivých příspěvků:
→B=→B1+→B2+→B3+→B4 B=0+0+μ0Iφ4πR1−μ0Iφ4πR2 B=μ0Iφ4π(1R1−1R2)Jelikož je poloměr R1 menší než poloměr R2, je magnetická indukce B3 od oblouku s poloměrem R1 větší než magnetická indukce B4 od oblouku s poloměrem R2. Výsledná magnetická indukce v bodě P míří stejně jako magnetická indukce B3, tedy před obrázek.
Zápis a číselné dosazení
I=10A proud tekoucí obvodem R1=5cm=0,05m poloměr prvního oblouku R2=8cm=0,08m poloměr druhého oblouku φ=π2 středový úhel příslušející oběma obloukům B=?(T) velikost magnetické indukce Z tabulek: μ0=4π⋅10−7Hm−1 permeabilita vakua
B=μ0Iφ4π(1R1−1R2)=4π⋅10−7⋅10⋅π24π(10,05−10,08)T˙=12μTOdpověď
Magnetická indukce v bodě P míří za obrázek a má velikost
B=μoIφ4π(1R1−1R2).Pro uvedené hodnoty vychází
B˙=12μT.