Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Biotův-Savartův zákon

Úloha číslo: 45

Použijte Biotův-Savartův zákon k výpočtu magnetické indukce B v bodě P, který je společným středem kruhových oblouků (čtvrtkruhů) o poloměrech 5 cm a 8 cm (viz obrázek). Oba oblouky jsou spojeny tak, že vytvářejí obvod, kterým protéká proud 10 A.

 

smyčka s proudem b
  • Nápověda

    Uvědomte si, jak vypadá Biotův-Savartův zákon a jaký je výsledek jeho použití pro dlouhý přímý vodič a jaký pro kruhový oblouk.

  • Nápověda - Biotův-Savartův zákon

    Biotův-Savartův zákon slouží k výpočtu magnetické indukce B v libovolně zvoleném bodě vytvořené proudem I. Jeho matematický zápis je

    dB=μo4πIds×rr3,

    kde vektor magnetické indukce dB má směr daný vektorovým součinem ds×r a r je polohový vektor směřující od proudového elementu Ids k bodu, ve kterém chceme magnetickou indukci určovat.

    Magnetickou indukci B získáme integrací Biotova-Savartova zákona podél proudové smyčky.

    Vektorový součin

    Velikost vektorového součinu |ds×r| vypočítáme jako dsrsinα, kde úhel α je úhel mezi vektory ds a r.

  • Rozbor

    Abychom vyřešili úlohu co nejjednodušším způsobem, rozdělíme vodič pomyslně na čtyři části — dva oblouky a dva přímé vodiče. Poté vyjádříme magnetickou indukci pro každou z těchto částí.

    Úhel mezi rovným úsekem a spojnicí ke středu je buď přímý, nebo nulový. Z Biotova-Savartova zákona vyplývá, že příspěvky k magnetické indukci od těchto přímých vodičů jsou nulové, a tedy i magnetická indukce bude nulová. To znamená, že elektrický proud protékající rovnými úseky nevytváří žádné magnetické pole v bodě P.

    Pro kruhové oblouky použijeme také Biotův-Savartův zákon. Úhel mezi vektory ds a r je pravý. Vzdálenost vodiče a místa, ve kterém magnetickou indukci určujeme, je pro daný oblouk konstantní a je rovna poloměru příslušného oblouku.

  • Obrázek

    rozbor smyčky s proudem
  • Řešení

    Smyčku pomyslně rozdělíme na čtyři úseky.

    Nejdříve budeme uvažovat rovný úsek 1. Pro výpočet magnetického pole použijeme Biotův-Savartův zákon

    dB=μ04πIdssinαr2,

    kde úhel α mezi ds a r je roven α = 180°, a tedy sin α = 0. Elektrický proud protékající přímým úsekem 1 nevytváří žádné magnetické pole v bodě P.

    B1=0.

    Stejně je tomu i v případě přímého úseku 2, ve kterém je úhel α mezi ds a r nulový pro každý proudový element. Tedy

    B2=0.

    Zakřivené části 3 a 4 představují kruhový oblouk. Vztah pro výpočet magnetické indukce ve středu kruhového oblouku odvodíme také z Biotova-Savartova zákona. Úhel α, který svírají vektory ds a r, je 90° a r = R

    dB=μ04πIdssin90R2=μ04πIdsR2

    Velikost výsledné magnetické indukce v bodě P je rovna součtu (integrálu) všech příspěvků dB. Jelikož mají všechny příspěvky dB stejný směr, stačí integrovat jejich velikost. Využijeme-li vztahu ds = R dφ (čímž změníme integrační proměnnou s na φ), dostaneme

    B=dB=φ0μ04πIRdφR2=μ0I4πRφ01dφ

    Po jednoduché integraci získáme vztah pro magnetickou indukci

    B=μ0I4πRφ

    Směr magnetických indukcí B3 a B4 určíme z vektorového součinu v Biotově-Savartově zákoně. Prsty pravé ruky orientujeme tak, že se „sklopí první vektor do druhého“. Vztyčený palec ukáže směr výsledného vektoru, tj. magnetické indukce. Odtud plyne známé Ampérovo pravidlo pravé ruky, ve kterém palec ukazuje směr proudu a zahnuté prsty směr magnetické indukce.

    určení směru magnetické indukce

    Pomocí tohoto pravidla určíme směry magnetických indukcí B3 a B4 v bodě P. Magnetická indukce B3 bude v bodě P kolmá k rovině obrázku a směřuje k nám. Magnetická indukce B4 je v bodě P kolmá k rovině obrázku a směřuje od nás. Jelikož má magnetická indukce B4 opačný směr než magnetická indukce B3, v bodě P se budou odčítat.

    Výsledná magnetická indukce B vytvořená v bodě P proudem protékajícím smyčkou je dána vektorovým součtem jednotlivých příspěvků:

    B=B1+B2+B3+B4 B=0+0+μ0Iφ4πR1μ0Iφ4πR2 B=μ0Iφ4π(1R11R2)

    Jelikož je poloměr R1 menší než poloměr R2, je magnetická indukce B3 od oblouku s poloměrem R1 větší než magnetická indukce B4 od oblouku s poloměrem R2. Výsledná magnetická indukce v bodě P míří stejně jako magnetická indukce B3, tedy před obrázek.

  • Zápis a číselné dosazení

    I=10A proud tekoucí obvodem
    R1=5cm=0,05m poloměr prvního oblouku
    R2=8cm=0,08m poloměr druhého oblouku
    φ=π2 středový úhel příslušející oběma obloukům
    B=?(T) velikost magnetické indukce
    Z tabulek:
    μ0=4π107Hm1 permeabilita vakua

    B=μ0Iφ4π(1R11R2)=4π10710π24π(10,0510,08)T˙=12μT
  • Odpověď

    Magnetická indukce v bodě P míří za obrázek a má velikost

    B=μoIφ4π(1R11R2).

    Pro uvedené hodnoty vychází

    B˙=12μT.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Zaslat komentář k úloze