Zahradní párty s rychlovarnou konvicí

Úloha číslo: 72

V domě je v zásuvce elektrické sítě napětí 230 V. Pomocí kabelu o délce 60 m a odporu 1,2 Ω je k této zásuvce na zahradě připojena varná konvice. Na konvici je tento štítek:

varná konvice

a) Jaké je skutečné napětí na topné spirále konvice a její skutečný příkon při uvedeném zapojení?

b) Sestrojte pro danou varnou konvici a daný průřez kabelu graf závislosti příkonu na délce kabelu od 0 do 2000 m.

  • Komentář

    Protože v této úloze pracujeme s efektivními hodnotami napětí a proudu, můžeme úlohu řešit, jakoby konvice byla zapojena do obvodu se zdrojem stejnosměrného napětí.

    Efektivní hodnoty střídavého proudu a napětí odpovídají takovým hodnotám stejnosměrného proudu a napětí, při kterých je výkon stejnosměrného proudu v obvodu s odporem stejný jako výkon střídavého proudu.

  • Nápověda

    Zamyslete se, co značí údaje na štítku konvice.

  • Rozbor

    a) Skutečné napětí konvice a její skutečný příkon

    Příkon elektrického proudu je roven součinu napětí na spotřebiči a proudu, který spotřebičem protéká. Tento proud se rovná podílu napětí na spotřebiči a odporu spotřebiče. Protože hodnoty napsané na štítku konvice určují její parametry, můžeme z napětí a příkonu, které jsou na tomto štítku uvedeny, vypočítat odpor konvice.

    Kabel a varnou konvici můžeme pokládat za dva sériově spojené spotřebiče, proto oběma protéká stejný proud. Tento proud určíme z Ohmova zákona, do kterého dosadíme napětí zdroje (tj. napětí v zásuvce) a celkový odpor obvodu. Skutečné napětí na konvici bude úměrné protékajícímu proudu a odporu konvice.

    Nyní již známe proud protékající konvicí i napětí na ní, a proto můžeme určit její skutečný příkon.

    b) Závislost příkonu konvice na délce kabelu

    Odpor kovového vodiče je přímo úměrný jeho délce a nepřímo úměrný jeho průřezu. Dále zavisí na měrném odporu vodiče (tj. na materiálu vodiče).

    Při změně délky kabelu zůstává měrný odpor i průřez vodiče konstantní. Protože známe odpor kabelu při zadané délce, vyjádříme si pomocí těchto dvou veličin neznámý podíl měrného odporu a průřezu. Ten dosadíme do vyjádření odporu kabelu v závislosti na jeho délce.

    Abychom zjistily závislost příkonu konvice na délce kabelu, nahradíme v rovnici pro příkon (kterou jsme získali řešením části a) odpor kabelu vztahem, který vyjadřuje odpor kabelu v závislosti na jeho délce.

  • Řešení části a): Skutečné napětí na topné spirále konvice

    Kabel a varnou konvici můžeme pokládat za dva sériově spojené spotřebiče. Odpor kabelu označíme R0, odpor varné konvice (topné spirály) R.

    Sériové zapojení kabelu a topné spirály konvice

    Z Ohmova zákona víme, že obvodem protéká proud I, pro který platí:

    \[I\,=\,\frac{U_0}{R_0+R}\,,\]

    kde U0 je napětí na zdroji.

    Protože kabel a konvici považujeme za sériově zapojené spotřebiče, pak celkový proud obvodem se rovná proudu protékajícímu spotřebičem:

    \[I\,=\,\frac{U}{R}\,.\]

    Tyto dvě rovnice porovnáme:

    \[\frac{U_0}{R_0+R}\,=\,\frac{U}{R}\,.\]

    A vyjádříme si skutečné napětí na spirále konvice U:

    \[U\,=\,\frac{U_0R}{R_0+R}\,.\tag{*}\]

    Údaje 230 V a 2 000 W, které jsou na štítku konvice, říkají, že pokud konvici zapojíme ke zdroji o napětí Us = 230 V, bude její příkon Ps = 2 000 W. Z těchto hodnot vypočítáme odpor varné konvice R.

    Pro příkon konvice platí:

    \[P_s\,=\,U_sI\,=\,\frac{U_s^2}{R}\,.\]

    kde Us je napětí na konvici a R je odpor konvice.

    Z této rovnice určíme odpor R a za napětí a příkon dosadíme hodnoty ze štítku konvice. Tím zjistíme odpor topné spirály:

    \[R\,=\,\frac{U_s^2}{P_s}\,.\]

    Takto vyjádřený odpor R dosadíme do rovnice (*):

    \[U\,=\,\frac{U_0\frac{U_s^2}{P_s}}{R_0+\frac{U_s^2}{P_s}}\,=\,\frac{U_0U_s^2}{P_s\left(R_0+\frac{U_s^2}{P_s}\right)}\]

    a získáme tak skutečné napětí na topné spirále konvice:

    \[U\,=\,\frac{U_0U_s^2}{P_sR_0+U_s^2}\,.\]

    Nyní již do této rovnice dosadíme číselné hodnoty veličin ze zadání úlohy: U0 = 230 V, R0 = 1,2 Ω, Ps = 2 000 W, Us = 230 V

    \[U\,=\,\frac{230^3}{2\,000{\cdot}1{,}2+230^2}\,\mathrm{V}\,=\,220\,\mathrm{V}\,.\]
  • Řešení části a): skutečný příkon topné spirály konvice

    Skutečný příkon topné spirály konvice vypočítáme ze vztahu:

    \[P\,=\,\frac{U^2}{R}\,,\]

    kde R je odpor topné spirály a U je skutečné napětí na spirále. Tyto veličiny jsme určili v minulém oddíle:

    \[R\,=\,\frac{U_s^2}{P_s}\] \[U\,=\,\frac{U_0U_s^2}{P_sR_0+U_s^2}\,.\]

    Obě rovnice dosadíme do vztahu pro skutečný příkon topné spirály:

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^4}{\left(P_sR_0+U_s^2\right)^2}\cdot\frac{P_s}{U_s^2}\,.\]

    Pro skutečný příkon topné spirály konvice tedy platí:

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_s}{\left(P_sR_0+U_s^2\right)^2}\,.\]

    Nyní vypočítáme číselnou hodnotu skutečného příkonu P:

    U0 = 230 V, Ps = 2 000 W, Us = 230 V, R0 = 1,2 Ω

    \[P\,=\,\frac{230^4{\cdot}2\,000}{\left(2\,000{\cdot}1{,}2+230^2\right)^2}\,\mathrm{W}\,=\,1\,830\,\mathrm{W}\,.\]
  • Řešení části b): závislost příkonu na délce kabelu

    V minulém oddíle jsme odvodili vztah pro skutečný příkon varné konvice:

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_s}{\left(P_sR_0+U_s^2\right)^2}\tag{**}\]

    Při změně délky kabelu se mění i jeho odpor - odpor kovového vodiče je přímo úměrný jeho délce:

    \[R\,=\,\rho\frac{l}{S}\,,\]

    kde ρ je měrný odpor vodiče (závisí na materiálu), l délka a S průřez vodiče.

    Protože měrný odpor vodiče i jeho průřez jsou konstantní, platí pro odpor kabelu při délce l0:

    \[R_0\,=\,\rho\frac{l_0}{S}\hspace{10px}\Rightarrow\hspace{10px}\frac{\rho}{S}\,=\,\frac{R_0}{l_0}\,.\]

    Odpor kovového vodiče tedy vypočítáme ze vztahu:

    \[R\,=\,\frac{l}{l_0}R_0\,.\]

    Pokud chceme zkoumat závislost příkonu konvice na délce kabelu, musíme ve vzorci (**) nahradit odpor R0 odporem R, který je na délce kabelu závislý.

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_s}{\left(RP_s+U_s^2\right)^2}\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_s}{\left(\frac{R_0}{l_0}lP_s+U_s^2\right)^2}\]

    Tento vztah ještě upravíme tak, abychom se zbavili složeného zlomku:

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_s}{\left(\frac{lR_0P_s+U_s^2l_0}{l_0}\right)^2}\,.\]

    A získáme tak příkon konvice jako funkci délky kabelu. Tato funkce je zadána předpisem:

    \[P\,=\,\frac{U_0^2U_s^2P_sl_0^2}{\left(U_s^2l_0+R_0P_s\bf{l}\right)^2}\,.\]

    Jedná se o mocninnou funkci se záporným celočíselným exponentem -2. Argumentem funkce je délka kabelu l. Ta je v rovnici tučně zvýrazněna.

    Ze zadádí úlohy víme, že

    U0 = 230 V, Ps = 2 000 W, Us = 230 V, l0 = 60 m, R0 = 1,2 Ω.

    Nyní si pro l od 0 do 2 000 m sestavíme tabulku hodnot a nakreslíme graf závislosti příkonu konvice na délce kabelu:

    l [m] 0 400 800 1 200 1 600 2 000
    P [W] 2 000 1 179 776 550 410 317
    závislost příkonu konvice na délce kabelu
    Zde se kliknutím otevře excelovský soubor s daty.
  • Odpověď k části a)

    Skutečné napětí na topné spirále konvice je 220 V a její skutečný příkon je 1 830 W.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
×Původní zdroj: Diplomová práce Marie Snětinová (2010).
Zaslat komentář k úloze