Kapacitance sériového a paralelního zapojení kondenzátorů

Úloha číslo: 76

Kondenzátor o kapacitě 2 μF je připojen do obvodu střídavého proudu o frekvenci 500 Hz. Ke kondenzátoru připojíme další kondezátor o stejné kapacitě

a) paralelně
b) sériově.
Jak musíme změnit frekvenci střídavého proudu, aby se kapacitance obvodu nezměnila?

 

schéma zapojení
  • Zápis

    Ze zadání známe velikost kapacity kondenzátorů C1, C2 a velikost frekvence proudu na zdroji f:

    C1 = C2 = 2,0 μF = 2,0·10-6 F
    f = 500 Hz

    Chceme vypočítat velikost frekvence proudu v obvodu tak, aby kapacitance obvodu zůstala po zapojení druhého kondenzátoru stejná:

    a) pro paralelní zapojení frekvenci označíme fp = ? (Hz)
    b) pro sériové zapojení frekvenci označíme fs = ? (Hz)
  • Nápověda

    Vztah pro výpočet frekvence vyjádříme ze vztahu pro kapacitanci.

  • Nápověda - Spojovaní kondenzátorů

    Mezi nábojem Q a napětím U na kondenzátoru platí vztah Q = CU, kde C je kapacita kondenzátoru.


    Paralelní zapojení:

    schéma zapojení

    Pro paralelní zapojení platí U1 = U2 = UQ = Q1 + Q2 :

    \[ C_p=\frac{Q}{U}=\frac{Q_1+Q_2}{U}=\frac{Q_1}{U_1}+\frac{Q_2}{U_2} \] \[C_p=C_1+C_2\]

    Sériové zapojení:

    schéma zapojení

    Pro sériové zapojení platí pro napětí U = U1 + U2 a pro náboje platí Q = Q1 = Q2:

    \[ \frac{Q}{C_s}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2} \] \[ \frac{1}{C_s}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \] \[ C_s=\frac{C_1 \, C_2}{C_1+C_2} \]
  • Rozbor úlohy

    Nejprve si vyjádříme celkové kapacity v paralelním i sériovém zapojení kondenzátorů. Pomocí celkových kapacit vypočteme novou kapacitanci v obvodu a porovnáním s původní kapacitancí vypočteme novou frekvenci proudu.

  • Řešení

    Ze zadání víme, že kapacitance XC má být pro sériové i paralelní zapojení druhého kondenzátoru C2 stejná jako v obvodu, kde je zapojen jen kondenzátor C1.

    Původní kapacitance obvodu:

    \[X_C=\frac{1}{\omega C_1}=\frac{1}{2 \pi f C_1}.\]

    a) Kapacitance při paralelním zapojení:

    \[ X_{C_p}=\frac{1}{\omega C_p}=\frac{1}{2 \pi f_p C_p} .\]

    Dosadíme kapacity C1C2 a využijeme toho, že C1 = C2:

    \[ X_{C_p}=\frac{1}{2 \pi f_p(C_1+C_2)}=\frac{1}{4 \pi f_p C_1}. \]

    Porovnáme původní kapacitanci s kapacitancí pro paralelní zapojení kondenzátorů:

    \[X_C=X_{C_p}\] \[\frac{1}{2 \pi f C_1}=\frac{1}{4 \pi f_p C_1}.\]

    Vyjádříme neznámou frekvenci fp pro paralelní zapojení:

    \[\frac{1}{f}=\frac{1}{2 f_p}\] \[f_p=\frac{f}{2}.\]

    b) Kapacitance při sériovém zapojení:

    \[ X_{C_s}=\frac{1}{\omega C_s}=\frac{1}{2 \pi f_s C_s}. \]

    Dosadíme kapacity C1C2 a využijeme toho, že C1 = C2:

    \[ X_{C_s}=\frac{C_1+C_2}{2 \pi f_s(C_1 C_2)}=\frac{2C_1}{2 \pi f_s (C_1)^2}=\frac{1}{ \pi f_s C_1}. \]

    Porovnáme původní kapacitu s kapacitou pro sériové zapojení kondenzátorů:

    \[X_C=X_{C_S}\]

    \[\frac{1}{2 \pi f C_1}=\frac{1}{ \pi f_s C_1}.\]

    Vyjádříme neznámou frekvenci fs pro sériové zapojení:

    \[\frac{1}{2f}=\frac{1}{ f_s}\] \[f_s=2f.\]
  • Číselné dosazení

    a) paralelní zapojení kondenzátorů:

    \[f_{p}=\frac{f}{2}=\frac{500}{2} \, \mathrm{Hz}=250 \, \mathrm{Hz} \]

    b) sériové zapojení kondenzátorů:

    \[f_s=2 f=2 {\cdot} 500 \, \mathrm{Hz} =1000\, \mathrm{Hz} \]
  • Odpověď

    Chceme-li po připojení druhého kondenzátoru C2 o stejné kapacitě, jako má kondenzátor C1, docílit stejně velké kapacitance, musíme změnit frekvenci v obvodu. Při paralelním připojení je potřeba frekvenci zmenšit na polovinu. Při sériovém připojení je potřeba frekvenci zvětšit na dvojnásobek.

    Paralelní zapojení: \(f_{p}=250 \, \mathrm{Hz} \)

    Sériové zapojení: \(f_{s}=1000 \, \mathrm{Hz} \)

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze