Kondenzátor s komplexní impedancí

Úloha číslo: 493

Ideální kondenzátor o kapacitě 2,0 μF má při frekvenci f napětí zdroje komplexní impedanci \(\bar Z =(-1{,}6\, \mathrm{j})\,\mathrm k\Omega.\)

Určete:

a) velikost impedance,

b) frekvenci f napětí zdroje,

c) amplitudu proudu tekoucího kondenzátorem při dané frekvenci f a amplitudě napětí zdroje 50 V.

 

Pozn.: Komplexní jednotku budeme označovat j. Komplexní veličiny budeme značit pruhem.

  • Nápověda

    Zopakujte si, co znáte o komplexní impedanci a o komplexních číslech. Nápovědy naleznete například v úloze Cívka s komplexní impedancí.

  • Nápověda — ideální kondenzátor

    Máme-li v obvodu zařazený pouze ideální kondenzátor, znamená to, že velikost komplexní impedance kondenzátoru je rovna jeho kapacitanci.

    Pozn.: Náhradní schéma reálného kondenzátoru vedle hlavního prvku s kapacitou C zahrnuje rovněž parazitní sériový odpor Rs, parazitní indukci L (důsledky přípojného vedení) a parazitní paralelní odpor Rp (svod mezi elektrodami kondenzátoru). Impedance realného kondenzátoru je potom složena z impedancí všech prvků, které ho nahrazují a je menší než u ideálního kondenzátoru.

    schema reálného kondenzátoru
  • Řešení a číselné dosazení

    a) Velikost komplexní impedance \(\bar Z =(-1{,}6\, \mathrm{j})\,\mathrm k\Omega\) vypočteme jako:

    \[Z = \sqrt{(- 1{,}6)^2}\,\mathrm {k\Omega} = 1{,}6\,\mathrm {k\Omega} .\]

    b) Víme, že daný kondenzátor je ideální, což znamená, že velikost komplexní impedance bude stejná jako kapacitance kondenzátoru

    \[Z = X_C .\]

    Frekvenci napětí zdroje pak získáme z kapacitance kondenzátoru:

    \[ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} .\]

    Dosadíme do předchozího vztahu a vyjádříme frekvenci f:

    \[Z = \frac{1}{2 \pi f C} \] \[f = \frac{1}{2 \pi C Z} .\]

    A číselně dosadíme:

    \[f = \frac{1}{2\cdot \pi \cdot 2{\cdot} 10^{-6} \cdot 1{,}6 {\cdot} 10^3} \,\dot=\, 50\, \mathrm {Hz}.\]

    c) Amplitudu proudu tekoucí kondenzátorem při napětí 50 V získáme z Ohmova zákona:

    \[I = \frac{U}{Z}=\frac{50}{1{,}6 {\cdot} 10^3 }\,\mathrm A \,\dot=\, 31 \,\mathrm {mA}.\]

    Nebo použijeme Ohmův zákon, do kterého dosadíme komplexní veličiny:

    \[ \bar I = \frac{\bar U}{\bar Z} = \frac{ 50}{-1600\, \mathrm{j}}\,\mathrm A = \frac{ 50}{1600}\, \mathrm{j}\,\mathrm A \,\dot{=}\, 31\, \mathrm{j}\,\mathrm {mA}. \]

    Velikost komplexního proud potom vyjadřuje hledanou amplitudu:

    \[ I = |\bar Z| = \sqrt {31\, ^2}\,\mathrm mA=31\,\mathrm {mA}.\]
  • Odpověď

    Velikost impedance kondenzátoru je 1,6 kΩ, frekvence napětí zdroje je asi 50 Hz a velikost proudu tekoucí kondenzátorem při napětí 50 V je asi 31 mA.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze